2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升含解析新人教A版选修2_1.docx

第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若椭圆x2a2+y25=1(a>5)的长轴长为6,则它的焦距为()A.4B.3C.2D.1解析椭圆x2a2+y25=1(a>5)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4,故选A.答案A2.椭圆x225+y29=1与x29-k+y225-k=1(0<k<9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析椭圆x225+y29=1与x29-k+y225-k=1(0<k<9)的焦点分别在x轴和y轴上,前者a2=25,b2=9,则c2=16,后者a2=25-k,b2=9-k,则c2=16,显然只有D正确.答案D3.焦点在x轴上,长、短半轴之和为10,焦距为45,则椭圆的标准方程为()A.x236+y216=1B.x216+y236=1C.x26+y24=1D.y26+x24=1解析由题意得c=25,a+b=10,所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为x236+y216=1.答案A4.已知椭圆y2a2+x2=1(a>1)的离心率e=255,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为()A.32B.2C.52D.3解析由题意可得:e2=a2-1a2=2552,据此可得:a2=5,椭圆方程为y25+x2=1,设椭圆上点的坐标为P(x0,y0),则y02=5(1-x02),故|PB|=(x0+1)2+y02=(x0+1)2+5(1-x02)=-4x02+2x0+6,当x0=14时,|PB|max=52.答案C5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A,B,坐标原点到直线AB的距离为433,且a2=2b2,则椭圆C的方程为()A.x28+y24=1B.y28+x24=1C.y216+x28=1D.x216+y28=1解析椭圆右顶点坐标为A(a,0),上顶点坐标为B(0,b),故直线AB的方程为y=-bax+b,即bx+ay-ab=0,依题意原点到直线的距离为aba2+b2=433,且a2=2b2,由此解得a2=16,b2=8,故椭圆的方程为x216+y28=1,故选D.答案D6.椭圆的一个焦点将长轴长分成32两部分,则这个椭圆的离心率为. 解析依题意有(a+c)(a-c)=32,所以a=5c,故离心率为e=ca=15.答案157.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为. 解析由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积有最大值,即bc=2.a2=b2+c22bc=4,a2,当且仅当b=c=2时等号成立.2a4,即椭圆长轴长的最小值为4,故答案为4.答案48.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点顺次连接构成一个菱形,该菱形的面积为210,又椭圆的离心率为155,则椭圆的标准方程是. 解析由题意,得2ab=210,即ab=10.又e2=c2a2=a2-b2a2=1525=35,即2a2=5b2.解得a2=5,b2=2,所以所求椭圆方程为x25+y22=1.答案x25+y22=19.(1)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,右焦点为(2,0),求椭圆C的方程;(2)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过1,32,一个焦点为(3,0),求椭圆C的方程.解(1)由右焦点为(2,0),则c=2,又e=ca=63,所以a=3,b2=a2-c2=1,椭圆C的方程为x23+y2=1.(2)由题意得1a2+34b2=1,a2-b2=3,解得a=2,b=1,所以椭圆C的方程是x24+y2=1.10.已知椭圆x24+y23=1,在该椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解由已知得c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F和到直线x=4的距离相等,设M(x,y)(-2x2),则(x-1)2+y2=|x-4|,两边平方得y2=-6x+15.又由x24+y23=1,得y2=31-x24,代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,解得x=4.因为-2x2,所以符合条件的点M不存在.能力提升1.若点A(1,m)在椭圆C:x24+y22=1的内部,则实数m的取值范围是()A.(-6,6)B.-62,62C.-,-6262,+D.-32,32解析由题意知,124+m22<1,解得m-62,62,故选B.答案B2.如图,F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为()A.32B.12C.22D.3-1解析连接AF1(图略),由圆的性质知,F1AF2=90°.因为F2AB是等边三角形,所以AF2F1=30°.故AF1=c,AF2=3c,因此e=ca=2c2a=2cc+3c=3-1.答案D3.17世纪法国数学家费马在平面与立体轨迹引论中证明方程a2-x2=ky2(k>0,k1,a0)表示椭圆,费马所依据的是椭圆的重要性质:若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A,B两点)引垂线,垂足为Q,则PQ2AQ·BQ为常数.据此推断,此常数的值为()A.椭圆的离心率B.椭圆离心率的平方C.短轴长与长轴长的比D.短轴长与长轴长比的平方解析设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),取P为椭圆的上顶点,则Q为原点.PQ=b,AQ=BQ=a,则PQ2AQ·BQ=b2a2.故选D.答案D4.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m km,远地点B距离地面n km,地球半径为k km,则飞船运行轨道的短轴长为()A.2(m+k)(n+k)B.(m+k)(n+k)C.mnD.2mn解析由题意可得a-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)(a+c)=(m+k)(n+k),即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=(m+k)(n+k).所以椭圆的短轴长为2(m+k)(n+k).答案A5.已知点P(2,1)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.32解析点P(2,1)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,可得4a2+1b2=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则|OM|=(a2+b2)(4a2+1b2)=5+4b2a2+a2b25+24b2a2·a2b2=3,当且仅当a2=2b2时,等号成立,此时由4a2+1b2=1,a2=2b2,解得a2=6,b2=3.所以e=a2-b2a2=12=22.故选C.答案C6.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e32,则长轴长的取值范围为. 解析因为b=1,所以c2=a2-1.又c2a2=a2-1a2=1-1a234,所以1a214,即a24.又a2-1>0,所以a2>1,故1<a2,长轴长2<2a4.答案(2,47.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的标准方程为. 解析设椭圆G的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),半焦距为c,则2a=12,ca=32,所以a=6,c=33.所以b2=a2-c2=36-27=9,故椭圆G的方程为x236+y29=1.答案x236+y29=18.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且PF1·PF2=c2,求椭圆离心率的取值范围.解设P(x0,y0),则PF1=(-c-x0,-y0),PF2=(c-x0,-y0),所以PF1·PF2=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=x02-c2+y02.因为P(x0,y0)在椭圆上,所以x02a2+y02b2=1.所以y02=b21-x02a2,所以PF1·PF2=x02-c2+b21-x02a2=c2,解得x02=(3c2-a2)a2c2.因为x0-a,a,所以x020,a2,即0(3c2-a2)a2c2a2,所以2c2a23c2.即13c2a212,所以33ca22,即椭圆离心率的取值范围是33,22.9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过点(1,0)作直线与椭圆相交于A,B两点,连接AF1,BF1,且ABF1的周长为42.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若|AB|=4|F2A|,求直线AB的方程.解(1)焦距为2,ABF1的周长为42,c=1,4a=42,a2=b2+c2.解得c=1=b,a=2.椭圆C的标准方程为x22+y2=1.(2)设直线AB的方程为x=my+1,点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).联立x=my+1,x2+2y2=2,得(m2+2)y2+2my-1=0,y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2,|AB|=4|F2A|,|BF2|=3|F2A|,y2=-3y1.联立y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2,y2=-3y1.解得m=±1.直线AB的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.10.(选做题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,P是C上一点,F1,F2是C的两个焦点,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线y=2x+n交椭圆C于A,B两点,O为坐标原点,求OAB面积的最大值.解(1)|PF1|+|PF2|=4,2a=4,即a=2.e=ca=22,c=2,b2=a2-c2=2,即椭圆方程为x24+y22=1.(2)设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2),将y=2x+n代入椭圆C的方程,整理得5x2+42nx+2n2-4=0,=32n2-20(2n2-4)>0,n2<10,x1+x2=-42n5,x1x2=2n2-45,|AB|=1+2·(x1+x2)2-4x1x2=265·10-n2,点O到直线AB的距离d=|n|3,SOAB=12×|AB|×d=12×265×10-n2×|n|3=25×(10-n2)n225×12×(10-n2+n2)=2,当且仅当10-n2=n2,即n2=5时取等号,OAB面积的最大值为2.7