安徽省“五校联盟”2021届高三数学下学期第二次联考试题文20210514014.doc
1安徽省安徽省“五校联盟五校联盟”20212021 届高三数学下学期第二次联考试题届高三数学下学期第二次联考试题 文文考生注意：1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域超出答题区域书写的答案无效书写的答案无效，在试题卷在试题卷、草稿纸上作答无效草稿纸上作答无效。一一、选择题选择题：本题共本题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的求的.1.设集合26AxxN，2log(1)2Bxx，则ABA.2,3,4,5B.25xxC.3,4D.3,4,52.已知aR，若(2i)(2i)aa为纯虚数（i为虚数单位），则a的值为A.0B.2C.1D.23.某高中为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，把高三年级的 1000 名学生编号：1 到1000，再用系统抽样的方法随机抽取 50 位同学了解他们的学习状况，若编号为 253 的同学被抽到，则下列几个编号中，可能被抽到的是A.83B.343C.103D.2134.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷（qn）盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式2136VL h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3，那么近似公式2138VL h，相当于将圆锥体积公式中的近似取为A.258B.3712C.196D.76255.已知平面单位向量1e，2e，满足1225ee，设向量12aee，向量123bee，则|abA.2B.2C.5D.2 526.已知137a，77log 22log 3b，1217c，则下列关系正确的是A.abcB.bacC.cbaD.bca7.在数列 na中，112a 且1(2)nnnana，则它的前 30 项和30SA.3031B.2930C.2829D.19298.已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线13yx重合，则1 cos2sin22的值为A.32B.15C.32D.159.电影流浪地球中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019 年，公安部交通管理局下发关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型0.540sin()13,02,390 e14,2,xxxyx假设该人喝一瓶啤酒后至少经过*n nN小时才可以驾车，则n的值为（参考数据：ln152.71，ln303.40）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车20,80)醉酒驾车80,)3A.5B.6C.7D.810.圆22:100C xyy上有且仅有三点到双曲线2222:1(0,0)xyEabab一条渐近线的距离为 2，双曲线的焦距为 10，则下列说法错误的是A.双曲线E的离心率为53B.直线4:13l yx与双曲线E的两支各有一个交点C.双曲线E与双曲线：221169yx有相同的渐近线D.过点(1,2)P至少能作两条直线与双曲线E仅有一个交点11.ABC中，sin()sinsinABCB，D是边BC上的一个三等分点（靠近B点），1BD，O为ABC外接圆的圆心，则OD的长为A.32B.1C.32D.212.将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥.建立适当的坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为()coshxf xaa，其中a为悬链线系数，cosh x为双曲余弦函数，其函数表达式为eecosh2xxx，相应地双曲正弦函数表达式为eesinh2xxx.若直线xm与双曲余弦函数1C和双曲正弦函数2C分别相交于点A，B，曲线1C在点A处的切线与曲线2C在点B处的切线相交于点P，则下列说法正确的个数sinhcoshyxx是奇函数.cosh()coshcoshsinhsinhxyxyxyPAB的面积随m的增大而减小.BP随m的减小而增大A.4B.3C.2D.1二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.413.若变量x，y满足线性约束条件1 0,21 0,4 0,xyxyxy，则目标函数2zxy的最小值.14.已知函数3(1)21f xxx，曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为.15.已知点(1,1)M和抛物线2:4C xy，过C的焦点且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，N为AB中点，且2|MNAB，则k的值为.16.已知ABC为等腰直角三角形，2A，D为BC中点，现将ABC沿AD翻折，使得23BDC，已知三棱锥ABCD的体积为4 63，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为.三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17172121 题为必考题，每个试题考生题为必考题，每个试题考生都必须作答都必须作答.第第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分.17.（12 分）数列 na中，nS是na的前n项和，21nnSa，nb是等差数列264bba，5462abb，（1）求 na和 nb的通项公式；（2）设nnncbS求 nc的前n项和nT.18.（12 分）网购是当前人们购物的新方式，某公司为了改进营销方式，随机调查了 100 名市民，统计了不同年龄的人群网购的人数如下表：年龄段（岁）（0，20）20，40）40，60）60，100）网购人数2632348男性人数1510105（1）若把年龄在20，60）的人称为“网购迷”，否则称为“非网购迷”，请完成下面的 22 列联表，5并判断能否有 99把握认为网购与性别有关？网购迷非网购迷总计男性女性总计（2）若从年龄小于 40 岁的网购男性中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从中抽取两人，求两人年龄都小于20 岁的概率.附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd20P Kk0.100.050.010.0010k2.7063.8416.63510.82819.（12 分）如图，在三棱锥PABC中，3ABBC，3 2PAPBPCAC，O为AC中点.（1）证明：PO 平面ABC（2）若点M在棱BC上，且23MCCB，求点C到平面POM的距离.20.（12 分）已知函数()ln1af xxx（1）若函数()f x在1,e 上单调递增，求实数a的取值范围.（2）讨论函数()f x零点的个数.621.（12 分）A，B为椭圆2222:1(0)xyCabab的左右顶点，|4AB，E为椭圆C上任意一点（异于左右顶点），设AE，BE的斜率分别为k1和k2，1234k k，（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线:l ykxm与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线4x 相交于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分.请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修 44：坐标系与参数方程（10 分）已知曲线C的极坐标方程是4cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是2,222xmtyt（t为参数）.（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|14AB，试求实数m的值；（2）设(,)M x y为曲线C上任意一点，求xy的取值范围.23.选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数()|21|1|f xxx.（1）求不等式()2f x 的解集；（2）若关于x的不等式2()2af xa有解，求a的取值范围.颍上一中颍上一中涡阳一中涡阳一中蒙城一中蒙城一中淮南一中淮南一中怀远一中怀远一中20212021 届高三届高三“五校联盟五校联盟”第二次联考第二次联考 文科数学文科数学参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则一、选择题一、选择题题号1234567891011127答案CADCDDAABBBB二、填空题二、填空题13.514.20 xy15.1216.16.40三、解答题三、解答题17.解：（1）1n 时，11a 2n时，111212122nnnnnnnassaaaa12nnaa，na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列所以12nna nb是等差数列，设公差为d，由264bba，5462abb得4646bb264d，1d，nbn（2）由（1）知21nns 21nnnncb sn231 2 12 223 232nnTnn 231 22 23 22(1 23)nnn 令231 22 23 22nAn 得234121 22 23 22nAn 得23122222nnAn 8121 221 2nnn 1(1)22nn所以1(1)22nAn又因为(1)1 232n nn 所以1(1)(1)222nnn nTn18.解：（1）由题中信息可完善 22 列联表如下表所示：网购迷非网购迷总计男性202040女性461460总计6634100计算得22100(20 1446 20)7.6056.63566 34 40 60K，故有 99把握认为网购与性别有关；（2）年龄在（0，20）、20，40）网购男性分别有 15 人、10 人.按分层抽样的方法随机抽取 5 人，年龄段（0，20）应抽取 3 人，分别记为 1、2、3；年龄段20，40）应抽取 2 人，分别记为a、b，从中随机抽取 2 人的一切可能结果所组成的基本事件共 10 个：（1，2）、（1，3）、（1，a）、（1，b）、（2，3）、（2，a）、（2，b）、（3，a）、（3，b）、（a，b）.用A表示“两人年龄都小于 20 岁”这一事件，则事件A由 3 个基本事件组成：（1，2）、（1，3）、（2，3）.故事件A的概率为3()10P A.19.解：（1）因为3 2APCPACO为AC中点，所以OPAC且3 62OP 连接OB，因为232ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形且OBAC9所以13 222OBAC，由222OPOBPB知OPOB又因为CHOM，所以OP 平面ABC（2）作CHOM，垂足为H，又由（1）得OPCH，所以CH 平面POM故CH的长即为点C到平面POM由题设可知，13 222OCAC，223MCCB，45ACB所以102OM，sin3 105OC MCACBCHOM20.解：（1）()f x的定义域为(0,).2()0 xafxx即0 xa 在1,xe上恒成立1a.（2）()f x的定义域为(0,)，2()xafxx.1.当0a时，()0fx 恒成立，()f x在(0,)上单调递增.且0 x 时()f x，x 时()f x，()f x有一个零点.2.当0a 时，()0fa，且当(0,)xa时，()0fx；当(,)xa时，()0fx()f x在(0,)a上单调递减，在(,)a 上单调递增min()()ln2f xf aa1.若min()0f x即ln20a.20ea()f x在(,)a 上单调递增，()0f a.(1)10fa()f x在(,)a 内有一个零点又()f x在(0,)a上单调递减，且()0f a，10212ln1f aaa，令1()2ln1g xxx，20,ex221()0 xg xx()g x在20,e上单调递减，22()ee30g xg即212ln10f aaa 20aa，20f a，()0f a.()f x在(0,)a上只有一个零点，当20ea时()f x有两个零点.2.若min()0f x，即ln20a，2e()af x无零点.3.若min()0f x，即ln20a，2e()af x有一个零点.综上所述：当0a或2ea时，()f x有一个零点.当20ea时，()f x有两个零点.当2ea时，()f x无零点.21.解：（1）易知2a，(2,0)A，(2,0)B，设,EEE xy，2122224EEEEEyyyk kxxx，又22214EExyb，22244EExyb，代入得212344bk k ，23b椭圆C的方程为22143xy.（2）由22,1,43ykxmxy得2224384120kxkmxm因为动直线l与椭圆C有且只有一个公共点00,P xy，所以0m 且0，化简得2243mk将代入整理得04kxm，003ykxmm，所以43,kPm m11由4,xykxm 得(4,4)Qkm假设平面内存在点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上，设1,0M x，则0MP MQ对满足的m，k恒成立因为143,kMPxmm，14,4MQxkm ，由0MP MQ，化简整理得211141430kxxxm由于式对满足式的m，k恒成立，所以121110,430,xxx 解得11x 故存在定点(1,0)M，使得以PQ为直径的圆恒过点M22.解：（1）曲线C的极坐标方程是4cos化为直角坐标方程为2240 xyx，即22(2)4xy，直线l的直角坐标方程为yxm，圆心到直线l的距离（弦心距）2142222d，即圆心（2，0）到直线yxm的距离为|20|2|2|122mm，1m或3m.（2）曲线C的方程可化为22(2)4xy，其参数方程为22cos ,2sinxy（为参数）.(,)M x y为曲线C上任意一点，22 2 sin4xy，xy 的取值范围是22 2,22 2.23.解：（1）当12x时，()21(1)2f xxxx，()2f x，142x ；12当112x 时，()1 2(1)3f xxxx ()2f x，2132x；当1x时，()1 2(1)2f xxxx，()2f x，0 x，此时无实数解.综上所述，不等式()2f x 的解集为2(,4)3.（2）2()2af xa有解2min()2af xa由（1）可知当1x时，()3f x；当112x 时，3()32f x；当12x时，3()2f x.3()2f x3()2minf x，故22323 01322aaaaa ，即实数a的取值范围为 1,3.
