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数学建模 生物种群模型第1页，本讲稿共53页2022/9/25简介简介种群种群(Population)：是指在特定时间里占据一定空间的同一物种的有机体集合。种群生态学：种群生态学：主要研究种群的时间动态及调节机理。种群分为单种群单种群和多种群。多种群。生物种群模型生物种群模型第2页，本讲稿共53页2022/9/252)罗杰斯特罗杰斯特(Logistic)模型模型 表示该种群的最大容纳量表示该种群的最大容纳量。1 单种群的数学模型：单种群的数学模型：1)马尔萨斯马尔萨斯(Malthus)模型模型 表示表示 时刻的种群数量，时刻的种群数量，称称为内禀增长率。为内禀增长率。第3页，本讲稿共53页2022/9/254)开发了的单种群模型开发了的单种群模型具有常数收获率具有时变收获率3 3）一般的种群模型一般的种群模型第4页，本讲稿共53页2022/9/25 2 两种群的一般模型两种群的一般模型 两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。设甲、乙两种群在 时刻的数量为 ，则线性化，得第5页，本讲稿共53页2022/9/251)表示甲（乙）种群的自然生长率；2)表示甲（乙）种群为非密度制约，表示甲（乙）种群为密度制约；3)表示甲、乙种群相互竞争；4)表示甲、乙种群相互依存；5)表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。第6页，本讲稿共53页2022/9/253 三种群的一般模型三种群的一般模型三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中每两个种群之间的关系仍可归结为：相互竞争、相互依存、弱肉强食。三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的数学模型。这些模型用方程组表示，或用图形表示。第7页，本讲稿共53页2022/9/25记三个种群分别为123并约定 1）种群 供食于种群 表示为 12122）种群 为密度制约可表示为113）种群 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组成的系统）为生，114）种群 与种群 相互竞争：12125）种群 与种群 互惠共存：1212）第8页，本讲稿共53页2022/9/25如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系，则三者关系有三种：两个食饵种群，一个捕食者种群。一个食饵种群，两个捕食者种群。捕食链。CBACBACBA第9页，本讲稿共53页2022/9/25下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两种群间的影响都是线性的，建立其相互作用的数学模型（Volterra模型）（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C。设 A，B，C t 时刻的密度分别为假设：C 种群主要以A，B种群为食饵，A，B不存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的；A，B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互竞争。图示如下：第10页，本讲稿共53页2022/9/25CBA（）第11页，本讲稿共53页2022/9/25（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B，C。ACB（）第12页，本讲稿共53页2022/9/25ACB）第13页，本讲稿共53页2022/9/25ACB）（3）捕食链：A是B的食饵，B是C的食饵。第14页，本讲稿共53页2022/9/25ACB）说明下列微分方程组的生态意义说明下列微分方程组的生态意义第15页，本讲稿共53页2022/9/25ACB）第16页，本讲稿共53页2022/9/25ACB）第17页，本讲稿共53页2022/9/25种群模型的求解方法：种群模型的求解方法：n微分方程定性与稳定性理论n数值方法第18页，本讲稿共53页2022/9/25平面自治系统平面自治系统微分方程定性与稳定性理论微分方程定性与稳定性理论第19页，本讲稿共53页2022/9/25 假定方程组假定方程组(1)(1)的右端函数的右端函数 ，在平面区域在平面区域 满足满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点有唯一的轨线。解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点有唯一的轨线。相平面相平面：所在的平面。轨线：轨线：第20页，本讲稿共53页2022/9/25平衡点平衡点（Equilibrium）：使得的点 为组(1)的平衡点，否则称为常点。即 平衡点满足记为第21页，本讲稿共53页2022/9/25称平衡点 是稳定的（stable）；否则 是不稳定（unstable）的。稳定与不稳定：稳定与不稳定：如果存在某个邻域，使系统（1）的解 从这个邻域内的某一初值 出发，满足第22页，本讲稿共53页2022/9/25其中其中 是常数。是常数。平面线性微分方程组的平衡点分类平面线性微分方程组的平衡点分类系统（2）有唯一的平衡点（0，0）。记系数矩阵第23页，本讲稿共53页2022/9/25记组记组(2)的系数矩阵构成的特征方程为：的系数矩阵构成的特征方程为：其中其中唯一的平衡点（0，0）的稳定性由特征根确定。方程组（2）解的一般形式为第24页，本讲稿共53页2022/9/25方程组（2）解的一般形式为第25页，本讲稿共53页2022/9/25平衡点类型平衡点类型稳定性稳定性稳定结点稳定结点(node)stable不稳定结点不稳定结点unstable鞍点鞍点(saddle)unstable稳定退化结点稳定退化结点stable不稳定退化结点不稳定退化结点unstable稳定焦点稳定焦点(focus)stable不稳定焦点不稳定焦点unstable中心中心(center)unstable第26页，本讲稿共53页2022/9/25p pq q鞍点区鞍点区稳定结点区稳定结点区不稳定结点区不稳定结点区稳定焦点区稳定焦点区不稳定焦点区不稳定焦点区奇点奇点 的性态与的性态与 的关系的关系第27页，本讲稿共53页2022/9/25简单非线性微分方程的奇点简单非线性微分方程的奇点第28页，本讲稿共53页2022/9/25称下列方程组为组(1)的一次（线性）近似方程组：一次（线性）近似方程组：第29页，本讲稿共53页2022/9/25结论结论1 1 如果则(4)的一次近似方程组的奇点 在五种一般情形与组（4）的奇点 的性态相同。第30页，本讲稿共53页2022/9/25结论结论2 设系统O(0,0)为其对应线性系统的中心点，若在O的邻域内存在此系统的一个连续的首次积分，则O必为中心。在O(0,0)点的邻域内解析。第31页，本讲稿共53页2022/9/25 捕食与被捕食模型捕食与被捕食模型问题的提出 20世纪20年代，意大利生物学家U.DAncona在研究鱼类变化规律时，无意中发现了第一次世界大战期间，意大利Finme港收购站的软骨掠肉鱼（鲨鱼等以其他鱼为食的鱼）在鱼类收购量中的所占比例的资料：191419151916191719181919192019211922192311.99%21.4%22.1%21.2%36.4%27.3%16.0%15.0%14.8%10.7%1914,7-1918,11第32页，本讲稿共53页2022/9/25战争期间鲨鱼比例明显增加！战争期间鲨鱼比例明显增加！显然，捕获的各种鱼的比例基本上代表了地显然，捕获的各种鱼的比例基本上代表了地中海渔场中各种鱼的比例。中海渔场中各种鱼的比例。战争中捕获量大幅下降，应该使渔场中食战争中捕获量大幅下降，应该使渔场中食用鱼和以此为生的鲨鱼数量同时增加。用鱼和以此为生的鲨鱼数量同时增加。然而，捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比例然而，捕获量的下降为什么会使鲨鱼的比例增加？增加？发现发现DAncona 的迷惑：的迷惑：第33页，本讲稿共53页2022/9/25请教请教著名的意大利数学家 Volterra。将鱼分为两类，一类为捕食(predator)种群，另一类为被捕食(prey)种群。设 t 时刻两种群的数量（或密度）为 y(t)，x(t)。在无捕捞和忽略了密度制约的情形下，有：第34页，本讲稿共53页2022/9/25平衡点为一次近似系统第35页，本讲稿共53页2022/9/25一次近似系统系统的鞍点。一次近似系统系统的？。的鞍点。的中心。第36页，本讲稿共53页2022/9/25定理：定理：设系统O(0,0)为其对应线性系统的中心点，若在O的邻域内存在此系统的一个连续的首次积分，则O必为中心。在O(0,0)点的邻域内解析。第37页，本讲稿共53页2022/9/25为了研究平衡点M，作平移变换首次积分第38页，本讲稿共53页2022/9/25由定理，得平衡点M的外围邻近被一闭轨线族 所环绕。说明：在M附近，食饵种群与捕食种群的个体总量呈周期性变化。OxynM尽管沿不同的闭轨线的周期可尽管沿不同的闭轨线的周期可能不同，但两种群个体数量在能不同，但两种群个体数量在一个周期内的平均值却分别保一个周期内的平均值却分别保持为常数。持为常数。第39页，本讲稿共53页2022/9/25两种群个体数量在一个周期内的平均值却分别保持两种群个体数量在一个周期内的平均值却分别保持为常数：为常数：n两种群个体数量在一个周期内的平均值恰好是平衡点的坐两种群个体数量在一个周期内的平均值恰好是平衡点的坐标。标。事实上，而第40页，本讲稿共53页2022/9/25同理，可证第41页，本讲稿共53页2022/9/25现考虑捕捞的影响平衡点的坐标为n解释：捕捞能力减少，食饵种群数量减少，而捕食种群数解释：捕捞能力减少，食饵种群数量减少，而捕食种群数量增加。量增加。第42页，本讲稿共53页2022/9/25应用应用农药的使用策略。农药的使用策略。害虫食饵，害虫的天敌捕食者。因此，应该适量地使用农药，更应发展以虫治虫的因此，应该适量地使用农药，更应发展以虫治虫的策略。策略。平衡点的坐标为n根据 Volterra 原理：杀虫能力过量，害虫种群数量增加，而天敌种群数量减少，对天敌更为不利。第43页，本讲稿共53页2022/9/25 天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物链，且对人类生存起着重要作用。长期以来，人为破坏（如过度放牧、猎杀动物及采挖草药等）使草原生态每况愈下，日渐衰竭。据2000年8月6日北京晚报载：“受利益驱使，有些人不顾国家法律和当地政府禁令，在呼伦贝尔草原大肆采挖中草药，致使草原严重受损。据此，有关专家推断，10年之内，该草原将变成荒漠。”草原命运草原命运思考思考第44页，本讲稿共53页2022/9/25为了天然草原生息繁衍和可持续发展，完成以下工作：（1）建立草原自然生长规律模型，描述人为破坏对草原生长的影响过程;（2）论证或驳斥报载消息中专家的推断，如果立即停止对草原的一切破坏，10年后的情形如何？（3）寻找导致草原消失的临界条件，给出草原生长的挽救方案，并对挽救效果进行预测。第45页，本讲稿共53页2022/9/252007年年6月湖南洞庭湖鼠患月湖南洞庭湖鼠患20亿田鼠洞庭亿田鼠洞庭“跑马圈地跑马圈地”第46页，本讲稿共53页2022/9/25政府收购鼠尾巴鼓励捕鼠；成千上万田鼠陷落捕鼠沟。政府收购鼠尾巴鼓励捕鼠；成千上万田鼠陷落捕鼠沟。新华社新华社 图图人鼠大战可能还将继续。人鼠大战可能还将继续。新华社新华社 图图http:/ 2007年年07月月11日日 08时时13分分广州日报广州日报 第47页，本讲稿共53页2022/9/25洞庭湖区用毒药灭鼠可能酿成新的生态灾难洞庭湖区用毒药灭鼠可能酿成新的生态灾难 捕食链破坏捕食链破坏老鼠的天敌老鼠的天敌蛇、猫头鹰蛇、猫头鹰大量减少大量减少老鼠泛滥老鼠泛滥庄稼、环境庄稼、环境受到威胁受到威胁人类的盘中餐人类的盘中餐丰盛有余丰盛有余威胁人类威胁人类的生存的生存从人类自身做起从人类自身做起 保护环境！保护环境！第48页，本讲稿共53页2022/9/25n摘要n问题重述n模型假设（符号说明）n问题分析n模型的建立及求解n结果的分析与检验n模型的优缺点评价n问题进一步思考（模型推广）n参考文献第49页，本讲稿共53页2022/9/25n时间安排n合理分工n团结奋战，互相鼓励第50页，本讲稿共53页2022/9/25时间安排时间安排上午上午下午下午晚上晚上定题定题准备，思路准备，思路作题（第一问）作题（第一问）建模建模作题（第一问）作题（第一问）求解求解作题（第二问）作题（第二问）建模建模作题（第二问）作题（第二问）求解求解作题（第三问）作题（第三问）建模与求解建模与求解完善建模，求解完善建模，求解撰写论文撰写论文完善建模，求解完善建模，求解撰写论文撰写论文摘要，检查论文，摘要，检查论文，整理附件整理附件第51页，本讲稿共53页2022/9/25分工分工写作写作建模建模计算机操作计算机操作研读历年赛题研读历年赛题分析论文格式分析论文格式掌握写作规则掌握写作规则语言精练准确语言精练准确图表恰当运用图表恰当运用论文表述清晰论文表述清晰假设的合理性假设的合理性建模的创造性建模的创造性简化模型便于简化模型便于计算机识别与计算机识别与计算计算快速实现模型的求解快速实现模型的求解提出更好的近似模型提出更好的近似模型注意保存数据与计算结注意保存数据与计算结果果相互沟通，共同克服困难相互沟通，共同克服困难第52页，本讲稿共53页2022/9/25第53页，本讲稿共53页