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第六章概率基础本讲稿第一页，共三十六页一、随机事件和样本空间一、随机事件和样本空间 二、随机事件的关系和运算二、随机事件的关系和运算三、随机事件的概率及其计算三、随机事件的概率及其计算 第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率本讲稿第二页，共三十六页随机事件和样本空间随机事件和样本空间试验试验结果结果随机试验随机试验随机现象随机现象不确定不确定样本点（样本点（）：实验可能出现的最简单的结果，）：实验可能出现的最简单的结果，也称基本事件也称基本事件 基本事件空间（基本事件空间（）：由基本事件的全：由基本事件的全体构成样本空间。体构成样本空间。当试验结当试验结果为随机不确果为随机不确定性时，我们定性时，我们称该试验为随称该试验为随机试验机试验第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率本讲稿第三页，共三十六页随机事件的关系和运算随机事件的关系和运算 事件事件A A和事件和事件B B的运算的运算A AB B或或AUBAUB，称，称“事件事件A A或或B”B”，表示事件，表示事件A A与事件与事件B B中至少有一个发生。中至少有一个发生。第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率 BAAUB本讲稿第四页，共三十六页 “AB”“AB”称为事件称为事件A A和事件和事件B B的积，也记作的积，也记作ABAB，表示事件，表示事件A A、B B同时发生。同时发生。BAA BU随机事件的关系和运算随机事件的关系和运算第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率本讲稿第五页，共三十六页随机事件的关系和运算随机事件的关系和运算 若事件若事件A A出现时，事件出现时，事件B B必然出现，则称必然出现，则称A A被被B B所包含，所包含，或称或称B B包含包含A A，记作，记作ABAB。第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率B A随机事件的关系和运算随机事件的关系和运算本讲稿第六页，共三十六页 若若ABAB，则称事件，则称事件A A与事件与事件B B为不相容事为不相容事件，或叫互斥事件。件，或叫互斥事件。第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率 BA随机事件的关系和运算随机事件的关系和运算本讲稿第七页，共三十六页随机事件的关系和运算随机事件的关系和运算 如果两个不相容如果两个不相容事件的和是一个必然事件的和是一个必然事件，那么称这两个事件，那么称这两个事件事件“互为逆事件互为逆事件”，或称为对立事件，或称为对立事件，A A的逆事件记作的逆事件记作A A。第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率 AA本讲稿第八页，共三十六页随机事件的概率及其计算 什么是概率？什么是概率？随机事件随机事件A A发生可能性大小的度量指标称为发生可能性大小的度量指标称为A A发生的概率发生的概率(Probability)(Probability)，记作，记作P(A)P(A)。概率的。概率的具体数值介于具体数值介于0 0和和1 1之间。之间。第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率本讲稿第九页，共三十六页古典概型 古典型随机试验的特征：古典型随机试验的特征：只有有限个基本事件；只有有限个基本事件；每基本事件出现的可能性是相等的。每基本事件出现的可能性是相等的。对于古典型的随机试验事件对于古典型的随机试验事件A A发生的概率计算发生的概率计算方法为：方法为：第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率本讲稿第十页，共三十六页概率的加法定理 任何两个给定的事件任何两个给定的事件A、B，则它们并事件，则它们并事件(和事件和事件)的概率，等于事件的概率，等于事件A发生的概率与事件发生的概率与事件B发生的概率之和减去它们同时发生的概率，即：发生的概率之和减去它们同时发生的概率，即：P(AUB)P(A)P(B)一一P(AB)第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率本讲稿第十一页，共三十六页概率的乘法定理 由条件概率可以导出概率的乘法公式：对任由条件概率可以导出概率的乘法公式：对任意两个事件意两个事件A、B，若，若P(B)0，则有，则有 P(AB)P(B)P(AB)P(A)P(BA)第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率本讲稿第十二页，共三十六页本节小结 本节介绍了随机事件和样本空间的基本概念，本节介绍了随机事件和样本空间的基本概念，讨论了随机事件概率的两种计算方法。讨论了随机事件概率的两种计算方法。第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率本讲稿第十三页，共三十六页一、随机变量及其分布一、随机变量及其分布二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布三、连续型随机变量的分布三、连续型随机变量的分布四、随机变量的数字特征四、随机变量的数字特征五、大数法则和中心极限定理五、大数法则和中心极限定理 第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第十四页，共三十六页一、随机变量及其分布一、随机变量及其分布 若变量的取值在试验前无法确定，而要依赖若变量的取值在试验前无法确定，而要依赖于试验的结果，因而具有随机性，人们常称这种于试验的结果，因而具有随机性，人们常称这种变量为变量为随机变量随机变量。按取值的情况，可将随机变量分为两类：离按取值的情况，可将随机变量分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。散型随机变量和连续型随机变量。研究一个随机变量，只知道它可能取哪些值研究一个随机变量，只知道它可能取哪些值是远远不够的，更重要的是要知道它取这些值的是远远不够的，更重要的是要知道它取这些值的概率是多少。即重要的是研究随机取值到底遵从概率是多少。即重要的是研究随机取值到底遵从什么样的什么样的“概率分布概率分布”规律。规律。第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第十五页，共三十六页二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布 取值为有限个或可列个的随机变量为离散型取值为有限个或可列个的随机变量为离散型的随机变量。我们可以用概率分布全面地描述离的随机变量。我们可以用概率分布全面地描述离散型随机变量的统计规律性。散型随机变量的统计规律性。通常以用表格来表示离散型随机变量通常以用表格来表示离散型随机变量X的概的概率分布：率分布：x xx x1 1 x x2 2 x xn n P(xP(xi i)P(xP(xi i)P(x)P(xi i)P(x P(xn n)第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第十六页，共三十六页请思考 什么是超几何分布、二项分布、泊松分布，什么是超几何分布、二项分布、泊松分布，其概率分布如何表达？其概率分布如何表达？n讨论讨论第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第十七页，共三十六页三、连续型随机变量的分布三、连续型随机变量的分布1.分布函数与密度函数分布函数与密度函数2.正态分布正态分布 3.t分布分布4.X2分布分布 5.F分布分布第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第十八页，共三十六页分布函数与密度函数分布函数与密度函数 一个随机变量如果能在某一区间可取任意数一个随机变量如果能在某一区间可取任意数则称为连续型随机变量。由于连续型随机变量的则称为连续型随机变量。由于连续型随机变量的取值无法像离散型随机变量取值那样一一列出，取值无法像离散型随机变量取值那样一一列出，所以其概率分布也不能用分布列而只能用数学函所以其概率分布也不能用分布列而只能用数学函数形式来描述。数形式来描述。第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第十九页，共三十六页密度函数若对于随机变量若对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x)，存在非负函数，存在非负函数p(x)，使对，使对X的任意实数有的任意实数有 则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，p(x)称为称为J的概率密度的概率密度函数，简称为密度函数。函数，简称为密度函数。第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十页，共三十六页分布函数F（X）的性质(1)(1)单调性。若单调性。若x x1 1x x2 2，则，则F(xF(x1 1)F(xF(x2 2)；(2)(2)(3)(3)左连续性，左连续性，F(xF(x0)0)F(x)F(x)。反过来，任一满足。反过来，任一满足这三个性质的函数，一定可以作为某一随机变量这三个性质的函数，一定可以作为某一随机变量的分布函数。的分布函数。第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十一页，共三十六页密度函数p(x)的性质 由分布函数的性质即可验证任一连续型随机变量的由分布函数的性质即可验证任一连续型随机变量的必具有下述性质：必具有下述性质：(1)p(x)0；(2)(3)如果随机变量如果随机变量X的密度函数为的密度函数为p(x)，则对任意的，则对任意的x1，x2，(x1x2)，有，有 第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十二页，共三十六页密度函数的几何意义 第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十三页，共三十六页密度函数p(x)的性质 (4)连续型随机变量连续型随机变量X取单点值的概率为零，取单点值的概率为零，即即第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十四页，共三十六页 正态分布 如果随机变量如果随机变量X X的概率密度的函数为的概率密度的函数为：，其中其中0 0，和和均为常数，则称均为常数，则称X X服从参数为服从参数为和和的正态分布，记作的正态分布，记作X X(，2 2)。第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十五页，共三十六页分布函数相应的分布函数相应的分布函数(x)为：为：其中其中是正态分布的数学期望，是正态分布的数学期望，2 2是正态是正态分布的方差。分布的方差。第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十六页，共三十六页正态分布的概率密度函数p(x)的性质(1)在直角坐标系内在直角坐标系内p(x)的图形呈钟形，以的图形呈钟形，以x为对为对称轴，左右对称。称轴，左右对称。(2)在在x处，处，p(x)取最大值，为取最大值，为x x越远越离越远越离，p(x)p(x)值越小，曲线以值越小，曲线以x x轴为渐近线轴为渐近线第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十七页，共三十六页正态分布的概率密度函数p(x)的性质 (3)密度曲线同密度曲线同x轴所围成的面积恒等于轴所围成的面积恒等于1。当。当固固定时，则由定时，则由p(x)的极大值可知，的极大值可知，越小时，曲线越越小时，曲线越陡峭；陡峭；越大的，曲线越平缓，见图越大的，曲线越平缓，见图A。反之，如。反之，如果果为固定的，那么改变的值，为固定的，那么改变的值，p(x)的图形将沿着的图形将沿着x轴平行滑动，而曲线的形状不改变，见图轴平行滑动，而曲线的形状不改变，见图B。图图A A图图B B第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十八页，共三十六页正态分布的性质(1)若若x服从正态分布，则对任意、服从正态分布，则对任意、b、也服从正态分、也服从正态分布。布。(2)若若X、Y皆服从正态分布，且相互独立，则对任皆服从正态分布，且相互独立，则对任意的常数意的常数a、b(a、b不全为不全为0)，也服从正态分布。，也服从正态分布。参数参数 时的正态分布称为标准时的正态分布称为标准正态分布。当随机变量服从标准正态分布时，记正态分布。当随机变量服从标准正态分布时，记作作XN(0，1)，其概率密度函数为，其概率密度函数为第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第二十九页，共三十六页请思考 什么是什么是t分布、分布、X2分布分布、F分布，它们分布，它们数学期望和方差分别是多少，它们适用于数学期望和方差分别是多少，它们适用于何种场合？何种场合？n讨论讨论第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第三十页，共三十六页四、随机变量的数字特征四、随机变量的数字特征 概率分布全面地描述了随机变量的统计规律，概率分布全面地描述了随机变量的统计规律，但在许多实际问题中，这种但在许多实际问题中，这种“全面描述全面描述”并不方并不方便。有时我们需要了解概率分布的某些数字特征；便。有时我们需要了解概率分布的某些数字特征；其中最重要的一个是随机变量的数学期望即均值，其中最重要的一个是随机变量的数学期望即均值，它反映随机变量的集中趋势；另一个是随机变量它反映随机变量的集中趋势；另一个是随机变量的方差，它反映了随机变量的离散程度。的方差，它反映了随机变量的离散程度。第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第三十一页，共三十六页五、大数法则和中心极限定理五、大数法则和中心极限定理 第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布什么是什么是大数法则？大数法则？本讲稿第三十二页，共三十六页大数法则(Law of great numbers)设是设是n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的次数。发生的次数。p是事件是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意在每次试验中发生的概率，则对于任意正数正数0有：有：OR 第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第三十三页，共三十六页中心极限定理中心极限定理一般意义：一般意义：无论随机变量服从何种分布，只要样本容量足无论随机变量服从何种分布，只要样本容量足够大，都可以近似地看作是服从正态分布。中心够大，都可以近似地看作是服从正态分布。中心极限定理说明，大量相互独立的随机变量和的概极限定理说明，大量相互独立的随机变量和的概率分布是以正态分布为极限的。由于正态分布在率分布是以正态分布为极限的。由于正态分布在概率论中占有的中心地位，中心极限定理因此而概率论中占有的中心地位，中心极限定理因此而得名。得名。第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第三十四页，共三十六页中心极限定理的中心极限定理的基本内容 设设Xl，X2，Xn是独立同分布的一组随机是独立同分布的一组随机变量，且变量，且,近似服从标准正态分布。近似服从标准正态分布。设设则则第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第三十五页，共三十六页本节小结 本节介绍了几种离散型随机变量的概率分布、本节介绍了几种离散型随机变量的概率分布、连续随机变量的分布函数与密度函数。讨论了随连续随机变量的分布函数与密度函数。讨论了随机变量的两大数字特征以及大数法则和中心极限机变量的两大数字特征以及大数法则和中心极限定理的基本原理。定理的基本原理。第二节第二节 随机变量及其分布随机变量及其分布本讲稿第三十六页，共三十六页