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小学三年级数学思维训练校本教材 目 录第1讲 奇妙的规律 1第2讲 加法的巧算 3 第3讲 乘法的巧算 5 第4讲 一个不少数图形 6 第5讲 巧算周长 8 第6讲 有余数的除法10第7讲 平均数问题13第8讲 等量代换15第9讲 鸡兔同笼问题17第10讲 趣题巧解19第11讲 找几何图形的规律21第12讲 巧填算式24第13讲 整数的分拆29第14讲 找规律法31第15讲 巧填等式34终结性测试题一 35终结性测试题二 37第1讲 奇妙的规律在日常生活中，我们经常接触到许多按一定规律排列的数 ，例如，日期（月份）1、2、3、4、5年龄：10、11、12、13、14、15像上面这样的例子都是按一定规律排列的，我们可以根据这个规律来推断后面的数是什么。寻找数列的规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。例1观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数。（1）2、4、6、8、10、（ ）、（ ）。（2）1、2、5、10、17、（ ）、（ ）。（3）2、6、18、54、（ ）、（ ）。分析与解答：（1）在数列2、4、6、8、10、（ ）、（ ）。中，后一个数比前一个数多2。根据这一规律可知道（ ）应分别填12和14。（2）在数列1、2、5、10、17、（ 26 ）、（ 37 ）。后一个数比前一个数依次多2，即第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多3；第四个数比第三个数多5；第五个数比第四个数多7根据这一规律可知道（ ）应分别填26和37。（3）在数列2、46、18、54、（ ）、（ ）中，后一个数是前一个数的3倍。根据这一规律可知道（ ）应分别填162和486.随堂练习：找规律填数。（1）5、10、15、（ ）、（ ）。（2）1、3、7、13、21、（ ）、（ ）。（3）1、4、16、64、（ ）、（ ）。扩展训练1、在括号内填上合适的数。（1）48、40、36、34、（ ）。（2）1、3、15、105、（ ）。（3）1，3，6，10，（ ），21，28，36，（ ）。（4）2，5，8，11，（ ），17，20。（5）19，17，15，13，（ ），9，7。2、依据规律填数。（1）3、7、（ ）、15、19、23、（ ）。（2）1、2、3、4、5、12、7、48、（ ）3、找出下列数列中一个与众不同的数列，它是第（ ）个。A 1、2、3、6、11、20、37B 0、2、2、4、6、10、16C 1、1、2、3、5、8、13D 1、3、4、7、11、18第2讲 加法的巧算1.什么叫“补数”？两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。如：1+9=10，3+7=10，2+8=10，4+6=10，5+5=10。又如：11+89=100，3367=100，22+78=100，44+56=100，55+45=100，在上面算式中，1叫9的“补数”；89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢？一般来说，可以这样“凑”数：从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。如： 8765512345， 4680253198，8736212638，下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。2.互补数先加。例1巧算下面各题： 36+87+64 36197263928解：式=（3664）87=10087=187 式=（361639）（97228）=1000+1000=2000随堂练习：巧算下面各题：99+136101 7962121383.拆出补数来先加。例2 188873 548996 9898203解：式=（188+12）+（873-12）（熟练之后，此步可略）200+861=1061式=（548-4）（9964）=544+1000=1544式=（9898102）（203-102）=10000+101=10101随堂练习：巧算下面各题：196+365 254103 拓展训练1、直接写出计算结果。 1000-547 100000-85426 11111111110000000000-1111111111 78053000000-780532、用简便方法求和。536+（541+464）+459 588264148 899634587546567+558+562555563第3讲 乘法的巧算例1 一个数10，数后添0；一个数100，数后添00；一个数1000，数后添000；以此类推。如：1510=150 15100=1500 15100015000随堂练习：计算：2910 35100 481000例2 一个数9，数后添0，再减此数；一个数99，数后添00，再减此数；一个数999，数后添000，再减此数；以此类推。如：129120-12108 12991200121188 1299912000-12=11988随堂练习：计算：169 1699 16999例3 一个偶数乘以5，可以除以2添上0。如：6530 16580 1165=580。随堂练习：计算：265 485 2145拓展训练用简便方法计算。171001112523923992399第4讲 一个不少数图形小猴是个十分聪明的孩子，一次到猪大婶家做课。到那儿一看，门上有一道题，请你说出图中有几个长方形，然后在门上按几下门铃，门就会自动打开。同去的小熊一看图形脱口而出是6个长方形，又急忙跑去按了6下门铃，可门就是打不开。小猴见了，走到门前按了几下，门打开了。那么小猴按几下呢？小熊为什么打不开呢？例1下图中有几条线段？分析：在这幅图中一条一条地没有规律地数往往会少数其中的一条或几条线段。我们可以按一定的规律去数。方法一：以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD、AE 五条，从点出发的线段有BC、BD、BE、BF,4条，从C点出发的线段有：CD、CE、CF,3条，以D点为左端点的线段有DE,1条。方法二：由A点出发的线段有：AB、AC、AD、AE，4条，倒着4+3+2+1=10（条）。随堂练习：数一数下面的图形中共有多少条线段？例2数一数下图中有几个三角形？分析：这个题目也可以用数线段的方法来解。在图中找到4个基本三角形，再依次找有2个基本三角形的三角形、有3个基本三角形的三角形、有4个基本三角形的三角形，也可以依次以AB为起始边找三角形，找出有4个三角形，然后4+3+2+1=10.随堂练习：数一数下图中有多少个三角形？拓展训练1、数一数下图中有多少个角？2、数一数有多少个角？3、数一数图中有多少个长方形？4、三年级有6个班每连个班举行一次拔河比赛，这样一共要举行多少场比赛？第5讲 巧算周长专题简析：正方形周长边长4，长方形周长（长宽）2长2宽2这两个计算公式看起来十分简单，但用途却十分广泛。利用它们可以巧求一些复杂图形的周长。一、运用平移、翻转的方法改变图形的形状，巧算周长例11移动哪几根火柴，就能使它变成正方形？怎样移？火柴的总根数变没变？周长是多少根？你是怎样算的？2下面各图形行、列之间点与点的距离都是一厘米，几号图形的周长与其它3个不同？你是怎样想的？小结：有些图形通过将线段平移或翻转，可转化成标准的长方形、正方形，从而便于计算他们的周长对于这些图形，这是一个巧方法。随堂练习：求下面图形的周长。（单位：厘米） 二、重新认识长、宽或去掉拼合处的边，巧算周长例21求边长是1厘米的正方形的周长14=4(cm)2用2个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是正方形的2倍吗？(拼一拼，算一算)解：(21)2=6(cm) 4212=6(cm)随堂练习：你能用4个小正方形拼成一个长方形或正方形，并算出它们的周长吗？思考：(1) 为什么图的周长比图的周长小？(拼合处越多，周长越小)(2) 4个小正方形还可以怎样拼？你能想出与众不同的拼法，并算出它的周长吗？(3) 你发现了周长的大小与什么有关系？拓展训练1、两个长7厘米，宽3厘米的长方形，拼成一个大长方形，怎样拼周长最大？2、有两个相同的长方形，长7cm，宽3cm，如图叠放，求图形的周长3、 把3个边长6厘米的正方形拼成一个大的长方形。大的长方形的周长是多少厘米？4、两个同样的长方形拼成一个正方形，其周长与这两个长方形的周长有什么关系？第6讲 有余数的除法在有余数的除法中，要记住：余数必须比除数小，也就是除数必须比余数大。被除数=商除数余数。解答这类题目的关键是要先根据除数与余数的关系，由除数推出余数可能是哪些数，或由余数推出除数可能是哪些数，再根据条件与除法中各部分之间的关系，便可解决问题。例1在算式（ ）7=（ ）（ ）中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？分析与解答：根据被除数=商除数余数，除数是7，被除数就应是7的倍数多1、2、3即8、9、10；15、16、17；22、23、24随堂练习下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？（ ）3=（ ）（ ） （ ）4=（ ）（ ）（ ）5=（ ）（ ） （ ）6=（ ）（ ）例2在算式（ ）（ ）=（ ）6中，商和除数相等，被除数最小是几？分析与解答：要求“被除数最小是几？”则商和除数都应是最小的，根据“余数必须比除数小”，除数和商应是7，被除数是：776=55随堂练习下列算式中，除数和商相等，被除数最小是几？（ ）（ ）=（ ）4 （ ）（ ）=（ ）7（ ）（ ）=（ ）8 （ ）（ ）=（ ）10例3算式12（ ）=（ ）（ ）中，不同的余数有几个？分析与解答： 当除数是1、2、3、4、6、12时，都没有余数。只有当除数是5、7、8、9、10、11时，才有余数。当除数是5时，余数是2；当除数是7时，余数是5；当除数是8时，余数是4；当除数是9时，余数是3；当除数是10时，余数是2；当除数是11时，余数是1。所以不同的余数有5个。随堂练习算式18（ ）=（ ）（ ）中，不同的余数有几个？例4算式（ ）（ ）=156中，除数最小是几？被除数最小是几？分析与解答：余数是6，根据“余数必须比除数小”，除数最小是7，被除数是：7156=111。答：除数最小是 7 ，被除数最小是 111 。随堂练习下列算式中，除数最小是几？被除数最小是几？（ ）（ ）=44 （ ）（ ）=129（ ）（ ）=219 （ ）（ ）=101例5算式（ ）5 = 8（ ）中，被除数最小是几？最大是几？分析与解答：除数是5，要求“被除数最小是几”，余数就应是最小的，即1。根据被除数=商除数余数，除数是5，商是8，余数是1，被除数=581=41。同理，要求“被除数最大是几”，余数就应是最大的，即4。被除数=584=44。答：被除数最小是 41 ，最大是 44 。随堂练习下列算式中，被除数最小是几？最大是几？（ ）5=10（ ） （ ）6=3（ ）（ ）8=4（ ） （ ）9=1（ ）例6算式29（ ）=（ ）5中，除数和商各是多少？分析与解答： 本题中商与除数的积=295=24；这样除数与商的积是24就符合。随堂练习下列算式中，除数和商各是多少？19（ ）=（ ）5 34（ ）=（ ）422（ ）=（ ）6 47（ ）=（ ）1拓展训练1、下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？（ ）2=（ ）（ ） （ ）11=（ ）（ ）2、下列算式中，除数和商相等，被除数最小是几？（ ）（ ）=（ ）2 （ ）（ ）=（ ）53、算式15（ ）=（ ）（ ）中，不同的余数有几个？4、下列算式中，除数最小是几？被除数最小是几？（ ）（ ）=23 （ ）（ ）=78（ ）（ ）=182 （ ）（ ）=4105、下列算式中，被除数最小是几？最大是几？（ ）10=7（ ） （ ）3=9（ ）（ ）4=6（ ） （ ）15=4（ ）6、下列算式中，除数和商各是多少？18（ ）=（ ）6 25（ ）=（ ）734（ ）=（ ）9 29（ ）=（ ）97、甲、乙两数的和是16，甲数除以乙数商2余1，求甲数和乙数各是多少？8、两个数相除，商是6，余数是2，被除数、除数、商和余数的和是31，求除数是多少？33第7讲 平均数问题王老师一人教三年级一班和二班两个班的数学，期末检测时用的是同一张试卷，为了比较一班和二班哪个班更好一些，王老师就把这两个班的期末考试成绩进行了统计，并求出了两个班的平均成绩，结果发现一班的平均成绩是92分，二班的平均成绩是93分，很明显二班的数学成绩要好于一班的成绩，这就说明二班的成绩总体上要好于一班，这样问题就是平均问题。平均数问题在我们的日常生活中有广泛的应用，如：求平均距离、平均价格、平均分等。例1小王、小刚、小红、小里、小明分别有图书42、20、53、33、32本。平均每人有多少本图书？分析：求平均每人有多少本图书，就是把5个人的本数加在一起，再平均分成5份，也可选择一个数如35作为基准，再把每个人的图书本数与35的差算出来，将这些差相加，相减，多出的作为加数，（如42=35+7，7作为加数），不足的作为减数，（如32=35-3，3作为减数），所得结果除以总人数，再加上基准数，就是要求的平均数。解答：（1）：（33+42+20+53+32）5=36（本）（2）35+(7-2+18-15-3) 5=36(本)随堂练习：学校游泳队5名同学的身高分别是：147厘米、148厘米、151厘米、152厘米、152厘米，求游泳队同学的平均身高？例2钢铁厂在一周内炼一批钢材，前3天平均每天炼46吨，后4天每天炼53吨，这个钢厂平均每天炼多少吨？分析：在本题中使用的数量关系式时，且记是总吨数除以总份数，才是平均数，因此我们首先要找出总吨数：前3天共炼钢463（吨），后4天共炼钢：534（吨），7天共炼钢：463+534=350（吨），最后再用总吨数350吨除以总份数7天就是平均每天炼钢多少吨？解答：（463+534）（3+4）=50（吨）随堂练习：某校三年级同学参加植树活动，（1）班和（2）班平均每班植树38棵，（3）班和（4）班平均每班植树44棵。该校三年级平均每班植树多少棵？拓展训练1、小红在一学期的五此单元检测中的得分分别是87、100、96、95、92.求小红五此检测的平均成绩？2、敬老院有18位老奶奶，平均年龄是75岁、有12位老爷爷，平均年龄是70岁，这些老人的平均年龄是多少岁？3、孙杰同学在期末考试中语文、数学、两科的平均成绩是93分，后来英语考了92分，科学90分，他这四门的平均成绩是多少分？ 4、用4个同样的杯子装水，水面的高度分别是9厘米，6厘米，5厘米，8厘米。这4个杯子里的水面的平均高度是多少厘米？5、工人叔叔修机器，第一天修了6台，第二天修了8台，第三天上午修了3台，下午修了4台。平均每天修了多少台？第8讲 等量代换在曹冲称象的故事中，为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢？因为两次船下沉后被水面淹没的深度一样。只有当大象与一船石头一样重（重量相等）时，船才会被淹没到一样深。在这个故事中，就是运用了“等量代换”的思考方法，两个完全相等的量，可以互相替换。例1=25 （1） = （2）=？ =？ 分析：把两个算式编号为（1）式、（2）式。把（1）式中的用（2）式中的三个代换，可得 =25 也就是 5=25 解： =25（23）=5 =555=15随堂练习想一想下面的符号代表什么数：已知： =35， =代表（ ），代表（ ）。例2百货店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，想一想：每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？ 分析： 根据“2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多”，把木箱换成纸箱，也就是说，把300双球鞋全部用纸箱装，不用木箱装。根据已知条件，2个木箱里的球鞋刚好装满4个纸箱，再加上原来已装好的6个纸箱，一共是10个纸箱。这样，题目就变为“把300双球鞋平均装在10个纸箱里，平均每个纸箱装多少双球鞋？”可以求出每个纸箱装多少双鞋，也就能求出一个木箱能装多少双鞋。 解 300（226） =30010 =30（双） 302=60（双） 答：每个纸箱里装30双球鞋，每个木箱里装60双球鞋。随堂练习：妈妈在超市买了6盒牛奶和5包饼干，一共用去了27元，已知3盒牛奶的价钱与2包饼干的价钱相等。你会算算1盒牛奶和1盒饼干各需要多少元吗？拓展训练1、一筐苹果等于两筐梨，两筐梨等于四筐樱桃，两筐苹果等于多少筐樱桃? 2、一只大象的重量等于四只猴的重量,两只猴的重量等于四只鼠的重量,一只象的重量等于几只鼠的重量? 3、小明的钱加两元等于小红的钱减去3元,小红的钱比小明的钱多多少元? 不好意思,只想得到这么多了.将就用吧!4、食品柜中的大中小三种瓶子都装着果汁，每只小瓶装1千克，每只大瓶装的是中瓶的2倍，1只中瓶装的是小瓶的3倍，食品柜有三层，每层装的果汁的总重相等，这只食品柜每层各装了多少千克果汁？第9讲 鸡兔同笼问题例1鸡兔共10只，30只脚，问：鸡兔各多少只？首先接触这个问题时，为了方便理解，可以先画图做：先画10个头，假设全是鸡的话，就在每个头下面画两个脚，这样就画了20个脚，可是比我们实际的少10只脚，因为笼子里不仅有2只脚的鸡还有4只脚的兔，一只兔换一只鸡就多了两只脚，换一个就多两只，画上两只，再换一个就再画两只，就这样一直画，把刚才差的十只脚都画上，就能看出是5只兔换5只鸡了。这是画图的方法，是为了孩子能更好的理解题目，这是二年级的做法，因为数量多的时候画图就不能用了鸡兔共100个头，240只脚，问：鸡兔各多少只？ 假设法是学习鸡兔同笼问题的关键！所以一定要让孩子写出假设什么。假设100个头都是鸡的，那么每只鸡2只脚，一个就有2100=200只脚，可是实际是240只脚，为什么实际比我们想象的多240-200=40只呢？因为不仅有脚少的鸡，还有脚多的兔。一只兔换一只鸡就多4-2=2只脚总共多40只脚，换一次多2只，所以共换了40/2=20次这20是鸡还是兔呢？因为最开始我们假设全是鸡，所以肯定是换上的是兔，所以20是兔。共有100只，20只是兔，所以鸡有100-20=80只。过程：假设100个头都是鸡 共有2100=200只脚 实际多240-200=40只 1兔换1鸡 共换 402=20次兔多4-2=2只脚 100-20=80只鸡 鸡兔共100个头，鸡比兔多80只脚，鸡兔各多少只？鸡兔同笼有三大类问题，这是第二大类，也是最不好理解的。 每只的脚数 只数 共有的脚数鸡 2 4 8兔 4 2 8 （共有的脚数是自己假设都有8只，那么鸡兔各有几只）能看出鸡的只数是兔的只数的2倍，所以可以得出结论：当鸡兔的脚数一样时，鸡的只数是兔的只数的2倍。这句话不好记，最好记成：鸡占2份，兔占1份，共3份。为了能用这个结论，就要先符合前提，鸡兔脚数一样。鸡比兔多80只脚，为了让鸡兔脚数一样，要把少的添上，所以要增加80只兔脚，一只兔4只脚，就相当于添上804=20只兔，现在就有100+20=120只动物了，这120只是鸡兔脚数一样的，所以就可以用刚才的结论，120只是总数，总数是3份，所以一份是1203=40只（现在不要用鸡2份，兔1份求鸡兔各多少只，因为兔的数变了，所以容易错）既然兔的数变了，求兔就难，所以我们先求鸡的数量，鸡占2份，所以鸡是240=80只共有100只，鸡80只，所以兔有10080=20只。（其实兔可以用14020=20做，可这样孩子容易忘记兔子增加了20只，很容易错）过程：增加80只兔脚增加80/4=20只兔现在共100+20=120只动物3份一份是1203=40只因为兔子数变了所以先求鸡的数鸡占2份，240=80只兔：10080=20只其实孩子很容易错在，明明是增加兔脚，在算相当于增加多少只兔时，除以2所以一定要明确：增加兔脚除以4， 增加鸡脚除以2。随堂练习：有若干只鸡和兔在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数有94只脚，求笼中各有鸡和兔多少只？拓展训练1、小丽的储蓄罐中有100枚硬币。她把其中的贰分币全换成等值的伍分币，硬币总数变成73枚；然后她又把壹分币换成等值的伍分币，硬币总数变为33枚。那么她的储蓄罐中共有 元。2、三种昆虫共18只，共有20对翅膀116条腿。其中每只蜘蛛无翅8条腿，每只蜻蜓是2对翅膀6条腿，蝉是一对翅膀6条腿。问这三种昆虫各多少只？3、一张数学试卷，只有25道选择题。做对一题得4分，做错一题倒扣1分；如不做，不得分也不扣分。若小明得了78分，那么他做对 题，做错 题，不做 题。4、某杂志每期定价2元5角，全年共出12期。某班一些学生订半年，其余学生订全年，共需1320元；如果订半年的改订全年，订全年的改订半年，那么共需订费1245元。问这个班共有多少名学生？5、已知甲、乙、丙3位同学共解出100道数学题，且他们3人每人都解出其中的60道题。若将其中只有1人解出的题叫做“难题”，3人都解出的题叫做“容易题”，则“难题”比“容易题”多多少道？ 第10讲 趣题巧解为了考考同学们的智力和灵气，先提几个问题：一张长方形的纸，用剪刀剪掉一个角，还剩几个角？把一根毛线对折两次后剪一刀，毛线被剪成了几段？一树枝上有10只鸟，用汽枪打中了一只，树枝上还剩几只鸟？这类智力问题很有趣，但回答时要小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。要想正确地解答这类题目，一是要全面考虑各种情况，二是要充分运用学过的数学知识，再就是还需要些思考问题的灵气和非常规的思考方法。例1一张长方形纸片有四个角，用剪刀沿直线剪掉一个角后，还剩几个角？分析：由于已知“剪掉一个角”，但没有限制如何剪，所以必须对这个已知条件中的“剪法”有一个全面的考虑。否则，不加思索地顺口答出“还剩3个角”，答案就不全面了。当我们仔细考虑“剪法”的各种可能性后，再根据角的定义，就会得到全面而正确的答案。解：由于剪掉长方形纸片的一个角有下页图所示的三种不同剪法(图中阴影部分为剪掉的角)，所以，可能还有5个角、4个角或3个角。 答：还剩5个角、4个角或3个角。随堂练习：王大爷带了一篮青菜、一匹狼、一只羊要乘船到河对面去，按规定，他每次只能带一样东西过河，但没人的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜。请你给王大爷设计一个过河方案。例2 37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船(无船工)。他们要全部渡过河去，至少要使用这只小船渡河多少次？分析：如果由375=72，得出7+1=8次，那么就错了。因为忽视了至少要有1个人将小船划回来这个特定的要求。实际情况是：小船前面的每一个来回至多只能渡4个人过河去，只有最后一次小船不用返回才能渡5个人过河。解：因为除最后一次可以渡5个人外，前面若干个来回每个来回只能渡过4个人，每个来回是2次渡河，所以至少渡河(37-5)42+1=17(次)。答：至少要渡河17次。随堂练习：有一个猎人带了一条猎狗，一只兔子和一筐青菜，要乘船到河对面去。河里只有一条小船，因为船小，猎人一次只能带一样东西过河。但是他不在时，猎狗会咬兔子，兔子又会吃青菜，请同学们帮他想一想，应该怎样安排过河？拓展训练1、画三条线段，能构成几个角？2、用6根长短、粗细一样的火柴棍拼出四个等边三角形(即三边相等的三角形)，如何拼？3、一只挂钟，1点整敲1下，2点整敲2下12点整敲12下，每半点整敲1下。一昼夜(24时)一共要敲多少下？4、打靶时，小林和小峰各打了三枪，环数为1，2，4，5，7，9环。已知小林的总环数比小峰的总环数多6环。哪几环是小峰打的？5、五个小朋友围坐在一个大圆桌边，按顺时针方向依次编为1，2，3，4，5号。老师给1，2，3，4，5号小朋友分别发1，2，3，4，5个苹果。从5号小朋友开始，依次按顺时针方向看，若邻坐的苹果比自己少，则送给对方一个；若邻坐的苹果不比自己少就不送。照此做下去，到第三圈为止，他们每人手中各有多少个苹果？第11讲 找几何图形的规律 找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.为培养这方面的能力，本讲将从几何图形的问题入手，逐步分析应从哪些方面来观察思考。因此，学习本讲的知识有助于养成全面地、由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯，可以逐步掌握通过观察发现规律并利用规律来解决问题的方法。下面就来看几个例子。例1 按顺序观察图51与图52中图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？分析： 观察中，注意到图51中每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增多，且三角形的个数按4、3、X、1的顺序变化.显然X应等于2；图52中黑点的个数从左到右逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多两个点.事实上，本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上，是一种较为基本的、简单的变化模式。解：在图51的“？”处应是三角形，在图52的“？”处应是随堂练习：请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。分析：首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的；其次，在所给出的图形中，我们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给出的图形中，只有圆、三角形和正方形三种图形.由此，我们知道这个图的特点是： 仅由圆、三角形、正方形组成； 各行各列中，都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个三角形，而第三行的空格中应填一个正方形。解略。例2 按顺序观察下图中图形的变化规律，并在“？”处填上合适的图形.分析： 显然，图（a）、图（b）中都是圆，而图（c）中却不是圆；同时，图（a）、（c）中都有3个图形，而（b）中只有两个.由此可知：图（a）到（b）的变化规律对应于图（c）到（d）的变化规律.再注意到图（a）到图（b）中图形在繁简、多少、位置几方面的变化，就容易得到图（d）中的图形了。解：在上图的“？”处应填如下图形.随堂练习： 下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形.分析： 本题中，首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成，而且，大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组成， 图中的任意两个图形均不相同.因此，我们不妨试着把大、小图形分开来考虑，再一次观察后我们可以发现：对于大图形来说，每行每列的图形决不重复。因此，每行每列都只有一个大正方形，一个大三角形和一个大圆，对于小图形也是如此，这样，“？”处的图形就不难得出。解：图中，（b）、（f）、（h）处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙.小结：对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律，从而把复杂问题简单化。拓展训练1、按顺序观察下面图形，并按其变化规律在“？”处填上合适的图形。第12讲 巧填算式在这一讲中介绍填算式的未知数的方法.我们将根据算式中给定的运算关系或数量关系，利用运算法则和推理的方法把待定的数字确定出来.研究和解决这一类问题对学生观察能力、分析和解决问题的能力，以及联想、试探、归纳等思维能力的培养有重要的作用。例1 在下面算式的空格中，各填入一个合适的数字，使算式成立.分析： 这是一个三位数加上一个四位数，其和为五位数，因此和的首位数字为1，进一步分析，由于百位最多向千位进1，所以第二个加数的千位数问题得解.随堂练习：在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立。分析： 这是一个四位数加上一个四位数，其和仍为四位数.先从个位入手，解：此题有以下两解。例2 用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成下面的加法算式，每个数字只许用一次，现已写出三个数字，请把这个算式补齐.分析 由于三位数加三位数，其和为四位数，所以和的首位数字为1，第一个加数的百位数字为9或7。如果第一个加数的百位数字为9，则和的百位数字为1或2，而1和2都已用过，所以第一个加数的百位数字不为9。如果第一个加数的百位数字为7，则和的百位数字必为0，且十位必向百位进1.现在还剩下9，6，5，3这四个数字，这里只有一个偶数，如果放在第二个加数（或和）的个位，那么和（或第二个加数）的个位也必为偶的十位数字为6，和的十位数字为5。解：随堂练习：在下面算式的空格内填上合适的数字，使算式成立。分析： 由于被减数是三位数，减数是两位数，差是一位数，所以被减数的首位数字为1，且十位必向百位借1，由于差是一位数，所以个位必向十位借1.因此，被减数的个位数字为0，被减数的十位数字也为0。解：例3 在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立。分析：这是一个四位数减去一个四位数，差仍为四位数.先看个位，由于解：随堂练习：在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立.分析： 这是一道加减混合的填算式题，为了便于分析，可以把加法、减法分开考虑：观察这两个算式，减法算式空格内的数字容易填。减法算式由于被减数是四位数，减数是三位数，差为一位数，所以被减数为1000，减数为999，因此，加法算式的和就已知了。加法算式解：拓展训练1、在下面的加法算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立.2、在下面减法算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立.3、在下面的算式中，每个方框代表一个数字，问每个算式中所有方框中的数字的总和各是多少？4.在下面算式的空格内各入一个合适的数字，使算式成立.第13讲 整数的分拆例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹。小兵共打中6