第六章数值计算精选文档.ppt

第六章数值计算第六章数值计算本讲稿第一页，共一百二十三页6.1 多项式运算 1多项式表示法 2多项式求值 3多项式乘法和除 4多项式的微积分 5多项式的根 6多项式部分分式展开 7多项式曲线拟合 8多曲线拟合图形用户接口 本讲稿第二页，共一百二十三页 MATLAB提供了关于多项式的函数：多项式的值；多项式的根和微分；多项式拟合曲线；部分分式。本讲稿第三页，共一百二十三页多项式函数本讲稿第四页，共一百二十三页1多项式表示法 MATLAB采用行向量表示多项式系数，多项式系数按降幂排列。函 数 poly2str(p,v)或 poly2sym(p)将多项式系数向量转换为完整形式。本讲稿第五页，共一百二十三页多项式的创建首先，了解多项式在matlab中，都是用多项式的系数矢量来表示，也就是行向量。对于多项式 P(X)=a0 xn+a1xn-1+an-1x+an用p=a0 a1 an-1 an来表示因此，创建多项式，可简单总结为以下三个方法本讲稿第六页，共一百二十三页系数矢量的直接输入法即已知具体的多项式形式，在命令窗口直接输入多项式的系数矢量。注意幂次缺项的处理。特征多项式输入法借助于函数poly，取得矩阵的特征多项式系数，作为新的多项式系数矢量。由根矢量创建多项式同样借助于函数poly，由根矢量得到多项式系数注意：如果希望创建实系数多项式，根矢量里如果有复数根必须共轭成对；若得到的系数中带有很小的虚部，可用取实部命令real把虚部滤掉。本讲稿第七页，共一百二十三页A:表示多项式系数向量；表示多项式系数向量；x：表示变量用：表示变量用x表示。表示。提供系数向量，用函数提供系数向量，用函数poly2str（）得出完整式。（）得出完整式。本讲稿第八页，共一百二十三页2多项式求值 函数polyval()计算多项式的值，其具体使用方法如下：y=polyval(p,x)，p为多项式系数行向量，x代入多项式的值,是按数组数组规则计算；Y=polyvalm(p,X)，把矩阵X代入多项式p中进行计算，是按矩阵矩阵规则运算。本讲稿第九页，共一百二十三页本讲稿第十页，共一百二十三页3多项式乘法和除法 函数conv()和deconv()进行多项式乘法和除法，其具体使用方法如下：w=conv(u,v)，实现多项式乘法，返回结果多项式的系数行向量；q,r=deconv(u,v)，实现多项式除法，q是商，r是余数。本讲稿第十一页，共一百二十三页4多项式的微积分（1）多项式的微分 函数polyder()计算多项式的微分，其具体使用方法如下：k=polyder(p)，返回多项式p微分的系数向量；k=polyder(a,b)，返回多项式a b乘积微分的系数向量；本讲稿第十二页，共一百二十三页 q,d=polyder(b,a)，返回多项式b/a微分的系数向量。q，d是系数向量本讲稿第十三页，共一百二十三页什么意思！本讲稿第十四页，共一百二十三页（2）多项式的积分 函数polyint()计算多项式的不定积分，其具体使用方法如下：s=polyint(p,k)，返回多项式p不定积分的系数向量，k为积分常数项，缺省为0。也可以简化使用polyint(p)本讲稿第十五页，共一百二十三页5多项式的根 函数roots()求多项式的根，其具体使用方法如下：r=roots(c)，返回多项式c的所有根r。本讲稿第十六页，共一百二十三页6多项式部分分式展开 函数residue()将多项式之比按部分分式展开，其具体使用方法如下：r,p,k=residue(b,a)，求多项式b/a的部分分式展开；b,a=residue(r,p,k)，从部分分式得到多项式向量。本讲稿第十七页，共一百二十三页7多项式曲线拟合 函数polyfit()采用最小二乘法对给定数据进行多项式拟合，其具体使用方法如下：p=polyfit(x,y,n)，采用n次多项式p来拟合数据x和y。本讲稿第十八页，共一百二十三页legend（）；是用于生产图例。生成的图例可以移动位置本讲稿第十九页，共一百二十三页运行结果如下图所示。生成的图例可以移动位置生成的图例可以移动位置调整位置！调整位置！本讲稿第二十页，共一百二十三页6.2 插 值 运 算 6.2.1 一维插值6.2.2 二维插值本讲稿第二十一页，共一百二十三页 插值是根据已知输入/输出数据集和当前输入估计输出值。MATLAB提供大量的插值函数，如下表所示。插值函数本讲稿第二十二页，共一百二十三页6.2.1 一维插值 一维插值就是对函数y=f(x)进行插值，一维插值的原理如下图所示。本讲稿第二十三页，共一百二十三页 函数interp1()实现一维插值，其具体使用方法如下：yi=interp1(x,y,xi,method)，method用于指定插值的方法，包括：邻近点插值（nearest）：返回已知数据集中与当前输入最邻近点对应的输出；线性插值（linear）：返回当前输入在与它相邻两点直线上的取值，是默认方法；三次样条插值（spline）：返回当前输入在采用三次样条函数上的取值。比较本讲稿第二十四页，共一百二十三页本讲稿第二十五页，共一百二十三页运行结果如下图所示。本讲稿第二十六页，共一百二十三页6.2.2 二维插值 二维插值是对两变量的函数z=f(x,y)进行插值，二维插值的原理如下图所示：本讲稿第二十七页，共一百二十三页 函数interp2()实现二维插值,其具体使用方法如下：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)，method用于指定插值的方法。包括：邻近点插值（nearest）：返回已知数据集中与当前输入最邻近点对应的输出；双线性插值（linear）：返回与当前输入相邻四点输出的双线性加权，是默认方法；三次样条插值（spline）：返回当前输入在采用三次样条函数上的取值。本讲稿第二十八页，共一百二十三页xi yi=meshgrid(-3:0.25:3);zi=peaks(xi,yi);本讲稿第二十九页，共一百二十三页运行结果如下图所示。本讲稿第三十页，共一百二十三页6.3 数 据 分 析 6.3.1 基本数据分析函数 6.3.2 协方差和相关系数矩阵 6.3.3 有限差分和梯度 6.3.4 信号滤波和卷积 6.3.5 傅立叶变换本讲稿第三十一页，共一百二十三页 MATLAB提供大量数据分析的函数，首先给出如下约定：一维数据分析时，数据可以用行向量或者列向量来表示，运算是对整个矢量进行的；二维数据分析时，数据可以用多个向量或者二维矩阵来表示，函数运算按列进行。本讲稿第三十二页，共一百二十三页6.3.1 基本数据分析函数 1最大值、最小值、平均值、中间值、元素求和 2标准差和方差 3元素排序本讲稿第三十三页，共一百二十三页基本数据分析函数基本数据分析函数 本讲稿第三十四页，共一百二十三页本讲稿第三十五页，共一百二十三页续表本讲稿第三十六页，共一百二十三页1最大值、最小值、平均值、中间值、元素求和本讲稿第三十七页，共一百二十三页 运行结果如下，并如下图所示。运行结果不一样！运行结果不一样！本讲稿第三十八页，共一百二十三页2标准差和方差本讲稿第三十九页，共一百二十三页改为改为r5=r22本讲稿第四十页，共一百二十三页本讲稿第四十一页，共一百二十三页本讲稿第四十二页，共一百二十三页3元素排序 MATLAB提供对实数、复数和字符串的排序函数。函数sort()实现数值的排序；函数sortrows()实现对行的排序。本讲稿第四十三页，共一百二十三页本讲稿第四十四页，共一百二十三页6.3.2 协方差和相关系数矩阵本讲稿第四十五页，共一百二十三页 函数cov()计算随机变量的协方差矩阵，其具体使用方法如下：C=cov(X)，计算X代表的随机变量的协方差矩阵；C=cov(x,y)，x和y必须是具有相同长度的向量；本讲稿第四十六页，共一百二十三页 函数corrcoef()计算随机变量的相关系数矩阵，其具体使用方法如下：R=corrcoef(X)，返回X代表的随机变量的相关系数矩阵；R=corrcoef(x,y)，x和y必须是具有相同长度的向量。本讲稿第四十七页，共一百二十三页6.3.3 有限差分和梯度 函数diff()计算差分，其具体使用方法如下：Y=diff(X)，X可以是向量或矩阵；Y=diff(X,n)，返回n阶差分；Y=diff(X,n,dim)，返回在dim维上的n阶差分。本讲稿第四十八页，共一百二十三页本讲稿第四十九页，共一百二十三页运行结果如下图所示。本讲稿第五十页，共一百二十三页 函数gradient()计算梯度，其具体使用方法如下：FX=gradient(F)，返回F在x方向上的梯度；FX,FY=gradient(F)，FX是F在x方向的近似偏导数，FY是F在y方向的近似偏导数；Fx,Fy,Fz,.=gradient(F)，返回N个方向的近似偏导数；本讲稿第五十一页，共一百二十三页 .=gradient(F,h)，h用于指定所有方向上自变量的间距；.=gradient(F,h1,h2,.)，用多个标量来指定各个方向上自变量的间距。本讲稿第五十二页，共一百二十三页运行结果如下图所示。本讲稿第五十三页，共一百二十三页6.3.4 信号滤波和卷积1一维数字滤波 2信号卷积 3去除信号直流或线性成分 本讲稿第五十四页，共一百二十三页 MATLAB提供如下表所示的信号滤波和卷积的函数。信号滤波和卷积函数 本讲稿第五十五页，共一百二十三页1一维数字滤波 函数filter()实现一维数字滤波，该函数的具体使用方法如下：y=filter(b,a,X)，X为用于滤波的数据，Y为数据X通过滤波器之后的值；y,zf=filter(b,a,X)，附加返回一个表示数据延迟时间的量zf；本讲稿第五十六页，共一百二十三页 y,zf=filter(b,a,X,zi)，zi为初始数据延迟，zf等于最终数据延迟；y=filter(b,a,X,zi,dim)，在dim维上进行数据滤波。本讲稿第五十七页，共一百二十三页2信号卷积 函数conv()计算卷积。本讲稿第五十八页，共一百二十三页运行结果如下图所示。本讲稿第五十九页，共一百二十三页3去除信号直流或线性成分 detrend()函数实现去除信号中的直流或者线性成分，其具体使用方法如下：y=detrend(x)，如果x是一个向量，从信号x中减去线性成分；如果x是一个矩阵，去除x所有列中的线性成分；本讲稿第六十页，共一百二十三页 y=detrend(x,constant)，如果x是一个向量，减去信号中的直流成分；如果x是一个矩阵，去除所有列中的直流成分；y=detrend(x,linear,bp)，从信号x中减去分段线性函数。本讲稿第六十一页，共一百二十三页6.3.5 傅立叶变换1一维傅立叶变换和逆变换2二维傅立叶变换和逆变换 本讲稿第六十二页，共一百二十三页 傅立叶变换既可以对连续信号进行变换，也可以对离散信号进行变换。本小节只介绍离散傅立叶变换。傅立叶变换函数傅立叶变换函数 本讲稿第六十三页，共一百二十三页1一维傅立叶变换和逆变换 函数fft()实现一维离散傅立叶变换，其具体使用方法如下：Y=fft(X)，如果X是向量，返回向量X的傅立叶变换；如果X是矩阵，函数对矩阵X的每一列进行傅立叶变换；本讲稿第六十四页，共一百二十三页 Y=fft(X,n)，用输入n指定傅立叶变换的长度；Y=fft(X,dim)，在dim维上进行傅立叶变换；Y=fft(X,n,dim)，在dim维上进行傅立叶变换，并指定傅立叶变换的长度。本讲稿第六十五页，共一百二十三页 函数ifft()实现一维离散傅立叶逆变换，其具体使用方法与函数fft()类似，只是添加一个选项。y=ifft(.,symmetric)；y=ifft(.,nonsymmetric)。本讲稿第六十六页，共一百二十三页2二维傅立叶变换和逆变换 函数fft2()实现二维傅立叶变换，用函数ifft2来实现二维傅立叶逆变换。函数fft2()的具体使用方法如下：Y=fft2(X)，X是矩阵，对矩阵X进行二维傅立叶变换；Y=fft2(X,m,n)，m和n指定傅立叶变换的长度。本讲稿第六十七页，共一百二十三页6.4 功 能 函 数 功能函数就是可以将其他函数作为输入变量的函数。1函数的表示 2函数画图 3函数最小值和零点 4数值积分 5在功能函数中使用含参函数本讲稿第六十八页，共一百二十三页 在matlab中，函数可以通过以下方式来表示：M文件；匿名函数；函数inline()。1函数的表示本讲稿第六十九页，共一百二十三页本讲稿第七十页，共一百二十三页2函数画图 MATLAB提供函数画图的函数如下表所示。函数画图的函数 本讲稿第七十一页，共一百二十三页 以函数fplot()为例介绍画图函数的用法，其具体使用方法如下：fplot(function,limits)，function为 待画图的函数，limits是横坐标数值范围或横纵坐标数值范围；本讲稿第七十二页，共一百二十三页 fplot(function,limits,LineSpec)，LineSpec指定画图的线条属性；fplot(function,limits,tol)，tol指定画图相对精度；fplot(function,limits,tol,LineSpec)，指定画图的线条属性和画图相对精度。本讲稿第七十三页，共一百二十三页画网格的作用画网格的作用是是1 不是不是L本讲稿第七十四页，共一百二十三页运行结果如下图所示。本讲稿第七十五页，共一百二十三页3函数最小值和零点 求函数的最小值和零点的函数，如下表所示。求函数最小值和零点 本讲稿第七十六页，共一百二十三页（1）求一元函数最小值 函数fminbnd()求一元函数在给定区间内的最小值，其具体使用方法如下：x=fminbnd(fun,x1,x2)，在区间x1 x2内寻找函数最小值；本讲稿第七十七页，共一百二十三页 x=fminbnd(fun,x1,x2,options)，使用options选项来指定的优化器的参数；x,fval=fminbnd(.)，附加返回函数最小值。本讲稿第七十八页，共一百二十三页（2）求多元函数的最小值 函数fminsearch()求多元函数的最小值。其具体使用方法如下：x=fminsearch(fun,x0)，在初始x0附近寻找局部最小值；x=fminsearch(fun,x0,options)，使用options选项来指定优化器的参数；本讲稿第七十九页，共一百二十三页 x,fval=fminsearch(.)，附加返回函数最小值。本讲稿第八十页，共一百二十三页（3）求一元函数的零点 函数fzero()求一元函数的零点，其具体使用方法如下：x=fzero(fun,x0)，在x0点附近寻找函数的零点；x=fzero(fun,x0,x1)，在x0,x1区间内寻找函数的零点；本讲稿第八十一页，共一百二十三页 x=fzero(fun,x0,options)，用options指定寻找零点的优化器参数；x,fval=fzero(.)，附加自变量为x时的函数值。本讲稿第八十二页，共一百二十三页（4）优化器参数 函数optimset()设定优化器参数，其具体使用方法如下：options=optimset(param1,value1,param2,value2,.)，用参数名和对应的参数值设定优化器的参数；本讲稿第八十三页，共一百二十三页 optimset，显示优化器的所有参数名和有效的参数值；options=optimset，返回一个优化器的结构体；options=optimset(optimfun)，返回函数optimfun()对应的优化器参数；本讲稿第八十四页，共一百二十三页 options=optimset(oldopts,param1,value1,.)，在原优化器参数oldopts的基础上，改动指定优化器参数；options=optimset(oldopts,newopts)，用newopts的所有非空参数覆盖oldopts中的值。本讲稿第八十五页，共一百二十三页 在函数optimset()中常用的优化器参数如下表所示。优化器参数 本讲稿第八十六页，共一百二十三页 函数optimget()得到目前优化器的参数，其具体使用方法如下：val=optimget(options,param)，返回优化器参数param的值；val=optimget(options,param,default)，返回优化器参数param的值。本讲稿第八十七页，共一百二十三页4数值积分 MATLAB提供一些的数值积分函数，如下表所示。数值积分函数 本讲稿第八十八页，共一百二十三页（1）一元函数的数值积分 函数quad()和函数quadl()来计算一元函数的积分。函数quad()的具体使用方法如下：q=quad(fun,a,b)，计算函数fun在a b区间内的定积分；本讲稿第八十九页，共一百二十三页 q=quad(fun,a,b,tol)，以绝对误差容限tol计算函数fun在a b区间内的定积分；q=quad(fun,a,b,tol,trace)，当trace为非零值时，显示迭代过程的中间值。本讲稿第九十页，共一百二十三页（2）矢量数值积分 矢量数值积分等价于多个一元定积分。本讲稿第九十一页，共一百二十三页（3）二重和三重积分 函数dblquad()计算二重积分。其具体使用方法如下：q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，计算二元函数的二重积分；q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)，用tol指定绝对计算精度；本讲稿第九十二页，共一百二十三页 q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)，用method指定计算一维积分时采用的函数。本讲稿第九十三页，共一百二十三页5在功能函数中使用含参函数 功能函数中的含参函数的两种解决方法：嵌套函数匿名函数本讲稿第九十四页，共一百二十三页 编写M文件的函数时：首先将含参函数的参数作为输入；其次在其中调用功能函数，形成嵌套；最后通过调用该函数进行计算。（1）用嵌套函数提供函数参数本讲稿第九十五页，共一百二十三页本讲稿第九十六页，共一百二十三页运行结果如下图所示。本讲稿第九十七页，共一百二十三页（2）用匿名函数提供函数参数 用匿名函数提供函数参数的具体步骤如下：创建一个含参函数，并保存为M文件格式；调用功能函数的M文件中给参数赋值；用含参函数创建匿名函数；把匿名函数句柄传递给功能函数计算。本讲稿第九十八页，共一百二十三页6.5 微分方程组数值解 在MATLAB中，可以计算微分方程数值解，如：常微分方程组的初值问题；延迟微分方程的问题；常微分方程组的边界问题。本讲稿第九十九页，共一百二十三页本讲稿第一百页，共一百二十三页6.5.1 常微分方程组的初值问题 1显式常微分方程组 2设置解法器参数 3线性隐式常微分方程组 4完全隐式常微分方程组本讲稿第一百零一页，共一百二十三页 在MATLAB中可以计算以下初值问题的数值解。显式常微分方程组；线性隐式常微分方程组；完全隐式常微分方程组。本讲稿第一百零二页，共一百二十三页1显式常微分方程组 在MATLAB中，用函数实现不同的解法，如下表所示。本讲稿第一百零三页，共一百二十三页常微分方程组解法对比常微分方程组解法对比 本讲稿第一百零四页，共一百二十三页2设置解法器参数 函数odeset()设定解法器参数，其具体使用方法如下：options=odeset(name1,value1,name2,value2,)，用参数名和相应参数值设定解法器的参数；本讲稿第一百零五页，共一百二十三页 options=odeset(oldopts,name1,value1,)，修改原来的解法器options结构体oldopts；options=odeset(oldopts,newopts)，合并两个解法器options结构体oldopts和newopts；odeset，显示所有的参数值和它们的默认值。本讲稿第一百零六页，共一百二十三页常微分方程组解法器参数本讲稿第一百零七页，共一百二十三页本讲稿第一百零八页，共一百二十三页3线性隐式常微分方程组 线性隐式常微分方程组可以利用解法器参数options来求解。本讲稿第一百零九页，共一百二十三页本讲稿第一百一十页，共一百二十三页运行结果如下图所示。本讲稿第一百一十一页，共一百二十三页4完全隐式常微分方程组 函数ode15i()求解完全隐式常微分方程组，其具体使用方法如下：t,Y=ode15i(odefun,tspan,y0,yp0)；t,Y=ode15i(odefun,tspan,y0,yp0,options)。本讲稿第一百一十二页，共一百二十三页 函数decic()得到自洽初始值，其具体使用方法如下：y0mod,yp0mod=decic(odefun,t0,y0,fixed_y0,yp0,fixed_yp0)；y0mod,yp0mod=decic(odefun,t0,y0,fixed_y0,yp0,fixed_yp0,options)。本讲稿第一百一十三页，共一百二十三页本讲稿第一百一十四页，共一百二十三页运行结果如下图所示。本讲稿第一百一十五页，共一百二十三页6.5.2 延迟微分方程的问题 函数dde23()求解延迟微分方程组，其具体使用方法如下：sol=dde23(ddefun,lags,history,tspan)；sol=dde23(ddefun,lags,history,tspan,option)，option结构体用于设置解法器的参数。本讲稿第一百一十六页，共一百二十三页 函数dde23()的返回值是一个结构体，它包含7个属性，其中重要的5个属性如下：sol.x，dde23选择计算的时间点；sol.y，在时间点x上的解y(x)；sol.yp，在时间点x上解的一阶导数y(x)；本讲稿第一百一十七页，共一百二十三页 sol.history，方程初始值；sol.solver，解法器的名字dde23；若需得到tint时刻的解，可以使用函数deval，即yint=deval(sol,tint)。本讲稿第一百一十八页，共一百二十三页6.5.3 常微分方程组的边界问题本讲稿第一百一十九页，共一百二十三页 函数bvp4c()的具体使用方法如下：sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit)，odefun代表常微分方程组的函数，bcfun是描述边界条件的函数，solinit是对方程解的猜测解；sol=bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options)，使用options结构体来设定解法器的参数。本讲稿第一百二十页，共一百二十三页本讲稿第一百二十一页，共一百二十三页本讲稿第一百二十二页，共一百二十三页运行结果如下图所示。本讲稿第一百二十三页，共一百二十三页