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正交试验设计与数据处理第1页，共83页，编辑于2022年，星期六4.1 正交表及其用法正交表及其用法 正正交交表表记记为为 Ln（mk），m 是是各各因因素素的的水水平平，k（列列数数）是是因因素素的的个个数，数，n 是安排试验的次数（行数）。是安排试验的次数（行数）。L9（34）4因因素素3水水平平正正交交试试验验，共共做做9次次试试验验，而而全全面面试试验验要要做做 34=81 次次，减少了减少了72次。次。L25（56）6因因素素5水水平平正正交交试试验验，共共做做25次次试试验验，而而全全面面试试验验要要做做 56=15625 次，减少了次，减少了15600次。次。正交表的两条重要性质：正交表的两条重要性质：（1）每每列列中中不不同同数数字字出出现现的的次次数数是是相相等等的的，如如 L9（34），每每列列中中不不同同的的数字是数字是1，2，3。它们各出现三次。它们各出现三次。（2）在在任任意意两两列列中中，将将同同一一行行的的两两个个数数字字看看成成有有序序数数对对时时，每每种种数数对对出出现现的的次次数数是是相相等等的的，如如如如 L9（34），有有序序数数对对共共有有9个个：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），），它们各出现一次它们各出现一次。第2页，共83页，编辑于2022年，星期六4.1 正交表及其用法正交表及其用法 由由于于正正交交表表的的性性质质，用用它它来来安安排排试试验验时时，各各因因素素的的各各种种水平是搭配均衡的。水平是搭配均衡的。下面通过具体例子来说明如何用正交表进行试验设计。下面通过具体例子来说明如何用正交表进行试验设计。第3页，共83页，编辑于2022年，星期六 例例4.1 某某水水泥泥厂厂为为了了提提高高水水泥泥的的强强度度，需需要要通通过过试试验验选选择择最最好好的的生生产产方方案案，经经研研究究，有有3个个因因素素影影响响水水泥泥的的强强度度，这这3个个因因素素分分别别为为生生料料中中矿矿化化剂剂的的用用量量、烧烧成成温温度度、保保温温时时间间，每每个个因因素素都都考考虑虑3个个水水平平，具具体体情情况况如如表表4-2，试试验验的的考考察察指指标标为为28天天的的抗抗压压强强度度（MPa），分分别别为为44.1,45.3,46.7,48.2,46.2,47.0,45.3,43.2,46.3。问问：对对这这3个个因因素素的的3个水平如何安排，才能获得最高的水泥的抗压强度个水平如何安排，才能获得最高的水泥的抗压强度?解解：在在这这个个问问题题中中，人人们们关关心心的的是是水水泥泥的的抗抗压压强强度度，我我们们称称它它为为试试验验指指标标，如如何何安安排排试试验验才才能能获获得得最最高高的的水水泥泥抗抗压压强强度度，这这只只有有通通过过试试验验才才能能解解决决，这这里里有有3个个因因素素，每每个个因因素素有有3个个水水平平，是是一一个个3因因素素，3水水平平的的问问题题，如如果果每每个个因因素素的的每每个个水水平平都都互互相相搭搭配配着着进进行行全全面面试试验验，必必须须做做试试验验33=27次次，我我们们把把所所有有可可能能的的搭搭配配试试验验编编号号写写出出，列列在表在表4-3中。中。第4页，共83页，编辑于2022年，星期六例例4.1 进进行行27次次试试验验要要花花很很多多时时间间，耗耗费费不不少少人人力力、物物力力，为为了了减减少少试试验验次次数数，但但又又不不能能影影响响试试验验的的效效果果，因因此此，不不能能随随便便地地减减少少试试验验，应应当当把把有有代代表表性性的的搭搭配配保保留留下下来来，为为此此，按按 L9（34）表表中中前前3列列的的情情况况从从27个个试试验验中中选选取取9个个，它它们们的的序序号号分分别别为为1，5，9，11，15，16，21，22，26，将将这这9个个试试验验按按新新的的编编号号19写写出出来来，正正好好是是正正交交表表 L9（34）的的前前3列列，如如表表4-1所所示。示。为为了了便便于于分分析析计计算算，把把考考查查指指标标（铁铁水水温温度度）列列于于表表4-4的的右右边边，做成一个新的做成一个新的表表4-5，利用张表进行分析计算。，利用张表进行分析计算。从从表表4-5中中的的数数据据处处理理与与分分析析，可可以以得得出出结结论论：各各因因素素对对考考查查指指标标（抗抗压压强强度度）的的影影响响按按大大小小次次序序来来说说应应当当是是A(矿矿化化剂剂用用量量)、B(保保温温时时间间)、C(烧成温度烧成温度)，最好的方案应当是，最好的方案应当是A2C2B3，即：即：第5页，共83页，编辑于2022年，星期六例例4.1 A2：矿化剂用量，矿化剂用量，第第2水平，水平，4%；C2：保温时间，保温时间，第第2水平，水平，30min；B3：烧成温度，烧成温度，第第3水平，水平，1450。得得出出的的最最好好方方案案在在已已经经做做过过的的9次次试试验验中中没没有有出出现现，与与它它比比较较接接近近的的是是第第4号号试试验验，在在第第4号号试试验验中中只只有有烧烧成成温温度度B不不是是处处于于最最好好水水平平，而而且且烧烧成成温温度度对对抗抗压压强强度度的的影影响响是是3个个因因素素中中最最小小的的。从从实实际际做做出出的的结结果果看看出出第第4号号试试验验中中的的抗抗压压强强度度是是48.2MPa，是是9次次试试验验中中最最高高的的，这这也也说说明明我我们们找出的最好方案是符合实际的。找出的最好方案是符合实际的。为为了了最最终终确确定定试试验验方方案案A2C2B3是是不不是是最最好好方方案案，可可以以按按这这个个方方案案再再试试验验一一次次，若若比比4号号好好，作作为为最最好好结结果果，若若比比4号号差差，则则以以4号号为为最最佳佳条条件件。如如出出现现后后一一结结果果，说说明明我我们们的的理理论论分分析析与与实实践践有有一一定定的的差差距距，最最终终还还是是要要接受实践的检验。接受实践的检验。第6页，共83页，编辑于2022年，星期六正交试验步骤归纳如下：正交试验步骤归纳如下：1、确定要考核的试验指标；、确定要考核的试验指标；2、确定要考察的因素和各因素的水平；、确定要考察的因素和各因素的水平；以上两条要实践经验来决定。以上两条要实践经验来决定。3、选用合适的正交表，一般只要正交表中的因素个数比试验要考察的因、选用合适的正交表，一般只要正交表中的因素个数比试验要考察的因素的个数稍大或相等就行了。这样既保证了试验目的，而试验次数又不素的个数稍大或相等就行了。这样既保证了试验目的，而试验次数又不致太多，省工省时；致太多，省工省时；4、试验，测定试验指标；、试验，测定试验指标；5、试验结果分析计算，得出合理的结论。、试验结果分析计算，得出合理的结论。以上的方法以上的方法直观分析法。简单、计算量小、很实用。直观分析法。简单、计算量小、很实用。正正交交试试验验的的主主要要分分析析工工具具是是正正交交表表，而而在在因因素素及及其其水水平平都都确确定定的的情况下，正交表并不是唯一的，常见的正交表见本书末情况下，正交表并不是唯一的，常见的正交表见本书末附表附表4。第7页，共83页，编辑于2022年，星期六4.2 多指标的分析方法多指标的分析方法 在在例例4.1中中，试试验验指指标标只只有有一一个个，考考察察起起来来比比较较方方便便，但但实实际际问问题题中中，需需要要考考察察的的指指标标往往往往不不止止一一个个，有有时时有有两两个个、三三个个或或更更多多。如如何何评评价价考考察察指指标标呢呢？两种方法两种方法。4.2.1 综合平衡法综合平衡法 通过具体的例子来加以说明。通过具体的例子来加以说明。例例4.2 某陶瓷厂为了提高产品质量，要对生产的原料进行配方试验。某陶瓷厂为了提高产品质量，要对生产的原料进行配方试验。要检验要检验3项指标：抗压强度、落下强度和裂纹度，前两个指标越大越好，项指标：抗压强度、落下强度和裂纹度，前两个指标越大越好，第第3个指标越小越好。根据以往的经验，配方有个指标越小越好。根据以往的经验，配方有3个重要因素：水分、粒度个重要因素：水分、粒度和碱度。它们各有和碱度。它们各有3个水平，具体数据如个水平，具体数据如表表4-6所示。试进行试验分析，找所示。试进行试验分析，找出最好的配方方案。出最好的配方方案。第8页，共83页，编辑于2022年，星期六4.2.1 综合平衡法（例综合平衡法（例4.2的解）的解）解解 3因因素素3水水平平，应应选选L9（34）正正交交表表来来安安排排试试验验，将将3个个因因素素依依次次放放在在前前3列列（第第4列列不不要要），得得出出一一张张具具体体的的试试验验方方案案表表，测测出出需需要要检检验验的的指指标标结结果果，列列于于表表4-7(a)、(b)、(c)中中，然然后后用用直直观观分分析析法法对对每每个个指指标标分分别别进进行计算分析。行计算分析。将将3 个个指指标标分分别别进进行行计计算算分分析析后后，得得出出3个个好好的的方方案案：对对抗抗压压强强度度是是A2B3C1；对对落落下下强强度度是是A3B3C2；对对裂裂纹纹度度是是A2B3C1，这这3个个方方案案不不完完全全相相同同，对对一一个个指指标标是是好好方方案案，而而对对另另一一个个指指标标却却不不一一定定是是好好方方案案，如如何何找找出出对对各各个个指指标都较好的一个共同方案呢？标都较好的一个共同方案呢？综综合合分分析析，将将指指标标随随因因素素水水平平变变化化的的情情况况用用图图形形表表示示出出来来，如如图图4.0所所示示（为了看得清楚，将各点用直线连接起来，实际上并不一定是直线。（为了看得清楚，将各点用直线连接起来，实际上并不一定是直线。把图把图4-1和表和表4-7结合起来分析，看每一个因素对各指标的影响。结合起来分析，看每一个因素对各指标的影响。第9页，共83页，编辑于2022年，星期六图图4.0第10页，共83页，编辑于2022年，星期六4.2.1 综合平衡法（例综合平衡法（例4.2的解的综合分析）的解的综合分析）（1）粒粒度度B对对抗抗压压强强度度和和落落下下强强度度来来讲讲，极极差差最最大大，是是最最大大的的影影响响因因素素。从从图图4.0中看出三个指标中看出三个指标B均取均取8为最好为最好即取即取B3。（2）碱碱度度C，极极差差不不大大，次次要要因因素素。由由图图4.0分分析析，取取1.1时时两两个个指指标标好好，1个个指标稍差，对三个指标综合考虑，指标稍差，对三个指标综合考虑，C取取1.1即取即取C1。（3）水水分分A，对对裂裂纹纹度度影影响响极极差差最最大大，A取取9最最好好，由由图图4.0综综合合考考虑虑A取取9即取即取A2。通过各因素对各指标影响的综合分析，得出较好的试验方案是：通过各因素对各指标影响的综合分析，得出较好的试验方案是：B3：粒度取第粒度取第3水平，水平，8；C1：碱度取第碱度取第1水平，水平，1.1；A2：水分取第水分取第2水平，水平，9。第11页，共83页，编辑于2022年，星期六4.2.2 综合评分法综合评分法 对对多多指指标标的的问问题题，真真正正做做到到好好的的综综合合平平衡衡，有有时时很很困困难难，这这是是综综合合平衡法的缺点。综合评分法可以克服这个缺点。平衡法的缺点。综合评分法可以克服这个缺点。例例4.3 某某厂厂生生产产一一种种化化工工产产品品，需需要要检检验验两两个个指指标标：核核酸酸纯纯度度和和回回收收率率，这这两两个个指指标标都都是是越越大大越越好好。有有影影响响的的因因素素有有4个个，各各有有3个个水水平平，具具体体情情况况如如表表4-8所所示示。试试通通过过试试验验分分析析出出较较好好方方案案，使使产产品品的的核核酸酸含含量量和和回回收收率率都都有提高。有提高。解解 这这是是4因因素素3水水平平的的试试验验，可可以以选选用用正正交交表表L9（34）安安排排出出试试验验方方案（这里有案（这里有4个因素，正好将表排满），进行试验，将得出的结果列入个因素，正好将表排满），进行试验，将得出的结果列入表表4-9中。中。综综合合评评分分法法是是根根据据各各个个指指标标的的重重要要性性的的不不同同，按按照照得得出出的的试试验验结结果果综综合合分分析析，给给每每一一个个试试验验评评出出一一个个分分数数，作作为为这这个个试试验验的的总总指指标标。根根据据这这个个总指标作进一步的分析。总指标作进一步的分析。第12页，共83页，编辑于2022年，星期六4.2.2 综合评分法（例综合评分法（例4.3的解）的解）这个方法的关键是如何评分。这个方法的关键是如何评分。在在这这个个试试验验中中，两两个个指指标标的的重重要要性性是是不不同同的的，根根据据实实践践经经验验知知道道，纯纯度度的的重重要要性性大大于于回回收收率率，从从实实际际分分析析，可可以以认认为为纯纯度度是是回回收收率率的的4倍倍。也也就就是是纯纯度度占占权权数数为为4，回回收收率率占占权权数数为为1，按按这这个个权权数数给给出出这这个个试试验验的的总总分分为：为：总分总分4纯度纯度1回收率回收率 由由上上式式计计算算出出这这个个试试验验的的总总分分数数，列列于于表表4-9的的最最右右边边，再再根根据据这这个个分分数，用直观分析法进行分析。数，用直观分析法进行分析。从从表表4-9看看出出，A、D两两个个因因素素的的极极差差都都很很大大，是是对对试试验验影影响响很很大大的的两两个个因因素素，A1、D1为为好好；B因因素素的的极极差差比比A、D的的极极差差小小，对对试试验验的的影影响响比比A、D都都小小；B因因素素取取B3为为好好；C因因素素的的极极差差最最小小，影影响响最最小小，C取取C2为为好好。综综合考虑，最好的试验方案应当是合考虑，最好的试验方案应当是A1B3C2D1，按影响大小次序排列为：按影响大小次序排列为：第13页，共83页，编辑于2022年，星期六4.2.2 综合评分法（例综合评分法（例4.3的解）的解）A1：时间，时间，25小时；小时；D1：加水量，加水量，1：6；B3：料中核酸含量，料中核酸含量，6.0；C2：pH值，值，6.0。可以看出，这里分析出来的最好方案，在已经做过的可以看出，这里分析出来的最好方案，在已经做过的9个试验中是个试验中是没有的，可以按这个方案再试验一次，没有的，可以按这个方案再试验一次，看能不能得出比第看能不能得出比第1号试验更好的结号试验更好的结果果，从而确定出真正最好的试验方案。，从而确定出真正最好的试验方案。综合评分法是将多指标的问题，通过加权计算总分的方法化成一综合评分法是将多指标的问题，通过加权计算总分的方法化成一个指标的问题，这样对结果的分析计算都比较方便、简单。但如何合个指标的问题，这样对结果的分析计算都比较方便、简单。但如何合理地评分，是最关键的问题。这一点只能依据实际经验来解决，单纯理地评分，是最关键的问题。这一点只能依据实际经验来解决，单纯从数学上是无法解决的。从数学上是无法解决的。第14页，共83页，编辑于2022年，星期六4.3 混合水平的正交试验设计混合水平的正交试验设计 在在实实际际情情况况中中，有有时时做做试试验验时时，每每个个因因素素的的水水平平数数是是不不同同的的混合水平混合水平。两种解决方案。两种解决方案。4.3.1 混合水平正交试验设计混合水平正交试验设计 混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等的正交表。这种正交表混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等的正交表。这种正交表有好多种。比如有好多种。比如 L8（4124）就是一个混合水平的正交表，如就是一个混合水平的正交表，如表表4-10所示。所示。其它混合水平的正交表还有很多，见附表所示，它们都有上面所说其它混合水平的正交表还有很多，见附表所示，它们都有上面所说的两点。的两点。例例 4.4 某某 农农 科科 站站 进进 行行 品品 种种 试试 验验，具具 体体 试试 验验 因因 素素 及及 水水 平平 如如表表4-11所示。试验指标是产量，数值越大越好。试用混合正交表所示。试验指标是产量，数值越大越好。试用混合正交表安排试验，找出最好的试验方案。安排试验，找出最好的试验方案。第15页，共83页，编辑于2022年，星期六例例 4.4 的的 解解解解 这个问题中有这个问题中有4个因素，个因素，1个是个是4水平的，水平的，3个是个是2水平的，正好可水平的，正好可以选用混合正交表以选用混合正交表 L8（4123），），因素因素A为为4水平，放在第水平，放在第1列，其余列，其余3个个2水水平的因素平的因素B、C、D顺序放在顺序放在2、3、4列上，第列上，第5列不用。按这个方案进行试验，列不用。按这个方案进行试验，将得出的试验结果放在正交表的右边，然后进行分析，见将得出的试验结果放在正交表的右边，然后进行分析，见表表4-12。经分析得最佳方案为：经分析得最佳方案为：A2B2C2D2。因为，从极差分析可知，因素因为，从极差分析可知，因素D影影响很小，这个方案响很小，这个方案与第与第4号试验结果号试验结果A2B2C2D1很接近很接近，从试验，从试验 结果看出，结果看出，第第4号试验是号试验是8个试验中产量最高的，因此完全有理由取第个试验中产量最高的，因此完全有理由取第4号试验作号试验作为最好的试验方案加以推广。为最好的试验方案加以推广。第16页，共83页，编辑于2022年，星期六4.3.2 拟水平法拟水平法例例4.5 今今有有某某一一试试验验，试试验验指指标标只只有有一一个个，它它的的数数值值越越小小越越好好，这这个个试试验验有有4个个因因素素A、B、C、D，其其中中因因素素C是是2水水平平的的，其其余余3个个因因素素都都是是3水水平平的的，具具体体数数值值如如表表4-13所所示示。试试安安排排试试验验，并并对对试试验验结结果果进进行行分分析析，找找出最好的试验方案。出最好的试验方案。解解：4因因素素试试验验，C为为2个个水水平平，A、B、D为为3个个水水平平。没没有有合合适适的的正正交交表表。设设想想：假假若若C有有3个个水水平平，就就变变成成4因因素素3水水平平的的问问题题了了。如如何何将将C变变成成3水水平平的的因因素素呢呢？从从C中中的的1和和2水水平平中中选选一一个个水水平平让让它它重重复复一一次次作作为为第第3水水平平，这这就就叫叫虚虚拟拟水水平平。取取哪哪一一个个水水平平作作为为第第3水水平平呢呢？一一般般说说，都都是是要要根根据据实实际际经经验验，选选取取一一个个较较好好的的水水平平。比比如如，如如果果认认为为第第2水水平平比比第第1水水平平好好，就就选选第第2水水平平作作为为第第3水水平平。这这样样因因素素水水平平表表4-13就就变变为为表表4-14的的样样子子，它它比比表表4-13多了一个虚拟的第多了一个虚拟的第3水平。水平。第17页，共83页，编辑于2022年，星期六例例4.5 的的 解解 这这样样就就变变成成了了一一个个4因因素素3水水平平的的试试验验，可可以以按按 L9（34）表表安安排排试试验验，并并对对 正正 交交 表表 进进 行行 重重 构构，测测 出出 结结 果果，并并 进进 行行 分分 析析，见见表表4-15所示。所示。从从表表4-15的的极极差差可可以以看看出出，因因素素D对对试试验验的的影影响响最最大大，取取第第3水水平平最最好好；其其次次是是因因素素A，取取第第3水水平平为为好好；再再者者是是因因素素B，取取第第1水水平平为为好好；因因素素C影影响响最最小小，取取第第1 水水平平为为好好。最最优优方方案案为为：A3B1D3C1。这这个个方方案案在在9个个试试验验中中没没有有。从从试试验验结结果果看看8号号试试验验为为最最好好。这这个个试试验验只只有有B不不是是处处在在最最好好情情况况，而而因因素素B的的影影响响是是最最小小的的。可可以以按按这这个个方方案案再再试试验验一一次次，看看是是否否会会得得出出比比第第8号号试试验验更更好好的的结结果果，从从而而确确定定出出真真正正的的最优方案。最优方案。第18页，共83页，编辑于2022年，星期六4.4 有交互作用的正交试验设计有交互作用的正交试验设计例例4.6 有有4块试验田，土质情况基本一样，种植同样的作物。现将氮肥、磷块试验田，土质情况基本一样，种植同样的作物。现将氮肥、磷肥采用不同的方式分别加在肥采用不同的方式分别加在4块地里，收获后算出平均亩产，记在块地里，收获后算出平均亩产，记在表表4-16中。中。氮肥、磷肥交互作用的效果氮肥、磷肥的总效果（只加氮肥的效氮肥、磷肥交互作用的效果氮肥、磷肥的总效果（只加氮肥的效果只加磷肥的效果）果只加磷肥的效果）在多因素的试验中，交互作用影响的大小参照实际经验。如果确有在多因素的试验中，交互作用影响的大小参照实际经验。如果确有把握认定交互作用的影响很小，就可以忽略不计；如果不能确认交互作把握认定交互作用的影响很小，就可以忽略不计；如果不能确认交互作用的影响很小，就应该通过试验分析交互作用的大小。用的影响很小，就应该通过试验分析交互作用的大小。第19页，共83页，编辑于2022年，星期六4.4.1 交互作用表交互作用表 下面介绍交互作用表和它的用法，下面介绍交互作用表和它的用法，表表4-17就是正交表就是正交表 L8（27）所对所对应的交互作用表。应的交互作用表。P183附表附表4中中，列出了几个交互作用的正交表。，列出了几个交互作用的正交表。正交表自由度的确定：正交表自由度的确定：（1）每列的自由度）每列的自由度 f列列水平数水平数1（2）两因素交互作用的自由度）两因素交互作用的自由度 fABfAfB （两因素自由度的乘积）两因素自由度的乘积）对对2因素因素2水平的正交表，因为：水平的正交表，因为：fAfB 21，每列只有一个自由度；每列只有一个自由度；而而fABfAfB 111，所以也占一列。，所以也占一列。第20页，共83页，编辑于2022年，星期六4.4.1 交互作用表交互作用表 对对于于2 因因素素3水水平平，fAfB 312，每每列列有有2个个自自由由度度；而而fABfAfB 224，由由于于交交互互作作用用列列有有4个个自自由由度度，而而每每列列是是2个个自自由由度度，因因此此2 个个3 水水平平因因素素的的交交互互作作用用列列占占2 列列。对于对于2因素因素n水平，水平，fAfB n1，每列有每列有n个自由度；个自由度；而而两两因因素素交交互互作作用用的的自自由由度度为为：fABfAfB（n1）（n1），所所以以交交互作用列要占（互作用列要占（n1）列。列。4.4.2 水平数相同的有交互作用的正交设计水平数相同的有交互作用的正交设计 例例4.7 某产品的产量取决于某产品的产量取决于3个因素个因素A、B、C，每个因素都有两个水平，每个因素都有两个水平，具体数值如具体数值如表表4-18所示。每两个因素都有交互作用，必须考虑。试验指所示。每两个因素都有交互作用，必须考虑。试验指标为产量，越高越好。试安排试验，并分析试验结果，找出最好的方案。标为产量，越高越好。试安排试验，并分析试验结果，找出最好的方案。第21页，共83页，编辑于2022年，星期六1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)表表417列号（列号（）列号列号第22页，共83页，编辑于2022年，星期六例例4.7的解的解 解解 这这是是3因因素素2水水平平的的试试验验。3个个因因素素A、B、C要要占占3列列，它它们们之之间间的的交交互互作作用用AB、B C、A C又又各各占占3列列，共共占占6列列，可可以以用用正正交交表表 L8（27）来来安安排排试试验验。若若将将A、B放放在在第第1、2列列，从从表表4-17查查出出AB应应在在第第3列列，因因此此C就就不不能能放放在在第第3列列，否否则则就就要要和和AB混混杂杂。现现将将C放放在在第第4列列，由由表表4-17查查出出A C应应在在第第5列列，B C应应在在第第6列列。按按这这种种安安排排进进行行试试验验。测测出出结结果果，用用直直观观分分析析法法进进行行分分析析，把把交交互互作作用用当当成成新新的的因因素素看看待待。整整个分析过程记录在个分析过程记录在表表4-19中。中。最最后后要要说说明明一一点点，在在这这里里只只考考虑虑两两列列间间的的交交互互作作用用AB、B C、A C，3个因素的交互作用个因素的交互作用ABC，一般影响很小，这里不去考虑它。一般影响很小，这里不去考虑它。第23页，共83页，编辑于2022年，星期六4.5 正交表的构造法正交表的构造法 从前面的内容可以看出，正交表的用处和好处。那么正交表是如何得来的从前面的内容可以看出，正交表的用处和好处。那么正交表是如何得来的呢？下面就介绍两种正交表的构造方法。呢？下面就介绍两种正交表的构造方法。4.5.1 阿达玛矩阵法阿达玛矩阵法4.5.1.1 阿达玛矩阵阿达玛矩阵 阿阵阿阵 定义：以定义：以1，1为元素，并且任意两列都是正交的矩阵。为元素，并且任意两列都是正交的矩阵。性质：性质：（1）每列元素个数都）每列元素个数都 是偶数；是偶数；（2）任意两列（两行）交换后，仍为阿阵；）任意两列（两行）交换后，仍为阿阵；（3）任意一列（或行）乘）任意一列（或行）乘1以后，仍为阿阵。以后，仍为阿阵。标准阿阵：第一列全为标准阿阵：第一列全为1列（用对行乘列（用对行乘1可得）。可得）。阿方阵：行、列相等阿方阵：行、列相等阿阵，偶阶方阵。阿阵，偶阶方阵。第24页，共83页，编辑于2022年，星期六4.5.1.1、阿达玛矩阵、阿达玛矩阵 n 阶阿阵记为阶阿阵记为Hn。感兴趣：感兴趣：第一列，第一行全为第一列，第一行全为 1 的阿阵。例如：的阿阵。例如：直积构造高阶阿阵的方法：直积构造高阶阿阵的方法：定义：设两个定义：设两个2阶方阵阶方阵A、B它们直积记为它们直积记为A B，定义如下：定义如下：第25页，共83页，编辑于2022年，星期六4.5.1.1、阿达玛矩阵、阿达玛矩阵这是一个这是一个4阶方阵。阶方阵。有下面两个定理：有下面两个定理：定理定理1 设设2阶方阵阶方阵A、B如果它们中的两列是正交的，则它们的直如果它们中的两列是正交的，则它们的直积积A B的任意两列也是正交的。的任意两列也是正交的。定理定理2 两个阿阵的直积是一个高阶阿阵两个阿阵的直积是一个高阶阿阵。据此，可以用简单的低阶阿阵，用求直积的方法得出高阶阿阵，例如有：据此，可以用简单的低阶阿阵，用求直积的方法得出高阶阿阵，例如有：第26页，共83页，编辑于2022年，星期六4.5.1.1、阿达玛矩阵、阿达玛矩阵依此类推有：依此类推有：一个固定阶的阿阵并不是唯一的。比如：一个固定阶的阿阵并不是唯一的。比如：都是都是2 阶阿阵阶阿阵H2，但我们最感兴趣的是第一个但我们最感兴趣的是第一个标准阿阵标准阿阵标准阿阵标准阿阵。第27页，共83页，编辑于2022年，星期六4.5.2 2个水平正交表的阿达玛矩阵法个水平正交表的阿达玛矩阵法 有了第有了第1列第列第1行全为行全为1的标准阿阵，构造的标准阿阵，构造2水平的正交表就非常方便了。水平的正交表就非常方便了。（1）L4（23）正交表的构造正交表的构造 取标准阿阵取标准阿阵H4 如下：如下：将全将全1列去掉，得出：列去掉，得出：第28页，共83页，编辑于2022年，星期六4.5.1.2、2个水平正交表的阿达玛矩阵法个水平正交表的阿达玛矩阵法 将将1 改写为改写为2，按顺序配上列号、行号，就得到，按顺序配上列号、行号，就得到2水平正交表水平正交表 L4（23），），见见表表4-20所示。所示。（2）L8（27）正交表的构造法正交表的构造法 取标准阿阵取标准阿阵 H8 如下：如下：第29页，共83页，编辑于2022年，星期六4.5.1.2、2个水平正交表的阿达玛矩阵法个水平正交表的阿达玛矩阵法 去掉全去掉全 1 列；列；将将 1 改写为改写为2，并按顺序配上列号、行号，就得到正交表，并按顺序配上列号、行号，就得到正交表 L8（27），），见见表表4-21。总总结结：先先取取一一个个标标准准阿阿阵阵 Hn，去去 掉掉 全全1列列，将将1 列列改改写写为为2，配上列号、行号，就得正交表配上列号、行号，就得正交表 Ln（2n1）。）。上法只能构造上法只能构造 2 水平正交表，更多水平的正交表，用正交拉丁方的方水平正交表，更多水平的正交表，用正交拉丁方的方法来解决。法来解决。第30页，共83页，编辑于2022年，星期六4.5.2正交拉丁方的方法正交拉丁方的方法4.5.2.1 拉丁方拉丁方定定 义义：用用 n 个个不不同同的的拉拉丁丁字字母母排排成成一一个个 n 阶阶 方方 阵阵（n26），如如 果果 每每 个个 字字 母母 在在 任任 一一 行行、任任 一一 列列 中中 只只 出出 现现 一一 次次，则则 称称 这这 种种 方方 阵为阵为 nn 拉丁方，简称为拉丁方，简称为 n 阶拉丁方。阶拉丁方。例如，用例如，用3个字母个字母 A、B、C 可排成：可排成：33 拉丁方拉丁方用用4个字母个字母 A、B、C、D 可排成：可排成：44 拉丁方拉丁方这这两两个个拉拉丁丁方方不不是是唯唯一一的。的。第31页，共83页，编辑于2022年，星期六4.5.2.1、拉丁方、拉丁方感性趣感性趣感性趣感性趣正交拉丁方。正交拉丁方。定义：设有两个同阶的拉丁方，如果对第一个拉丁方排列着相同字母的各个位定义：设有两个同阶的拉丁方，如果对第一个拉丁方排列着相同字母的各个位置上，第二拉丁方在同样位置上排列着不同字母，则称这两个拉丁方为互相正置上，第二拉丁方在同样位置上排列着不同字母，则称这两个拉丁方为互相正交的拉丁方。交的拉丁方。3阶阶拉拉丁丁方方与与是正交拉丁方。正交拉丁方只有两个。是正交拉丁方。正交拉丁方只有两个。第32页，共83页，编辑于2022年，星期六四阶正交拉丁方四阶正交拉丁方四阶正交拉丁方四阶正交拉丁方与与 4阶拉丁方中，正交拉丁方只有阶拉丁方中，正交拉丁方只有3个；个；5阶拉丁方中，正交拉丁方只有阶拉丁方中，正交拉丁方只有4个；个；6阶拉丁方中，正交拉丁方只有阶拉丁方中，正交拉丁方只有5个；个；数数学学上上已已经经证证明明：n 阶阶拉拉丁丁方方的的正正交交拉拉丁丁方方个个数数为为：（n1）个。个。4.5.2.1、拉丁方、拉丁方第33页，共83页，编辑于2022年，星期六4.5.2.1、拉丁方、拉丁方 将字母拉丁方改写为数字拉丁方性质没有影响。比如将字母拉丁方改写为数字拉丁方性质没有影响。比如 3 阶拉丁阶拉丁方可写为：方可写为：与与为正交拉丁方。为正交拉丁方。4.5.2.2 3水平正交表的构造水平正交表的构造 首先考虑两个首先考虑两个 3 水平因素水平因素A、B，把它们所有水平搭配都写出来把它们所有水平搭配都写出来 32 9个，个，按下面的方式排成两列按下面的方式排成两列：第34页，共83页，编辑于2022年，星期六4列列3列列第35页，共83页，编辑于2022年，星期六4.5.2.3 4水平正交表水平正交表因素因素A、B两个两个4水平的全排列水平的全排列 4216个，构成个，构成基本列；基本列；三个正交拉丁方，按三个正交拉丁方，按1，2，3，4列分别按顺序排成列分别按顺序排成1列，共列，共3列，放列，放在基本列右则，得在基本列右则，得5列列16行矩阵。行矩阵。得表得表4-23，为，为L16（45）正交表正交表。第36页，共83页，编辑于2022年，星期六345配配 上上 三三 个个 正正 交交 拉拉 丁丁 方方第37页，共83页，编辑于2022年，星期六4.5.2.4 混合型正交表的构造法混合型正交表的构造法 混合型正交表可以由一般水平数相等的正交表通过混合型正交表可以由一般水平数相等的正交表通过“并列法并列法”改造而成。改造而成。举典型的例子加以说明。举典型的例子加以说明。例例4.8 混合型正交表混合型正交表 L8（424）的构造法。的构造法。解：解：（1）先列出正交表）先列出正交表 L8（27），），见见表表4-24。（2）取出）取出表表4-24中的中的1，2列，将数对（列，将数对（1，1）、）、（1，2）、）、（2，1）、（）、（2，2）与单数字）与单数字1，2，3，4依次对应，作为依次对应，作为 新表第新表第1列。列。（3）去掉去掉12的第的第3列列。交互作用。交互作用。（4）4，5，6，7列左移，依次变为新表的列左移，依次变为新表的2，3，4，5列。列。第38页，共83页，编辑于2022年，星期六表表4-24 L8（27）正交表正交表其它正交表的构造法，与此法相同，不再赘述。其它正交表的构造法，与此法相同，不再赘述。请自学请自学例例4.9、例、例4.10第39页，共83页，编辑于2022年，星期六4.6 正交试验设计的方差分析正交试验设计的方差分析本节用方差分析法对正交试验的结果作进一步的分析。本节用方差分析法对正交试验的结果作进一步的分析。4.6.1 正交试验设计方差分析的步骤与格式正交试验设计方差分析的步骤与格式 设设用用正正交交表表安安排排m个个因因素素的的试试验验，试试验验总总次次数数为为n，试试验验结结果果分分别别为为x1，x2，xn。假假定定每每个个因因素素有有na个个水水平平，每每个个水水平平做做a次次试试验验。则则n=a na，现分析下面几个问题。，现分析下面几个问题。(1)计算离差的平方和计算离差的平方和a 总离差的平方和总离差的平方和STb 各因素离差的平方和各因素离差的平方和S因因c 试验误差的离差平方和试验误差的离差平方和SE第40页，共83页，编辑于2022年，星期六(2)计算自由度计算自由度(3)计算平均离差平方和计算平均离差平方和(均方均方)(4)求求F比比(5)对因素进行显著性检验对因素进行显著性检验第41页，共83页，编辑于2022年，星期六4.6.2 3水平正交设计的方差分析水平正交设计的方差分析例例4.11 为了提高产量，需要考虑为了提高产量，需要考虑3个因素：反应温度、反应压力和溶个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度，每个因素都取液浓度，每个因素都取3个水平，具体数值如个水平，具体数值如表表4-31所示。考虑因素之所示。考虑因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的工艺条件。间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的工艺条件。解：解：所有一级交互作用：所有一级交互作用：AB、AC、BC；自由度：自由度：fA （水平数水平数1）312 fB fC ；第42页，共83页，编辑于2022年，星期六 fAB fA fB224 fBC fAC 各占两列。各占两列。共有共有9列，选用正交表列，选用正交表L27（313），），见见表表4-32所示。所示。m 个因素的试验（个因素的试验（m9）；）；试验次数（试验次数（n27）；）；试验结果分别为：试验结果分别为：x1，x2，xk，xn；每个因素有每个因素有na 个水平（个水平（na3）；）；每个水平每个水平做做a次试验（次试验（a9），），则则nana3 9 27。1、计算离差平方和、计算离差平方和（1）总离差平方和）总离差平方和ST记记（相当于例（相当于例4.11产量的平均值）产量的平均值）第43页，共83页，编辑于2022年，星期六记为：记为：ST反应了试验结果的总差异，它越大，结果之间差异越大。反应了试验结果的总差异，它越大，结果之间差异越大。两方面的原因：两方面的原因：因素水平变化；因素水平变化；试验误差。试验误差。（2）各因素离差的平方和）各因素离差的平方和 以因素以因素A为例为例SA，用用xij 表示表示A的系的系 i 水平第水平第 j 个试验结果（个试验结果（i1，2，3，na），（），（j1a）。）。第44页，共83页，编辑于2022年，星期六记为：记为：Ki 第第 i 个水平个水平 a 次试验结果的和。次试验结果的和。第45页，共83页，编辑于2022年，星期六 用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。对两因素的交互作用，把用同样的方法可以计算其