2016高考数学大一轮复习3.1导数的概念及运算教师用书理苏教版.doc

§3.1导数的概念及运算1函数yf(x)从x1到x2的平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，若xx2x1，yf(x2)f(x1)，则平均变化率可表示为.2函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y，即f(x0) .(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数，导函数有时也记作y.4基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c (c为常数)f(x)_0_f(x)x (Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax (a>0)f(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logax(a>0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)5.导数的运算法则(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)6复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同(×)(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)(×)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线(×)(5)若f(x)a32axx2，则f(x)3a22x.(×)(6)函数y的导数是y.(×)1设函数f(x)ax3bx(a0)，若f(3)3f(x0)，则x0_.答案±解析由已知得f(x)ax2b.又f(3)3f(x0)，则有9a3b3ax3b，所以x3，则x0±.2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是_答案解析由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，由图知不符合，符合，故正确3(2014·广东)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_答案5xy20解析因为y|x05e05，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.4曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_答案解析y2e2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k2，切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，其中直线y2x2与yx的交点为A(，)，三角形的面积S×1×.题型一利用定义求函数的导数例1用定义法求函数f(x)x22x1在x1处的导数解方法一yf(xx)f(x)(xx)22(xx)1(x22x1)x22x·xx22x2x1x22x1(2x2)xx2，所以 (2x2)x2x2.所以函数f(x)x22x1在x1处的导数为f(x)|x12×120.方法二yf(1x)f(1)(1x)22(1x)1(122×11)12xx222x12x2，所以 x0.故f(x)|x10.思维升华(1)求函数f(x)的导数步骤：求函数值的增量yf(x2)f(x1)；计算平均变化率；计算导数f(x) .(2)利用定义法求解f(a)，可以先求出函数的导数f(x)，然后令xa即可求解，也可直接利用定义求解(1)函数yx在x，xx上的平均变化率_；该函数在x1处的导数是_(2)已知f(x)，则f(1)_.答案(1)10(2)解析(1)y(xx)xxx.1.y|x1 0.(2)yf(1x)f(1)1， .f(1).题型二导数的运算例2求下列函数的导数：(1)yex·ln x；(2)yx；(3)ysin2；(4)yln(2x5)解(1)y(ex·ln x)exln xex·ex(ln x)(2)yx31，y3x2.(3)ysin2(2x)cos(4x)，故设ycos u，u4x，则yxyu·uxsin u·42sin u2sin(4x)(4)设yln u，u2x5，则yxyu·ux，因此y·(2x5).思维升华(1)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导(1)f(x)x(2 015ln x)，若f(x0)2 016，则x0_.(2)若函数r(V)，则r()值等于_(3)若f(x)e2x，则f(x)_.答案(1)1(2)1(3)2e2x解析(1)f(x)2 015ln xx×2 016ln x，故由f(x0)2 016得2 016ln x02 016，则ln x00，解得x01.(2)r(V)·，r()1.(3)f(x)··(3x)e2x·(2x)2e2x.题型三导数的几何意义例3设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.思维升华导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解(1)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_(2)已知函数f(x)x33x，若过点A(0,16)且与曲线yf(x)相切的直线方程为yax16，则实数a的值是_答案(1)3(2)9解析(1)yax2的导数为y2ax，直线7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.(2)先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线上有y0x3x0，求导数得到切线的斜率kf(x0)3x3，又切线l过A、M两点，所以k，则3x3，联立可解得x02，y02，从而实数a的值为ak9.混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误典例：若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a_.易错分析没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误解析因为yx3，所以y3x2，设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x.又(1,0)在切线上，则x00或x0.当x00时，由y0与yax2x9相切可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切，可得a1.答案1或温馨提醒1.对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解方法与技巧1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误失误与防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别.A组专项基础训练(时间：45分钟)1设点P是曲线yx3x上的任意一点，曲线在点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是_答案0，)，)解析y3x2，又kf(x)3x2，k.结合正切函数图象可知：0<或<.2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)_.答案1解析由f(x)2xf(1)ln x，得f(x)2f(1).f(1)2f(1)1，则f(1)1.3(2014·大纲全国改编)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于_答案2解析yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y|x12.4与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是_答案2xy10解析对yx2求导得y2x.设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为k2x0.由2x02得x01，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.5曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴及直线x1所围成的三角形的面积为_答案解析求导得y3x2，所以y|x13，所以曲线yx3在点(1,1)处的切线方程为y13(x1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为×(1)×1.6已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，则f(5)_.答案6解析对f(x)3x22xf(2)求导，得f(x)6x2f(2)令x2，得f(2)12.再令x5，得f(5)6×52×(12)6.7.已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_答案xy20解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2,0)，所以切线方程为xy20.8已知函数f(x)，g(x)aln x，aR.若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为_答案yx解析f(x)，g(x)(x>0)，由已知得解得a，xe2.两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为kf(e2)，切线的方程为ye(xe2)，即yx.9已知抛物线yax2bxc通过点P(1,1)，且在点Q(2，1)处与直线yx3相切，求实数a、b、c的值解y2axb，抛物线在点Q(2，1)处的切线斜率为ky|x24ab.4ab1.又点P(1,1)、Q(2，1)在抛物线上，abc1，4a2bc1.联立解方程组，得实数a、b、c的值分别为3、11、9.10已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知令3x214，解得x±1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.11已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标解(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21.f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y613(x2)即y13x32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，y0xx016，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，得切点坐标(2，26)，k3×(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)B组专项能力提升(时间：20分钟)1函数f(x)excos x的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为_答案解析由f(x)excos x，得f(x)excos xexsin x所以f(0)e0cos 0e0sin 01，即倾斜角满足tan 1.根据0，)，得.2若函数f(x)cos x2xf()，则f()与f()的大小关系是_答案f()<f()解析依题意得f(x)sin x2f()，f()sin2f()，f()，f(x)sin x1.当x(，)时，f(x)>0，f(x)cos xx是(，)上的增函数，又<<<，f()<f()3已知曲线C：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为_答案解析设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率为ky|xt3t2a，所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt)将点(1,0)代入式得，(t3ata)(3t2a)(1t)，解得，t0或t.分别将t0和t代入式，得k1a和k2a，由题意，它们互为相反数得a.4若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_答案2，)解析f(x)x2axln x，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，即xa0有解，ax2.5已知函数f(x)x，g(x)a(2ln x)(a>0)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处的切线斜率相同，求a的值并判断两条切线是否为同一条直线解根据题意有曲线yf(x)在x1处的切线斜率为f(1)3，曲线yg(x)在x1处的切线斜率为g(1)a.所以f(1)g(1)，即a3.曲线yf(x)在x1处的切线方程为yf(1)3(x1)，得y13(x1)，即切线方程为3xy40.曲线yg(x)在x1处的切线方程为yg(1)3(x1)，得y63(x1)，即切线方程为3xy90，所以两条切线不是同一条直线14