2021_2022学年新教材高中数学第2章函数4.2简单幂函数的图象和性质课后训练巩固提升含解析北师大版必修第一册20210604226.docx
4.2简单幂函数的图象和性质课后训练·巩固提升一、A组1.下列说法正确的为()幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0);幂函数的图象不可能在第四象限;n=0时,函数y=xn的图象是一条直线;幂函数y=xn当n>0时,是增函数;幂函数y=xn当n<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小.A.B.C.D.解析:y=x-1不过(0,0)点,所以错误,排除A;当n=0时,y=xn的图象为除去一点的直线,错误,排除C;当n=2时,y=x2在整个定义域上不具有单调性,错误,排除B.因此答案选D.答案:D2.下列幂函数中,定义域为R且为偶函数的个数为()y=x-2;y=x;y=x13;y=x23.A.1B.2C.3D.4解析:易知中的函数是奇函数;中的函数是偶函数,但定义域为(-,0)(0,+);中的函数符合条件,故选A.答案:A3.函数y=x53的图象大致是()解析:53>0,函数图象过原点且函数为增函数,又53>1,故选B.答案:B4.函数f(x)=(x2-2x)-12的定义域是()A.x|x0,或x2B.(0,2)C.(-,02,+)D.(-,0)(2,+)解析:由x2-2x>0,可得x<0,或x>2,故选D.答案:D5.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是()A.n<m<0B.m<n<0C.n>m>0D.m>n>0解析:由题中图象可知,两函数在第一象限内单调递减,故m<0,n<0,且2m>2n,则m>n.答案:A6.已知点a,12在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数解析:f(x)=(a-1)xb是幂函数,a-1=1,得a=2.点a,12在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,即点2,12在幂函数f(x)=xb的图象上,f(2)=2b=12,得b=-1,f(x)=x-1=1x.故函数f(x)是奇函数,在定义域内不是单调函数.答案:A7.如果幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点,则m的值是. 解析:由题意知,m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2.经检验m=1或m=2均符合题意,即m=1或m=2.答案:1或28.为了保证信息的安全传输,有一种密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x(为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是. 解析:由题可知加密密钥y=x(是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出的值.由题意得2=4,解得=12,则y=x12.由x12=3,得x=9.答案:99.已知函数f(x)=2x-xm,且f(4)=-72.(1)求m的值;(2)判断f(x)在区间(0,+)上的单调性,并给予证明.解:(1)f(4)=-72,24-4m=-72,解得m=1.(2)由(1)知,f(x)=2x-x,其在区间(0,+)上单调递减.证明如下:任取0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=2x1-x1-2x2-x2=(x2-x1)2x1x2+1.0<x1<x2,x2-x1>0,2x1x2+1>0.f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2).函数f(x)=2x-x在区间(0,+)上单调递减.二、B组1.已知f(x)=x12,若0<a<b<1,则下列各式正确的是()A.f(a)<f(b)<f1a<f1bB.f1a<f1b<f(b)<f(a)C.f(a)<f(b)<f1b<f1aD.f1a<f(a)<f1b<f(b)解析:因为函数f(x)=x12在区间(0,+)上是增函数,又0<a<b<1b<1a,所以f(a)<f(b)<f1b<f1a.答案:C2.幂函数y=x中的取值集合C是-1,0,12,1,2,3的子集,当幂函数的值域与定义域相同时,集合C为()A.-1,0,12B.12,1,2C.-1,12,1,3D.12,1,2,3解析:根据幂函数y=x-1,y=x0,y=x12,y=x,y=x2,y=x3的图象和解析式可知,当=-1,12,1,3时,相应幂函数的值域与定义域相同.答案:C3.若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=14,则f12的值为()A.-4B.-13C.4D.13解析:设f(x)=x(为常数).f(4)f(2)=14,42=14,得=-2.f(x)=x-2.于是f12=12-2=4.答案:C4.对于幂函数f(x)=x45,若0<x1<x2,则fx1+x22,f(x1)+f(x2)2的大小关系是()A.fx1+x22>f(x1)+f(x2)2B.fx1+x22<f(x1)+f(x2)2C.fx1+x22=f(x1)+f(x2)2D.无法确定解析:幂函数f(x)=x45在区间(0,+)上单调递增,其大致图象如图所示.设点A(x1,0),C(x2,0),其中0<x1<x2,点E为线段AC的中点,分别过点A,E,C作y轴的平行线,分别交函数f(x)的图象于点B,F,D,则AC的中点E的坐标为x1+x22,0,|AB|=f(x1),|CD|=f(x2),|EF|=fx1+x22.|EF|>12(|AB|+|CD|),fx1+x22>f(x1)+f(x2)2,故选A.答案:A5.已知幂函数f(x)=x的部分对应值如下表:x112f(x)122则函数f(x)的单调递增区间是. 解析:因为f12=22,所以12=22,得=12,所以f(x)=x12,它的单调递增区间是0,+).答案:0,+)6.设幂函数f(x)=kxa的图象过点13,81,则k+a=. 解析:因为函数f(x)=kxa为幂函数,所以k=1,又其图象过点13,81,所以13a=81,解得a=-4,所以k+a=1-4=-3.答案:-37.已知幂函数f(x)=(m3-m+1)x12(1-8m-m2)的图象与x轴和y轴都无交点.(1)求f(x)的解析式;(2)解不等式f(x+1)>f(x-2).解:(1)由f(x)是幂函数,得m3-m+1=1,解得m=0或m=±1.又f(x)的图象与x轴和y轴都无交点,所以m=1,此时f(x)=x-4.(2)由(1)知,f(x)=x-4.f(x)=x-4是偶函数且在区间(0,+)上单调递减,所以要使得f(x+1)>f(x-2),只需|x+1|<|x-2|,解得x<12.又f(x)的定义域为x|x0,所以x-1,且x2,综上,不等式的解集为xx<12,且x-1,且x2.
