2021_2022学年新教材高中数学第4章对数运算与对数函数测评含解析北师大版必修第一册20210604244.docx
第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)=11-x+lg(1+x)的定义域是()A.(-,-1)B.(1,+)C.(-1,1)(1,+)D.(-,+)解析:要使函数f(x)=11-x+lg(1+x)有意义,应满足1+x>0,1-x0,解得(-1,1)(1,+).故选C.答案:C2.已知a=0.993,b=log20.6,c=log3,则()A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c解析:0<a=0.993<1,b=log20.6<0,c=log3>1,b<a<c.故选D.答案:D3.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a1)的部分图象如图所示,则a,b满足的关系是()A.0<a-1<b<1B.0<b<a-1<1C.0<b-1<a<1D.0<a-1<b-1<1解析:由题中函数图象可知,函数f(x)在R上为增函数,故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0,logab),由题中函数图象可知-1<logab<0,解得1a<b<1.综上有0<1a<b<1.答案:A4.若正数a,b满足2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则1a+1b的值为()A.36B.72C.108D.172解析:由2+log2a=3+log3b=log6(a+b),得log2(4a)=log3(27b)=log6(a+b).设log2(4a)=log3(27b)=log6(a+b)=k,则有4a=2k,27b=3k,a+b=6k,所以108ab=2k×3k=6k=a+b,即1a+1b=108,故选C.答案:C5.四人赛跑,假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A.f1(x)=x2B.f2(x)=4xC.f3(x)=log2xD.f4(x)=2x答案:D6.已知函数f(x)=lnx-12,若a>0,b>0,且ab,f(a)=f(b),则ab等于()A.1B.e-1C.eD.e2解析:函数f(x)=lnx-12,ab,f(a)=f(b),lna-12=lnb-12,lna-12=lnb-12或lna-12=12-lnb,即lna=lnb或ln(ab)=1,解得a=b(舍)或ab=e,ab=e.故选C.答案:C7.已知函数f(x)=ax+logax(a>0,且a1)在区间1,2上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为()A.12B.14C.2D.4解析:显然函数y=ax与y=logax在区间1,2上的单调性相同,因此函数f(x)=ax+logax在区间1,2上的最大值与最小值之和为f(1)+f(2)=(a+loga1)+(a2+loga2)=a+a2+loga2=loga2+6,故a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故选C.答案:C8.若函数y=a|x|(a>0,且a1)的值域为y|0<y1,则函数y=loga|x|的大致图象是()解析:若函数y=a|x|(a>0,且a1)的值域为y|0<y1,则0<a<1,由此可知y=loga|x|的大致图象是选项A中的图象.答案:A9.若函数f(x)=log2x,x>0,log12(-x),x<0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)(0,1)解析:当a>0时,-a<0,若f(a)>f(-a),则log2a>log12-(-a),即log2a>log12a,此时a>1;当a<0时,-a>0,若f(a)>f(-a),则log12(-a)>log2(-a),此时,-1<a<0.综上,实数a的取值范围为(1,+)(-1,0).答案:C10.设函数f(x)是定义在(-,+)上的偶函数,且它在区间0,+)上单调递增,若a=flog213,b=flog312,c=f(-2),则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a解析:因为1<log 23<log 22=2,0<log 32<log 33=1,所以0<log 32<log 23<2.因为函数f(x)在区间0,+)上单调递增,所以f(log32)<f(log23)<f(2).因为f(x)是偶函数,所以a=flog 213=f(-log 23)=f(log 23),b=flog 312=f(-log 32)=f(log32),c=f(-2)=f(2),所以b<a<c.答案:C11.函数y=log12(6+x-x2)的单调递增区间是()A.-,12B.-2,12C.12,+D.12,3解析:要使函数有意义,需6+x-x2>0,解得-2<x<3,故函数的定义域是(-2,3).令t=-x2+x+6=-x-122+254,则函数t在区间12,3上单调递减,所以函数y=log12(6+x-x2)在区间12,3上单调递增,即函数y=log12(6+x-x2)的单调递增区间是12,3.答案:D12.若不等式lg 1+2x+(1-a)3x3(x-1)lg 3对任意的x(-,1恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,0B.(-,1C.0,+)D.1,+)解析:由lg1+2x+(1-a)3x3lg3x-1,得1+2x+(1-a)3x33x-1,1+2x+(1-a)3x3x,1+2xa·3x,即13x+23xa对任意的x(-,1恒成立.设f(x)=13x+23x,x(-,1,则f(x)min=f(1)=13+23=1,a1.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.设函数f(x)=3x+9x,则f(log32)=. 解析:f(log32)=3log32+9log32=2+4=6.答案:614.函数y=f(x)的图象和函数y=logax(a>0,且a1)的图象关于直线y=x对称,且函数g(x)=f(x-1)-3,则函数y=g(x)的图象必过定点. 解析:因为函数y=f(x)的图象和函数y=logax(a>0,且a1)的图象关于直线y=x对称,所以f(x)=ax,故函数g(x)=f(x-1)-3=ax-1-3,则函数y=g(x)的图象必过定点(1,-2).答案:(1,-2)15.已知函数f(x)=log2x,x>0,log12(-x),x<0,若f(a)<0,则实数a的取值范围是. 解析:由题意得a>0,log2a<0或a<0,log12(-a)<0,得0<a<1或a<-1.答案:(-,-1)(0,1)16.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且x(-1,0)时,f(x)=2x+65,则f(log220)=. 解析:由f(x+1)=f(1-x)及f(-x)=-f(x),得f(-x)=f(2+x)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),又log224<log220<log225,即4<log220<5,则4-log220(-1,0),所以f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220)=-24-log220+65=-2log245+65=-2.答案:-2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)计算下列各式的值:(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40+log222;(2)lg8+lg125-lg2-lg5lg10lg0.01.解:(1)lg2+lg5-lg8lg50-lg40+log222=1-3lg21+lg5-(1+2lg2)+log2(2)-1=1-3lg21-lg2-2lg2-1=1-3lg21-3lg2-1=0.(2)原式=lg(8×125)-lg(2×5)lg1012·lg10-2=lg103-lg1012lg10·(-2lg10)=3-112×(-2)=-2.18.(12分)光线每通过一块玻璃其强度要减少10%,至少用多少块这样的玻璃板重叠起来,才能使通过它们的光线在原强度的13以下?(lg 30.477 1)解:设通过n块玻璃时,光线强度在原强度的13以下,得(1-10%)n13,即0.9n13,即n·lg0.9lg13,nlg13lg0.9=lg31-2lg311.故至少用11块这样的玻璃.19.(12分)已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3)(aR).(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)f(1)=1,log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,故函数定义域为(-1,3).设函数u=-x2+2x+3,则函数u在区间(-1,1上单调递增,在区间1,3)上单调递减.又函数y=log4u(u>0)为增函数,f(x)的单调递增区间是(-1,1,单调递减区间是1,3).(2)假设存在实数a,使f(x)的最小值为0,则函数h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,因此应有a>0,12a-44a=1,解得a=12.故存在实数a=12,使f(x)的最小值为0.20.(12分)已知函数f(x)=alog2x+blog3x,其中常数a,b满足ab0.(1)若a>0,b>0,证明函数f(x)在定义域内为增函数;(2)若a=ln(m2+2m+3),b=ln 10,解不等式f(3x-1)f(x+3).解:f(x)=alog2x+blog3x,其定义域为(0,+).(1)任取x1,x2(0,+),x1<x2,则f(x1)-f(x2)=alog2x1+blog3x1-(alog2x2+blog3x2)=a(log2x1-log2x2)+b(log3x1-log3x2).0<x1<x2且y=log2x和y=log3x在区间(0,+)上为增函数,log2x1<log2x2,log3x1<log3x2,当a>0,b>0时,有a(log2x1-log2x2)<0,b(log3x1-log3x2)<0,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在区间(0,+)上为增函数.(2)a=ln(m2+2m+3)=ln(m+1)2+2ln2>ln1=0,b=ln10>ln1=0,由(1)可知函数f(x)在区间(0,+)上为增函数,f(3x-1)f(x+3)3x-1>0,x+3>0,3x-1x+3,13<x2,原不等式的解集为x13<x2.21.(12分)已知函数f(x)=lgkx-1x-1(kR).(1)若y=f(x)是奇函数,求k的值,并求该函数的定义域;(2)若函数y=f(x)在区间10,+)上是增函数,求k的取值范围.解:(1)f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),即lg-kx-1-x-1=-lgkx-1x-1,-kx-1-x-1=x-1kx-1,1-k2x2=1-x2,k2=1,k=±1,而k=1不合题意,舍去,k=-1.由-x-1x-1>0,得函数y=f(x)的定义域为(-1,1).(2)f(x)在区间10,+)上是增函数,10k-110-1>0,k>110.又f(x)=lgkx-1x-1=lgk+k-1x-1,故对任意的x1,x2,当10x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),即lgk+k-1x1-1<lgk+k-1x2-1,k-1x1-1<k-1x2-1,(k-1)·1x1-1-1x2-1<0.又1x1-1>1x2-1,k-1<0,k<1.综上可知k110,1.22.(12分)已知aR,f(x)=log21x+a(x>0).(1)若函数f(x)过点(1,1),求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点,求实数a的取值范围;(3)设a>0,若对任意实数t13,1,函数f(x)在区间t,t+1上的最大值与最小值的差不大于1,求实数a的取值范围.解:(1)aR,函数f(x)=log21x+a(x>0)的图象过点(1,1),f(1)=log2(1+a)=1,解得a=1,函数f(x)=log21x+1(x>0).(2)g(x)=f(x)+2log2x=log21x+a+2log2x=log2(x+ax2).函数g(x)=f(x)+2log2x只有一个零点,ax2+x=1在区间(0,+)上只有一个解.令h(x)=ax2+x-1.当a=0时,h(x)=x-1,只有一个零点1,成立;当a0时,h(x)=ax2+x-1在区间(0,+)上只有一个零点,又h(0)=-1<0,a>0,或a<0,=1+4a=0,即a>0,或a=-14.综上,实数a的取值范围为aa0,或a=-14.(3)f(x)=log21x+a=log21+axx.任取0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=log2(1+ax1x1)-log2(1+ax2x2)=log2x2+ax1x2x1+ax1x2.由于x2+ax1x2x1+ax1x2>1,所以log2x2+ax1x2x1+ax1x2>0,所以f(x1)>f(x2),所以函数f(x)是区间(0,+)上的减函数,函数f(x)在区间t,t+1(t13,1)上的最大值与最小值分别是f(t)与f(t+1).由题意,得f(t)-f(t+1)1,即1+att·t+11+at+a2,整理,得a1-tt2+t.设Q(t)=1-tt2+t,任取13t1<t21,则Q(t1)-Q(t2)=1-t1t12+t1-1-t2t22+t2=(t2-t1)t1+1+t2(1-t1)(t12+t1)(t22+t2)>0,Q(t1)>Q(t2),函数Q(t)在t13,1上为减函数,aQ13,即a1-13132+13,a32,实数a的取值范围是32,+.
