学年新教材高中数学第二章平面解析几何..点到直线的距离训练含解析新人教B版选择性必修第一册.docx

第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.4点到直线的距离课后篇巩固提升必备知识基础练1.原点到直线x+2y-5=0的距离为()A.1B.3C.2D.5答案D解析d=|0+2×0-5|12+22=5.2.直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,并且点(5,1)到l的距离为10,则l的方程是()A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0C.3x-y-4=0D.-x+3y-4=0答案C解析由7x+5y-24=0,x-y=0,得x=y=2,直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点为(2,2).当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0.点(5,1)到l的距离d=|5k-1+2-2k|k2+1=10,解得k=3,直线l的方程为3x-y-4=0.当直线l的斜率不存在时,l:x=2,不满足题意.综上所述,直线l的方程为3x-y-4=0.3.已知两平行直线x+2y+m=0与2x-ny-4=0之间的距离是5,若m>0,则m+n=()A.0B.-1C.1D.-2答案B解析两条直线平行,所以2n=-12,解得n=-4,直线2x-ny-4=02x+4y-4=0x+2y-2=0.又直线x+2y+m=0与直线x+2y-2=0之间的距离是5,则|m+2|5=5,解得m=3或m=-7(舍去),m+n=3-4=-1.4.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则ABC的面积等于()A.3B.4C.5D.6答案C解析设AB边上的高为h,则SABC=12|AB|·h,|AB|=(3-1)2+(1-3)2=22,AB边上的高h就是点C到直线AB的距离,AB边所在的直线方程为y-31-3=x-13-1,即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离为|-1+0-4|2=52,因此,SABC=12×22×52=5.5.直线l过点A(3,4),且与点B(-3,2)的距离最远,则直线l的方程为()A.3x-y-5=0B.3x-y+5=0C.3x+y+13=0D.3x+y-13=0答案D解析由题意知,当l与AB垂直时,符合要求,因为kAB=4-23-(-3)=13,所以直线l的斜率k=-3.所以直线l的方程为y-4=-3(x-3),即3x+y-13=0.6.已知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的k值为()A.12B.14C.18D.1答案C解析l1:k(x-2)-2y+8=0过定点(2,4),l2:k2(y-4)=4-2x也过定点(2,4),如图所示,点A(0,4-k),B(2k2+2,0),S=12×2k2×4+(4-k+4)×2×12=4k2-k+8.当k=18时,S取得最小值.7.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0之间的距离为. 答案12解析直线8x-6y+5=0化简为4x-3y+52=0,则由两条平行直线之间的距离公式得5-5242+32=12.8.经过点P(-3,4),且与原点的距离等于3的直线l的方程为. 答案x=-3或7x+24y-75=0解析(1)当直线l的斜率不存在时,原点到直线l:x=-3的距离等于3,满足题意.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-4=k(x+3),即kx-y+3k+4=0.原点到直线l的距离d=|3k+4|k2+(-1)2=3,解得k=-724.直线l的方程为7x+24y-75=0.综上可知,直线l的方程为x=-3或7x+24y-75=0.9.平面直角坐标系中,已知ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,4),C(0,6).(1)求BC边上的高所在的直线方程;(2)求ABC的面积.解(1)直线BC的斜率kBC=6-40-(-3)=23,则BC边上高所在直线斜率k=-32,则BC边上的高所在的直线方程为y-2=-32(x+1),即3x+2y-1=0.(2)BC的方程为y=23x+6,即2x-3y+18=0.点A到直线BC的距离d=|2×(-1)-3×2+18|32+22=101313,|BC|=(0+3)2+(6-4)2=13,则ABC的面积S=12|BC|d=12×13×101313=5.10.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为32,求直线l的方程.解由题意知,若截距为0,可设直线l的方程为y=kx,由题意知|4k-3|k2+1=32,解得k=-12±3142,直线l的方程为y=-12+3142x或y=-12-3142x;若截距不为0,设所求直线l的方程为x+y-a=0,由题意知|4+3-a|2=32,解得a=1或a=13,直线l的方程为x+y-1=0或x+y-13=0.综上所述,所求直线l的方程为y=-12+3142x,y=-12-3142x,x+y-1=0或x+y-13=0.关键能力提升练11.已知直线过两直线x-y+1=0和x+y-1=0的交点,且原点到该直线的距离等于1,这样的直线共有()A.0条B.1条C.2条D.3条答案B解析联立x-y+1=0,x+y-1=0,得x=0,y=1.两直线交点坐标为(0,1),由交点到原点的距离为1可知,只有1条直线符合条件.12.点P(sin ,3cos )到直线x+y+8=0的距离的最小值为()A.4B.23C.32D.52答案C解析点P(sin,3cos)到直线x+y+8=0的距离为d=|sin+3cos+8|1+1=2sin+3+82-2+82=32.所以当sin+3=-1,即=2k+76,kZ时,d取得最小值为32.故选C.13.设直线l1:x+3y-7=0与直线l2:x-y+1=0的交点为P,则P到直线l:x+ay+2-a=0的距离最大值为()A.10B.4C.32D.11答案A解析联立x+3y-7=0,x-y+1=0,解得x=1,y=2.可得P(1,2).直线l:x+ay+2-a=0化为x+2+a(y-1)=0,因此直线经过定点Q(-2,1).P到直线l:x+ay+2-a=0的距离最大值为|PQ|=(1+2)2+(2-1)2=10.故选A.14.已知直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在两坐标轴上的截距相等,则直线l1与直线l2:3x+3y-1=0间的距离为()A.423B.2C.22或2D.0或2答案A解析直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在两坐标轴上的截距相等,m+4m=m+42,m=2.直线l1:x+y-3=0,即3x+3y-9=0.故直线l1与直线l2:3x+3y-1=0间的距离为|-1-(-9)|9+9=423.故选A.15.若直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+ay+1=0平行,则两条平行直线之间的距离为()A.1B.2C.2D.22答案B解析直线l1:ax+y-1=0与直线l2:x+ay+1=0平行,则a2-1=0,解得a=±1.当a=-1时,直线l1:x-y+1=0与直线l2:x-y+1=0重合,故舍去.当a=1时,直线l1:x+y-1=0与直线l2:x+y+1=0平行.故两条平行直线之间的距离d=|-1-1|2=2.故选B.16.已知两条平行直线l1,l2分别过点P(1,1),Q(0,-1),当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程为. 答案x+2y-3=0解析由题意可得,l1,l2间的距离最大时,PQ和这两条直线都垂直.由于PQ的斜率为1+11-0=2,故直线l1的斜率为-12,故它的方程是y-1=-12(x-1),化简为x+2y-3=0.17.已知直线过两直线x-3y+1=0和3x+y-3=0的交点,且原点到该直线的距离为12,则该直线的方程为. 答案x=12或x-3y+1=0解析联立x-3y+1=0,3x+y-3=0,解得x=12,y=32,故交点的坐标为A12,32.当经过点A的直线的斜率不存在时,其方程为x=12,原点(0,0)到直线x=12的距离为12,符合题意;当直线斜率存在时,设经过点A的直线的方程为y-32=kx-12,即kx-y-12k+32=0,由于原点(0,0)到方程为kx-y-12k+32=0的直线的距离d=-12k+321+k2=12,解得k=33,故所求直线的方程为x-3y+1=0.18.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角A的平分线的方程.解设P(x,y)为角A的平分线上任一点,则点P到直线AB与到直线AC的距离相等,由两点式得直线AB的方程为y-15-1=x-47-4,即4x-3y-13=0,直线AC的方程为y-17-1=x-4-4-4,即3x+4y-16=0.所以由点到直线的距离公式,得|4x-3y-13|42+(-3)2=|3x+4y-16|32+42,即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|,即4x-3y-13=±(3x+4y-16),整理得x-7y+3=0或7x+y-29=0.易知x-7y+3=0是角A的外角平分线的方程,7x+y-29=0是角A的平分线的方程.19.如图,ABC中,顶点A(1,2),BC边所在直线的方程为x+3y+1=0,AB边的中点D(0,1).(1)求AB边所在直线的方程;(2)若|AC|=|BC|,求AC边所在直线的方程.解(1)AB边的中点为D(0,1),AB边所在直线的方程为x-10-1=y-21-2,即x-y+1=0.(2)|AC|=|BC|,点C在线段AB的垂直平分线x+y-1=0上,由x+y-1=0,x+3y+1=0,得x=2,y=-1,即点C的坐标为(2,-1),又点A(1,2),AC边所在直线的方程为x-12-1=y-2-1-2,即3x+y-5=0.学科素养拔高练20.(多选)S=直线lsinmx+cosny=1,m,n为正常数,0,2),下列结论中错误的是()A.当=4时,S中直线的斜率为nmB.S中所有直线均经过同一个定点C.当mn时,S中的两条平行直线之间的距离的最小值为2nD.S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面答案ABD解析当=4时,sin=cos,S中直线的斜率为-nm,故A不正确;根据sinmx+cosny=1,可知S中所有直线不可能经过一个定点,B不正确;当mn时,S中的两条平行直线间的距离为d=2sin2m2+cos2n22n,即最小值为2n,C正确;(0,0)不满足方程,S中的所有直线不可覆盖整个平面,D不正确.21.已知P为等腰ABC的底边BC上一点(不含端点),PMAB于点M,PNAC于点N,证明:|PM|+|PN|为定值.证明以BC的中点O为原点建立如图所示的直角坐标系,设B(-a,0),C(a,0)(a>0),A(0,b),P(x1,0),a,b为定值,-a<x1<a,b>0.所以AB的方程是bx-ay+ab=0,AC的方程是bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,得|PM|=|bx1+ab|a2+b2,|PN|=|bx1-ab|a2+b2.因为a>0,b>0,所以ab>0,-ab<0.所以bx1+ab>0,bx1-ab<0.所以|PM|+|PN|=bx1+ab-(bx1-ab)a2+b2=2aba2+b2为定值.同理可求证,当b<0时,|PM|+|PN|=-2aba2+b2为定值.