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数学模型初等模型第1页，本讲稿共68页引 论第2页，本讲稿共68页原 型model 指为了某个特定的目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。Prototype 指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统（system）、过程(process)等词汇。模 型与第3页，本讲稿共68页模 型物质模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直观模型、物理模型思维模型、符号模型、数学模型数学模型第4页，本讲稿共68页数学模型 “数学模型是关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构。”更简洁地，也可以认为“数学模型是用数学术语对部分现实世界的描述。”本德（E.A.Bender）第5页，本讲稿共68页一般地说，数学模型可以描述为：对于现实世界地一个特定对象特定对象，为了一个特定目的特定目的，根据特有的内在规律内在规律，做出一些必要的简化假设简化假设，运用适当的数学工具数学工具，得到的一个数学结构数学结构。数学模型第6页，本讲稿共68页 甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需要50h，问船速、水速各是多少？解方程组用x，y分别代表船速和水速，得方程第7页，本讲稿共68页描述性的描述性的数学模型数学模型解释性的解释性的数学模型数学模型按按照照人人们们对对原原型型的的认认识识过过程程分分为为类分第8页，本讲稿共68页人口人口模型模型交通交通模型模型电气系电气系统模型统模型通信系通信系统模型统模型机电系机电系统模型统模型环境环境模型模型传染病传染病模型模型水资源水资源模型模型再生资源利再生资源利用模型用模型污染污染模型模型生态生态模型模型按按照照模模型型的的应应用用领领域域分分为为 类分第9页，本讲稿共68页几何几何模型模型代数代数模型模型图论图论模型模型规划论规划论模型模型微分方微分方程模型程模型最优最优控制控制模型模型信息信息模型模型随机随机模型模型决策与对策决策与对策 模型模型模拟模拟模型模型按按照照建建立立模模型型的的数数学学方方法法分分为为 类分第10页，本讲稿共68页静态模型静态模型和和动态模型动态模型确定性模型确定性模型和和随机模型随机模型离散模型离散模型和和连续性模型连续性模型线性模型线性模型和和非线性模型非线性模型按按照照模模型型的的特特征征分分为为 类分第11页，本讲稿共68页白箱模型白箱模型灰箱模型灰箱模型黑箱模型黑箱模型按按照照对对模模型型结结构构的的了了解解程程度度分分为为 类分第12页，本讲稿共68页作 用预报与决策：生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长预报等等，都要有预报模型；使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案，都是决策模型的例子。控制与优化 电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化，要以数学模型为前提。建立大系统控制与优化的数学模型，是迫切需要和十分棘手的课题。分析与设计 例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨音速流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型。规划与管理 生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等，都可以用数学规划模型解决。第13页，本讲稿共68页局 限技 艺条 理非预制可转移强 健渐 近折 衷逼真性和可行性 建模时往往需要在模型的逼真性和可行性，建模时往往需要在模型的逼真性和可行性，“费用费用”与与“效益效益”之间作出折衷和选择。之间作出折衷和选择。数学模型的特点第14页，本讲稿共68页折 衷局 限技 艺条 理非预制可转移强 健渐 近渐近性 稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过建模过程的反复迭代，包括由一次成功，要经过建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型。模型。数学模型的特点第15页，本讲稿共68页渐 近折衷局 限技 艺条 理非预制可转移强 健强健性 一个好的模型应该具有下述意义的强健性：一个好的模型应该具有下述意义的强健性：当模型假设改变时，可以导出模型结构的相应变当模型假设改变时，可以导出模型结构的相应变化；当观测数据有微小改变时，模型参数也只有化；当观测数据有微小改变时，模型参数也只有相应的微小的变化。相应的微小的变化。数学模型的特点第16页，本讲稿共68页强 健渐 近折衷局 限技 艺条 理非预制可转移可转移性 一个模型时现实对象抽象化、理想化的产物，一个模型时现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域。在生态、经济、社会等领域内建模就常的领域。在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型。常借用物理领域中的模型。数学模型的特点第17页，本讲稿共68页可转移强 健渐 近折衷局 限技 艺条 理非预制非预制性 模型的非预制性使得建模本身常常是事先没模型的非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题（有答案的问题（Open-end-problemOpen-end-problem）。在建立新）。在建立新的模型的过程中甚至会伴随折新的数学方法或者的模型的过程中甚至会伴随折新的数学方法或者概念的产生。概念的产生。数学模型的特点第18页，本讲稿共68页非预制可转移强 健渐 近折衷局 限技 艺条 理条理性 从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具有条理性。对象的分析更全面、更深入、更具有条理性。数学模型的特点第19页，本讲稿共68页条 理非预制可转移强 健渐 近折衷局 限技 艺技艺性 从建模的方法无法归纳出若干条普遍适用的从建模的方法无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧。经验、想象力、洞察力、判断建模准则和技巧。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大。比一些具体的数学知识更大。数学模型的特点第20页，本讲稿共68页技 艺条 理非预制可转移强 健渐 近折衷局 限局限性 1.1.当结论应用于实际问题，就回到的现实世界，那当结论应用于实际问题，就回到的现实世界，那些被忽视、简化的因素必须考虑，所以结论的通用性些被忽视、简化的因素必须考虑，所以结论的通用性和精确性只是相对的和近似的。和精确性只是相对的和近似的。2.2.由由于于人人们们认认识识能能力力和和科科学学技技术术发发展展水水平平的的限限制制，还有不少实际问题很难得到有实用价值的数学模型。还有不少实际问题很难得到有实用价值的数学模型。3.3.还还有有些些领领域域中中的的问问题题今今天天尚尚未未发发展展到到用用建建模模的的方方法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程。法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程。数学模型的特点第21页，本讲稿共68页开设目的 对数学教育而言，既应该让学生掌握准确快捷的计算方法和严密的逻辑推理，也需要培养学生用数学工具分析解决实际问题的意识和能力。传统的数学教学体系和内容偏重于前者，开设数学建模课程则是加强后者的一种尝试。另外，开设本课也是为了一年一度的“全国大学生数学建模大赛”做一些准备工作。第22页，本讲稿共68页商人过河 建模示例之 三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳两人，由他们自己划船。随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。商人们怎么样才能安全渡河呢?第23页，本讲稿共68页分析：安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员（商人、随从各几人）作出决策，在保证安全的前提下（两岸的随从数都不比商人数多），在有限步内使全部人员过河。用状态（变量）表示某一岸的人员状况，决策（变量）表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目的。第24页，本讲稿共68页模型构成 记第 次渡河前此岸的商人数 ，随从数为 .将二维向量定义为状态状态。安全渡河条件下的状态集合成为允许状态集合允许状态集合，记做 .第25页，本讲稿共68页模型构成 记第 次渡河渡船上的商人数 ，随从数为 .将二维向量定义为决策决策。允许状态集合允许状态集合，记做 .由小船的容量可知 因为 为奇数时船从此岸驶向彼岸，为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态 随决策 变化的规律是 ，称之为状态转移律。状态转移律。第26页，本讲稿共68页 这样制订安全渡河方案归结为如下的多步决策模型：求决策求决策 ，使状态，使状态 按照转移律，由初始状态按照转移律，由初始状态 经经有限步有限步 到达状态到达状态 。模型构成 第27页，本讲稿共68页O 1 2 3 xy321模型求解 在商人和随从人数不大的简单情况，用图解法比较简便。第28页，本讲稿共68页 这里讲述的是一种规格化的方法，所建立的多步决策模型可以用计算机求解，从而具有推广的意义。譬如，当商人和随从人数增加或小船的容量加大时，靠逻辑思考就困难了，而用这种模型则仍可方便的求解。适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，是有效地解决很广泛的一类问题的方法。评评注注第29页，本讲稿共68页设船速和水速为常数x，y表示船速和水速匀速运动中 s=vt二元一次方程解出 x20，y=5船速为20km/h水速为5km/h根据建模根据建模的目的和的目的和问题的背问题的背景作出必景作出必要的简化要的简化假设假设用字母表示用字母表示待求的未知待求的未知量量利用相应的利用相应的物理和其他物理和其他规律规律求出数学上的求出数学上的解答解答用这个答案用这个答案解释原问题解释原问题列出数学式子列出数学式子验证合 格第30页，本讲稿共68页论文、上机论文、上机指导指导概率统概率统计模型计模型应用软件应用软件微分方微分方程模型程模型优化模型优化模型第31页，本讲稿共68页 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。现学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有 个席位。初等模型之 公平的席位分配10，6，4 现在丙系有6名学生转入甲乙两系，有3人转入甲系，3人转入乙系。这时代表席位应该怎样分配呢？第32页，本讲稿共68页表1 按照比例并参照惯例的席位分配21个席位的分配比例分配席位参照惯例结果10.815116.61573.570321.00021系别学生人数学生人数的比例()20个席位的分配比例分配席位参照惯例结果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.02020第33页，本讲稿共68页建立数量指标 讨论A,B两方公平席位分配的情况。设两方人数分别为 和 ，占有席位分别为 和 ，则每个席位代表的人数为 和 。公平的条件：公平的条件：但是，通常情况下 ，即不公平，并且数值较大的一方吃亏，即对这一方不公平。第34页，本讲稿共68页则 。不妨假设不公平程度可用数值 衡量。分析：设(1)则 ；又设(2)为了改进上述绝对标准，故采用为了改进上述绝对标准，故采用相对相对标准标准。第35页，本讲稿共68页若 ，则定义为对对A的相对不公平度的相对不公平度。若 ，则定义为对对A的相对不公平度的相对不公平度。原则：使 尽可能小。第36页，本讲稿共68页 不失一般性可设 ，即对A不公平。当再增加1席时，关于 的不等式有以下可能：确定分配方案 利用 和 讨论，当增加1席时，应该分配给A还是B。1.，1.，这说明即使A方增加1席仍然对A不公平，所以这一席显然应该分给A方；第37页，本讲稿共68页 2.，这说明A方增加一席时将变为对B不公平，参照 可计算出对B的相对不公平度为 3.，即当B方增加一席时将对A不公平，参照 可计算出对B的相对不公平度为第38页，本讲稿共68页所以如果则这1席应分给A方；反之则分给B方。由得第39页，本讲稿共68页记则增加的1席应分给Q值较大的一方。这种席位分配方法称为Q值法。第20席：第40页，本讲稿共68页记则增加的1席应分给Q值较大的一方。这种席位分配方法称为Q值法。第21席：第41页，本讲稿共68页 寻求公平分配席位的方法的关键，是建立衡量公平程度的既简单又简明的数量指标，本模型提出的的指标是相对不公平度，在这个前提下得到的Q值方法应该是公平的。但是如果跳出这个前提，公平席位问题还远未解决。评评注注第42页，本讲稿共68页练：学校共有1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试着用以下方法分配各宿舍的委员数：(1)Q值法。(2)dHondt方法：将A,B,C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,相除，其商数如表：12345A235117.578.358.7547B333166.511183.2566.6C43221614410886.4第43页，本讲稿共68页初等模型之 双层玻璃窗的功效 如图所示，两层厚度为 的玻璃夹着一层厚度为 的空气。据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。墙墙墙墙第44页，本讲稿共68页模型假设 1.热量的传播只有传导，没有对流。即假定窗户密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。2.室内温度 和室外温度 保持不变，热传导过程处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数。第45页，本讲稿共68页在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律：厚度为 的均匀介质，两侧温度差为 ，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量 与 成正比，与 成反比，即 为热传导系数。模型构成 第46页，本讲稿共68页 记双层窗内玻璃的外侧温度是 ，外层玻璃的内侧温度是 ，玻璃的热传导系数为 ，空气的热传导系数为 ，由 式单位时间单位面积的热量传导(即热量流失)为从上式中消去 ，可得墙墙第47页，本讲稿共68页 对于厚度为 的单层玻璃窗，容易写出其热量传导为墙墙那么，二者之比为从有关资料可知，常用玻璃的热传导系数为不流通、干燥空气的热传导系数为第48页，本讲稿共68页取 ，由 ，式可得热量损失比 与 的关系第49页，本讲稿共68页模型应用 这个模型具有一定应用价值。制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建筑规范要求 。按照这个模型，3 ，即双层窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97左右。不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数 ，而这要求空气是干燥、不流通的，这当然不能完全满足，所以功效实际上会差一些。另外，房间热量的散失，通过玻璃窗的实际上只占一小部分。第50页，本讲稿共68页初等模型之划艇比赛的成绩 赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon比较了各种赛艇19641970年四次2000m比赛的最好成绩(包括64年和68年的两次奥运会和两次世界锦标赛)，发现他们之间有相当一致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系，于是建立了一个模型来解释这种关系。第51页，本讲稿共68页艇种艇种2000m成绩成绩 t(min)艇长艇长 (m)艇宽艇宽 (m)1234平均平均单人单人 7.167.257.287.177.217.93 0.293 27.016.3双人双人 6.876.926.956.776.889.76 0.356 27.413.6四人四人 6.336.426.486.136.32 11.75 0.574 21.018.1八人八人 5.875.925.825.735.84 18.28 0.610 30.014.7各种艇的比赛成绩和规格第52页，本讲稿共68页问题分析 赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力。艇靠桨手的力量克服阻力保持一定的速度前进。桨手越多划艇前进的动力越大。但是艇和桨手总重量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力便会加大，增加的阻力将抵消一部分增加的动力。建模目的是寻求桨手数量与比赛成绩的关系之间的数量规律。如果假设艇速在整个赛程中保持不变，那么只需要构造一个静态模型，使问题简化为建立桨手数量与艇速之间的关系。第53页，本讲稿共68页 为了分析所受阻力的情况，调查各种艇的几何尺寸和重量，可以看出，桨手数 增加时，及艇重 都随之增加，但是比值 和 变化不大。若假定 是常数，即各种艇的形状一样，则可得艇浸没面积与排水体积之间的关系。若假定 是常数，则可得到艇与桨手总重量与桨手数之间的关系。此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系等方面作出简化且合理的假定，才能用合适的物理定律建立需要的模型。第54页，本讲稿共68页模型假设 1.各种艇的几何形状相同，为常数；艇重 桨手数 成正比。这是艇的静态特性。2.艇速 是常数，前进时受的阻力 与 成正比(其中 是艇浸没部分的面积)。这是艇的动态特性。3.所有桨手的体重都相同，记作 ；在比赛中每个桨手的划桨功率 保持不变，且 与 成正比。第55页，本讲稿共68页 由假设1，各种艇几何形状相同。若艇浸没面积 与某特征尺寸 的平方成正比 ，则艇排水体积 必与 的立方成正比 其中 ，代入 得 模型构成 有 名桨手的艇的总功率 与阻力 和速度 的乘积成正比，即由假设1，各种艇几何形状相同第56页，本讲稿共68页 而由阿基米德定律，艇排水体积 与总重量 成正比，即 又根据艇重 与桨手数 成正比，所以艇和桨手数的总重量 也与 成正比，即 式代入 式，当 是常数时得到第57页，本讲稿共68页初等模型之动物的身长和体重 四足动物的躯干长度(不含头尾)与它的体重有什么关系，这个问题有一定实际意义。比如，在生猪收购站或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出它的体重。动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入对生物学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的的有使用价值的模型。第58页，本讲稿共68页 把四足动物的躯干看作圆柱体，长度 、直径 、断面面积 。将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁。设动物在自身体重 作用下躯干的最大下垂度为 (即梁的最大弯曲),根据对弹性梁的研究因为 ，所以第59页，本讲稿共68页 类比法是建模中常用的一种方法。在这个模型中将动物躯干类比作弹性梁实属一个大胆的假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细检验。但是这种充分发挥想象力，把动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题转化为已经有确切成果的弹性梁在自重下挠曲问题的作法，是值得借鉴的。评评注注第60页，本讲稿共68页初等模型之实物交换 甲有面包一斤，乙有香肠若干。二人共进午餐时希望相互交换一部分，达到双方满意的结果。这种实物交换模型问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上。显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度，而偏爱程度很难给出确切的定量模型。我们用作图的方法对双方将如何交换实物建立的模型。第61页，本讲稿共68页 设交换前甲占有物品 的数量为 ，乙占有物品的数量为 ，交换后甲占有物品 和 的数量分别为 和 。于是乙占有 和 的数量为 和 。无差别曲线甲对物品的偏爱程度乙对物品的偏爱程度第62页，本讲稿共68页甲乙第63页，本讲稿共68页第64页，本讲稿共68页初等模型之核 军 备 竞 赛 在20世纪六七十年代的冷战时期，美苏两个核大国都声称为了保卫自己的安全，而实行所谓核威慑战略，核军备竞赛不断升级。随着前苏联的解体核冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议，2001年7月美俄两国总统同意进一步裁减武器，俄罗斯总统普京建议两国各自再裁减1500枚核战略武器(据估计这时美俄各有7000枚核6500枚)。在什么情况下双方的核军备竞赛才不会无限扩张而存在暂时的平衡状态？第65页，本讲稿共68页 以双方的核导弹数量为对象，描述双方核军备的大小，假定双方同样采取如下的核威慑战略：模型假设 (1)认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；(2)己方在经受第一次核打击后，应保存有足够的核导弹，给对方的工业、交通中心等目标以毁灭性的打击。在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地，且摧毁这个基地的可能性是常数，由一方的攻击精度和另一方的防御能力所决定。第66页，本讲稿共68页图的模型 记 为甲方拥有 枚核导弹时，乙方采取核威慑战略所需的最小核导弹数；为乙方拥有 枚核导弹时，甲方采取核威慑战略所需的最小核导弹数。第67页，本讲稿共68页乙安全区甲安全区双方安全区第68页，本讲稿共68页