2021_2022学年新教材高中数学第一章直线与圆2圆与圆的方程1.2.3直线与圆的位置关系课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册20210618273.doc

课后素养落实(九)直线与圆的位置关系(建议用时：40分钟)一、选择题1已知圆x2y22x2ya0截直线xy20所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A2B4C6D8B将圆的方程化为标准方程为(x1)2(y1)22a，所以圆心为(1，1)，半径r，圆心到直线xy20的距离d，故r2d24，即2a24，所以a42已知集合A(x，y)|x，y为实数，且x2y21，B(x，y)|x，y为实数，且xy1，则AB的元素个数为()A4B3C2D1 C圆x2y21的圆心(0，0)到直线xy1的距离d<1，所以直线xy1与圆x2y21相交故选C3设圆C：x2y23，直线l：x3y60，点P(x0，y0)l，若存在点Q圆C，使OPQ60°(O为坐标原点)，则x0的取值范围是()AB0，1CDC由题意知，直线PQ与圆O有公共点，所以，即2又 ，所以2，解得0x04已知直线axy20与圆心为C的圆224相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a()A±B±C1或7D4±D因为ABC为等边三角形且边长为2，所以C到AB的距离为，由圆方程可得C，所以，解得a4±5若圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是()A2B3C4D6C因为过圆外一点的圆的切线长l、半径r和这点到圆心的距离d是一个直角三角形的三边，其中半径r是斜边，所以l2d2r2，所以切线长最短时，该点到圆心的距离最小由题意知，圆心C(1，2)，半径长r，点(a，b)在直线yx3上，所以点(a，b)与圆心的距离的最小值，即圆心到直线yx3的距离d，易求d3，所以切线长的最小值为4二、填空题6圆心在y轴上，经过点(3，1)且与x轴相切的圆的方程是_x2y210y0由题意，设圆的方程为x2(ya)2a2，因为圆经过点(3，1)，所以把点(3，1)代入圆的方程，得32(1a)2a2，整理得2a10，a5，所以圆的方程为x2(y5)2(5)2，即x2y210y07过圆x2y24外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点A、B，则ABP的外接圆的方程是_(x2)2(y1)25圆心为O(0，0)，又ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆其直径d|OP|2，半径r而圆心C为(2，1)，外接圆的方程为(x2)2(y1)258已知AC，BD为圆O：x2y24的两条相互垂直的弦，其中垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为_5如图所示，设弦AC，BD的中点分别为P，Q，根据弦的中点的性质，则OPAC，OQBD又ACBD，故四边形OPMQ为矩形，设圆心O与AC、BD的距离分别为d1、d2，则ddOM23又AC2，BD2，则四边形ABCD的面积S|AC|·|BD|22225，等号当且仅当d1d2时成立，即四边形ABCD的面积的最大值为5故填5三、解答题9如果一条直线经过点M且被圆x2y225所截得的弦长为8，求这条直线的方程解圆x2y225的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l8，于是弦心距d 3因为圆心O(0，0)到直线x3的距离恰为3，所以直线x3是符合题意的一条直线设直线yk(x3)也符合题意，即圆心到直线kxy0的距离等于3，于是3，解得k故直线的方程为3x4y150综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x3和3x4y15010已知直线l：2mxy8m30和圆C：x2y26x12y200(1)mR时，证明：l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长解(1)证明：直线的方程可化为y32m(x4)，由点斜式可知，直线过点P(4，3)由于42(3)26×412×(3)2015<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交(2)圆的方程可化为(x3)2(y6)225如图，当圆心C(3，6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短此时PCl，又kPC3，所以直线l的斜率为，则2m，所以m在RtAPC中，|PC|，|AC|r5所以|AB|22故当m时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为211若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为()AB1CDD圆心到直线的距离d，设弦长为l，圆的半径为r，则d2r2，即l212与圆C：x2y24x20相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有()A1条B2条C3条D4条C圆C的方程可化为(x2)2y22可分为两种情况讨论：(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为ykx，则，解得k±1；(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为1(a0)，即xya0(a0)，则，解得a4(a0舍去)因此满足条件的直线共有3条13(多选题)设有一组圆：Ck：(xk1)2(y3k)22k4(kN)下列结论正确的是()A存在一条定直线与所有的圆均相切B存在一条定直线与所有的圆均相交C存在一条定直线与所有的圆均不相交D所有的圆均不经过原点BD设直线为yaxb，则dd中无k的2次项，不存在实数a、b，使dk2，也不存在实数a、b，使d>k2，故AC错误，当a3，b3时，d0，恒小于k2与圆相交，B正确将(0，0)代入，方程不成立，D正确，选BD14(一题两空)直线l与圆x2y22x4ya0相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(2，3)，则(1)a的取值范围是_；(2)直线l的方程为_a<3 xy50(1)依题意得，点C在圆内，所以2322×4×3a<0，解得a<3(2)由圆的一般方程可得圆心为M(1，2)由圆的性质易知，M(1，2)与C(2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB1，故直线l的方程为y3x2，整理得xy5015设直线系M：xcos (y2)sin 1(02)，对于下列四个命题：M中所有直线均经过一个定点；存在定点P不在M中的任一条直线上；对于任意整数n(n3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是_ (写出所有真命题的代号)因为xcos (y2)sin 1，所以点P(0，2)到M中每条直线的距离d1，即M为圆C：x2(y2)21的全体切线组成的集合，从而M中存在两条平行直线，所以错误；又因为(0，2)点不在任何直线上，所以正确；对任意n3，存在正n边形使其内切圆为圆C，故正确；M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故错误，故命题中正确的序号是