2021_2022学年新教材高中数学第4章对数运算与对数函数复习课第4课时对数运算与对数函数课后训练巩固提升含解析北师大版必修第一册20210604243.docx
第4课时对数运算与对数函数课后训练·巩固提升一、A组1.2lg(lga100)2+lg(lga)等于()A.1B.2C.3D.0解析:2lg(lga100)2+lg(lga)=2lg(100·lga)2+lg(lga)=2lg100+lg(lga)2+lg(lga)=2.答案:B2.函数f(x)=3x,x1,log13x,x>1,则y=f(x+1)的图象大致是()解析:将f(x)的图象向左平移1个单位长度即得到y=f(x+1)的图象.故选B.答案:B3.函数f(x)=2x|log0.5x|-1与x轴交点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:函数f(x)=2x|log0.5x|-1与x轴交点的个数即为函数y=|log0.5x|与y=2-x图象的交点个数.在同一平面直角坐标系中画出函数y=|log0.5x|,y=2-x的图象(图略),易知有两个交点.答案:B4.若loga(a2+1)<loga2a<0,则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.0,12C.12,1D.(0,1)(1,+)解析:由题意得a>0,且a1,故必有a2+1>2a,又loga(a2+1)<loga2a<0,所以0<a<1,同时2a>1,得a>12.综上,a12,1.答案:C5.设a=log36,b=log510,c=log714,则()A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c解析:由对数运算性质得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象(图略)得log32>log52>log72,所以a>b>c.答案:D6.计算:80.25×42+(32×3)6+log32×log2(log327)=. 解析:log32×log2(log327)=log32×log23=lg2lg3×lg3lg2=1,原式=234×214+22×33+1=21+4×27+1=111.答案:1117.函数f(x)=log2x·log2(2x)的最小值为. 解析:f(x)=12log2x·2(log2x+1)=(log2x)2+log2x=log2x+122-14,所以,当log2x=-12,即x=22时,f(x)取得最小值-14.答案:-148.已知函数f(x)=logax+bx-b(a>0,b>0,且a1).(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性.解:(1)要使f(x)有意义,只需x+bx-b>0,因为b>0,所以x>b,或x<-b,所以f(x)的定义域为x|x>b,或x<-b.故f(x)的定义域关于原点对称.又因为f(-x)=loga-x+b-x-b=logax+bx-b-1=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)设u(x)=x+bx-b=x-b+2bx-b=1+2bx-b,设x1>x2,则u(x1)-u(x2)=1+2bx1-b-1+2bx2-b=2b(x2-x1)(x1-b)(x2-b),当x1>x2>b>0时,2b(x2-x1)(x1-b)(x2-b)<0,即u(x1)<u(x2),此时,u(x)单调递减,同理当0>-b>x1>x2时,u(x)也单调递减,所以当a>1时,f(x)=logax+bx-b在区间(-,-b)和(b,+)上单调递减;当0<a<1时,f(x)=logax+bx-b在区间(-,-b)和(b,+)上单调递增.9.已知f(x)=x2-x+k,且log2f(a)=2,f(log2a)=k(a>0,且a1).(1)求a,k的值;(2)当x为何值时,f(logax)有最小值?并求出该最小值.解:(1)由题意得a2-a+k=4,(log2a)2-log2a+k=k,由得log2a=0,或log2a=1,解得a=1(舍去),或a=2.将a=2代入式,得k=2.(2)由(1)知,f(logax)=f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=log2x-122+74.当log2x=12即x=2时,f(logax)有最小值,最小值为74.二、B组1.若函数y=f(x)的定义域是-1,1,则函数y=f(log2x)的定义域是()A.-1,1B.12,2C.2,4D.1,4解析:y=f(x)的定义域是-1,1,则有-1log2x1,12x2.函数y=f(log2x)的定义域是x12x2.故选B.答案:B2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2x,则f(log49)的值为()A.-3B.-13C.13D.3解析:因为x<0时,f(x)=2x,且f(x)为R上的奇函数,所以x>0时,-x<0,f(-x)=-f(x)=2-x,即f(x)=-2-x,即x>0时,f(x)=-2-x.所以f(log49)=f(log23)=-2-log23=-13.答案:B3.当0<x12时,4x<logax,则实数a的取值范围是()A.0,22B.22,1C.(1,2)D.(2,2)解析:由0<x12,且logax>4x>0,可得0<a<1,由412=loga12可得a=22,令f(x)=4x,g(x)=logax,若当0<x12时,4x<logax,说明当0<x12时,f(x)的图象恒在g(x)图象的下方(如图所示),此时需a>22.综上,可得实数a的取值范围是22,1.答案:B4.已知函数y=f(x)(xR)满足f(x+2)=f(x),且x-1,1时,f(x)=x2,则y=f(x)与g(x)=log5x的图象的交点个数为. 解析:因为函数y=f(x)(xR)满足f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数,又x-1,1时,f(x)=x2.根据函数的周期性画出图形,如图,由图可得y=f(x)与g(x)=log5x的图象有4个交点.答案:45.已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a1),若f(x)>1在区间1,2上恒成立,则实数a的取值范围是. 解析:当a>1时,f(x)在区间1,2上单调递减,由f(x)>1在区间1,2上恒成立,则f(x)min=f(2)=loga(8-2a)>1,解得a<83,故1<a<83.当0<a<1时,f(x)在区间1,2上单调递增,由f(x)>1在区间1,2上恒成立,则f(x)min=f(1)=loga(8-a)>1,且8-a>0.得4<a<8,故a不存在.综上可知,实数a的取值范围是1,83.答案:1,836.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上单调递增.如果实数t满足f(ln t)+fln1t<2f(1),则t的取值范围是. 解析:因为函数f(x)是偶函数,所以fln1t=f(-lnt)=f(lnt)=f(|lnt|).则由f(lnt)+fln1t<2f(1),得2f(lnt)<2f(1),即f(|lnt|)<f(1),又因为f(x)在区间0,+)上单调递增,所以|lnt|<1,解得1e<t<e.答案:1e,e7.已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).(1)求f(x)的定义域;(2)若f(x)在区间(1,+)上单调递增且恒为正值,求实数a,b满足的关系式.解:(1)由ax-bx>0,得abx>1.a>1>b>0,ab>1.x>0.f(x)的定义域为(0,+).(2)f(x)在区间(1,+)上单调递增且恒为正值,f(x)>f(1),且f(1)0,即lg(a-b)0.a-b1,故实数a,b满足关系式a-b1.
