2022届高考数学一轮复习第3章导数及其应用第3讲导数的综合应用作业试题1含解析新人教版202106302122.doc
第三章 导数及其应用第三讲导数的综合应用拓展变式1.2018全国卷,12分已知函数f(x)=-x+aln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a-2.2.2020全国卷,12分已知函数f(x)=sin2xsin 2x.(1)讨论f(x)在区间(0,)的单调性.(2)证明:|f(x)|.(3)设nN*,证明:sin2xsin22xsin24xsin22nx.3.2017全国卷,12分已知函数f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)(1+)<m,求m的最小值.4.2019全国卷,12分已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x, f '(x)为f(x)的导数.(1)证明: f '(x)在区间(0,)内存在唯一零点;(2)若x0,时,f(x)ax,求a的取值范围.5.已知函数f(x)=-x+(x+a)ln x(aR)有两个不同的极值点.(1)求实数a的取值范围; (2)当a=2时,已知函数f(x)的图象在A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)(x1<x2)两个不同的点处的切线互相平行,证明:x1+x2>4.答 案第三讲导数的综合应用1.(1)f(x)的定义域为(0,+), f '(x)=-1+=-.若a2,则f '(x)0,当且仅当a=2,x=1时f '(x)=0,所以f(x)在(0,+)上单调递减.若a>2,令f '(x)=0,得x=或x=.当x(0,)(,+)时,f '(x)<0;当x(,)时,f '(x)>0.所以f(x)在(0,)和(,+)上单调递减,在(,)上单调递增.(2)由(1)知,若f(x)存在两个极值点,则a>2.因为f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1.因为=-1+a=-2+a=-2+a,所以<a-2等价于-x2+2ln x2<0.设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+)上单调递减,又g(1)=0,所以当x(1,+)时,g(x)<0.所以-x2+2ln x2<0,即<a-2.2.(1)f'(x)=2sin xcos xsin 2x+2sin2xcos 2x=2sin x(cos xsin 2x+sin xcos 2x)=2sin xsin 3x.当x(0,)(,)时,f'(x)>0;当x(,)时,f'(x)<0.所以f(x)在区间(0,),(,)上单调递增,在区间(,)上单调递减.(2)由已知知f(0)=f()=0,由(1)知,f(x)在区间0,上的最大值为f()=,最小值为f()=-.因为f(x+)=sin2(x+)sin(2x+2)=sin2xsin 2x=f(x),所以f(x)是周期为的周期函数,故|f(x)|.(3)由(2)得|sin2xsin 2x|,|sin22xsin 4x|,|sin22n-1xsin 2nx|,所以|sin2xsin32xsin34xsin32n-1xsin 2nx|()n,所以|sin3xsin32xsin32nx|()n|sin xsin22nx|()n,即|sin3xsin32xsin32nx|()3n,所以sin2xsin22x··sin22nx()3n=.3.(1)f(x)的定义域为(0,+).若a0,因为f()=-+aln 2<0,所以不满足题意.若a>0,由f '(x)=1-=知,当x(0,a)时,f '(x)<0;当x(a,+)时,f '(x)>0.所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增.故x=a是f(x)在(0,+)内的唯一最小值点.由于f(1)=0,所以当且仅当a=1时,f(x)0.故a=1.(2)由(1)知当x(1,+)时,x-1-ln x>0.令x=1+,则ln(1+)<.从而ln(1+)+ln(1+)+ln(1+)<+=1-<1.故(1+)(1+)(1+)<e.而(1+)(1+)(1+)>2,所以m的最小值为3.4.(1)设g(x)=f '(x)(x(0,),则g(x)=cos x+xsin x-1,g'(x)=xcos x.令g'(x)=0,得x=.当x(0,)时,g'(x)>0;当x(,)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减.又g(0)=0,g()>0,g()=-2,故g(x)在(0,)内存在唯一零点.所以f '(x)在(0,)内存在唯一零点.(2)由题设知f()a,f()=0,可得a0.由(1)知,f '(x)在(0,)内只有一个零点,设此零点为x0,且当x(0,x0)时,f '(x)>0;当x(x0,)时,f '(x)<0,所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减.又f(0)=0,f()=0,所以当x0,时,f(x)0.又当a0,x0,时,ax0,故f(x)ax.因此,a的取值范围是(-,0.5.(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+).f '(x)=-1+ln x+=ln x+.因为函数f(x)有两个不同的极值点,所以f '(x)=0即ln x+=0有两个不同的实数解.分离参数得a=-xln x.记g(x)=-xln x(x>0),则g'(x)=-1-ln x,令g'(x)=0,解得x=.当x(0,)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当x(,+)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减.g()=-ln=,且x 0时,g(x) 0. 图D 3-3-1如图D 3-3-1,作出函数g(x)的大致图象及直线y=a.由图可知,当直线y=a与函数g(x)的图象有两个交点时,a(0,).故所求实数a的取值范围为(0,).(2)当a=2时,f(x)=-x+(x+2)ln x,所以f '(x)=+ln x.不妨设m(x)=+ln x(x>0).由题意可知,函数f(x)的图象在A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)两个不同的点处的切线互相平行,即f '(x1)=f '(x2),即m(x1)=m(x2).易得m'(x)=-+=, 所以函数m(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增.故由m(x1)=m(x2),可知必有0<x1<2<x2,所以4-x1>2, 而m(x1)-m(4-x1)=+ln x1-ln(4-x1), 令h(x)=-+ln x-ln(4-x)(0<x<2),则h'(x)=-+=-<0,所以函数h(x)在(0,2)上为减函数,所以h(x)>0,所以m(x1)-m(4-x1)>0,即m(x1)>m(4-x1),所以m(x2)>m(4-x1).又函数m(x)在(2,+)上单调递增,所以x2>4-x1,即x1+x2>4.
