分离变量法第二节课PPT讲稿.ppt
分离变量法第二节课分离变量法第二节课第1页，共35页，编辑于2022年，星期五1.有界弦的自由振动(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)首先设法找到所有具有首先设法找到所有具有变量分离变量分离形式的满足方程形式的满足方程（1.11.1）和边界条件（）和边界条件（1.21.2）的非零特解。）的非零特解。所谓函数所谓函数 u(x,t)具有变量分离形式具有变量分离形式,是指它可表示为是指它可表示为(1.5)(I)第2页，共35页，编辑于2022年，星期五将（将（1.5）代入方程（）代入方程（1.1）得到）得到即即(1.6)(1.6)式中式中,左端是左端是t的函数，右端是的函数，右端是x的函数，由此可得只的函数，由此可得只能是常数，记为能是常数，记为 。从而有。从而有将（将（1.5）代入方程（）代入方程（1.2）得到）得到由于由于 在在 0,L不恒等于不恒等于0，所以，所以(1.7)(1.9)(1.8)(1.10)第3页，共35页，编辑于2022年，星期五特征值问题特征值问题这是一个二阶线性常微分方程的两点边值问题这是一个二阶线性常微分方程的两点边值问题问问：是否存在参数：是否存在参数 的一些值，使得该两点问题的一些值，使得该两点问题有非零解？有非零解？(1.7)(1.10)I.1一定是它的解（平凡解一定是它的解（平凡解)这样的这样的一类问题一类问题称为特征值称为特征值(本征值本征值)问题问题特征值（本征值）：使得上述问题有非零解的参数特征值（本征值）：使得上述问题有非零解的参数 特征函数（本征函数）：与特征值特征函数（本征函数）：与特征值 相应的非零解相应的非零解第4页，共35页，编辑于2022年，星期五具体求解具体求解情形（情形（A）情形（情形（B）(1.7)的通解为的通解为由由(1.10)，可推出，可推出只有零解。只有零解。(1.7)的通解为的通解为由由(1.10)，可推出，可推出只有零解。只有零解。(1.7)(1.10)第5页，共35页，编辑于2022年，星期五情形（情形（C）方程的通解为方程的通解为由边界条件由边界条件X(0)=0推出推出再由再由知道为了使知道为了使必须必须于是有于是有这样就找到了一族非零解这样就找到了一族非零解特征值特征函数(1.11)(1.12)正是傅里叶正弦级数的基本函数族正是傅里叶正弦级数的基本函数族第6页，共35页，编辑于2022年，星期五由此，就得到方程（由此，就得到方程（1.1）满足边界条件（）满足边界条件（1.2）的变量）的变量分离的非零特解分离的非零特解代入代入 得得(1.13)其通解为其通解为I.2把把第7页，共35页，编辑于2022年，星期五(II)特解的叠加特解的叠加一般来讲，前面求出的特解不满足初始条件。我们需要对它们做一般来讲，前面求出的特解不满足初始条件。我们需要对它们做适当的线性组合，以得出适当的线性组合，以得出(1.1)-(1.4)的解也就是说，要决定的解也就是说，要决定常数常数，使，使(1.14)(1.15)(1.16)满足满足(1.1)-(1.4)假设假设(1.14)中的中的函数级数可以对函数级数可以对x和和t逐项求导两次，逐项求导两次，则则u(x,t)必满足必满足(1.1)-(1.2)，并且条件，并且条件(1.3)和和(1.4)可改写为可改写为第8页，共35页，编辑于2022年，星期五因此，当因此，当为为正弦展开的正弦展开的 Fourier(1.17)(1.18)这样，在前面的假设下，我们给出了混合问题这样，在前面的假设下，我们给出了混合问题(1.1)-(1.4)的解的解(1.14)，其中系数由公式，其中系数由公式(1.17)和和(1.18)给出。给出。在在0,L区间上满足区间上满足 Dirichlet 条件条件时，可取时，可取 上述解上述解PDE的方法称为的方法称为分离变量法分离变量法。级数的系数，即级数的系数，即第9页，共35页，编辑于2022年，星期五分离变量法的解题步骤分离变量法的解题步骤第一步第二步第三步令令适合方程和边界条件适合方程和边界条件，从而定出从而定出所适合的所适合的常微分方程齐次边值问题常微分方程齐次边值问题，以及，以及适合的常微分方程。适合的常微分方程。特征值特征值问题问题求解该常微分方程齐次边值问题，求出全求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应的部特征值和特征函数，并求出相应的 的表达式。的表达式。将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。用初始条件定出所有待定系数。第10页，共35页，编辑于2022年，星期五例例2令令是齐次方程和齐次边界条件的非零解是齐次方程和齐次边界条件的非零解则有则有第11页，共35页，编辑于2022年，星期五故有故有其中其中第12页，共35页，编辑于2022年，星期五第13页，共35页，编辑于2022年，星期五情形（情形（A）时方程的通解为时方程的通解为由边值条件，有由边值条件，有即方程只有零解。即方程只有零解。例例例例3 3求解下面的特征值问题求解下面的特征值问题求解下面的特征值问题求解下面的特征值问题解解解解由由，可得可得.第14页，共35页，编辑于2022年，星期五情形（情形（B）时方程的通解为时方程的通解为由边值条件，有由边值条件，有即方程只有零解。即方程只有零解。情形（情形（C）时方程的通解为时方程的通解为可知可知由由由边界条件由边界条件u(0)=0推出推出为使为使必须必须由此，可得特征值为由此，可得特征值为从而从而对应的特征函数为对应的特征函数为第15页，共35页，编辑于2022年，星期五例例4 4、研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零，另一 端温度为端温度为u0 0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不 变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。变，另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。边界条件：边界条件：初始条件：初始条件：第16页，共35页，编辑于2022年，星期五(2)(2)分离变量：分离变量：(3)(3)、求解本征值问题：、求解本征值问题：第17页，共35页，编辑于2022年，星期五X=0,X=0,l 时时第18页，共35页，编辑于2022年，星期五x=0,l 时时则有则有 则必有则必有 （k=0,1,2）第19页，共35页，编辑于2022年，星期五故有：故有：本征解本征解 第20页，共35页，编辑于2022年，星期五（4 4）、通解中常数确定）、通解中常数确定第21页，共35页，编辑于2022年，星期五分离变量法的解题步骤分离变量法的解题步骤第一步第二步第三步令令适合方程和边界条件适合方程和边界条件，从而定出从而定出所适合的所适合的常微分方程齐次边值问题常微分方程齐次边值问题，以及，以及适合的常微分方程。适合的常微分方程。特征值特征值问题问题求解该常微分方程齐次边值问题，求出求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应的全部特征值和特征函数，并求出相应的 的表达式。的表达式。将所有变量分离形式的特解叠加起来，并将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。利用初始条件定出所有待定系数。第22页，共35页，编辑于2022年，星期五分离变量法也适用于分离变量法也适用于laplacelaplace方程方程例例5 5解解第23页，共35页，编辑于2022年，星期五第24页，共35页，编辑于2022年，星期五若若0，第25页，共35页，编辑于2022年，星期五第26页，共35页，编辑于2022年，星期五第27页，共35页，编辑于2022年，星期五非齐次方程非齐次方程有界弦的纯强迫振动有界弦的纯强迫振动考虑有界弦的纯强迫振动有界弦的纯强迫振动，即研究定解问题：容易知道，直接应用分离变量法行不通(?)。受求解非齐次线性常微分方程的常数变易法启发，可先考虑与非齐次方程对应的齐次问题。第28页，共35页，编辑于2022年，星期五原定解问题对应的齐次问题如下：第29页，共35页，编辑于2022年，星期五第30页，共35页，编辑于2022年，星期五利用常数变易法常数变易法易求得关于 Tn 的常微分方程的解为：第31页，共35页，编辑于2022年，星期五这样我们就得到如下定解问题：的解为：第32页，共35页，编辑于2022年，星期五第33页，共35页，编辑于2022年，星期五第34页，共35页，编辑于2022年，星期五第35页，共35页，编辑于2022年，星期五
