学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式优化练习新人教A版选修-.doc

一 二维形式的柯西不等式课时作业 A组根底稳固1假设a，bR，且a2b210，那么ab的取值范围是()A2，2 B2，2 C， D(， 解析：a2b210，(a2b2)(1212)(ab)2，即20(ab)2，2 ab2.答案：A2函数y2的最大值是()A3BC. D4解析：y2222()26×3，当且仅当2·，即x时等号成立y的最大值为.答案：C3如果实数m，n，x，y满足m2n2a，x2y2b，其中a，b为常数，那么mxny的最大值为()A. BC. D解析：由柯西不等式，得(mxny)2(m2n2)(x2y2)ab，当mn，xy时，(mxny)max.答案：B4假设ab1，那么22的最小值为()A1 B2C. D解析：22a22b22.ab1，a2b2(a2b2)·(11)·(ab)2，又8，以上两个不等式都是当且仅当ab时，等号成立22228，当且仅当ab时等号成立，取到最小值.答案：C5假设长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形，那么长方形ABCD周长的最大值为()A2R B2RC4R D4R解析：如图，设内接长方形ABCD的长为x，那么宽为，于是ABCD的周长l2(x)2(1×x1×)由柯西不等式得l2x2()2(1212)2×2R×4R.当且仅当x·1·1，即xR时等号成立此时 R，即四边形ABCD为正方形，故周长为最大的内接长方形是正方形，其周长为4R.答案：D6假设存在实数x使>a成立，常数a的取值范围为_解析：×1×，由柯西不等式得(×1×)2(31)·(x214x)64，所以8，当且仅当x10时取“，于是，常数a的取值范围是(，8)答案：(，8)7设xy>0，那么(x2)·(y2)的最小值为_解析：原式29.答案：98设实数x， y满足3x22y26，那么2xy的最大值为_解析：(x)2(y)2(2xy)2，|2xy| ，当且仅当×y×x，即3x4y且3x22y26时，等号成立，而此方程组有解2xy的最大值为.答案：9为锐角，a，b>0，求证：(ab)2.证明：设m，n(cos ，sin )，那么|ab|·cos ·sin |m·n|m|n|·，(ab)2.10设a，bR，假设ab2，求的最小值解析：(ab)()2()22(11)24.24，即2.当且仅当··，即ab时取等号，当ab1时，的最小值为2. B组能力提升1设a1、a2、b1、b2R，那么以下不等式中，柯西不等式用错的是()A(ab)·(ab)(a1a2b1b2)2B(ab)·(ab)(a1b2b1a2)2C(ab)·(ab)(a1b1a2b2)2D(aa)·(bb)(a1b1a2b2)2答案：C2设xy>0，那么的最小值为_解析：原式x2()2()2y2(x··y)29.答案：93a，bR，且ab1，那么()2的最大值是_解析：()2(1×1×)2(1212)(4a14b1)24(ab)22×|4×12|12.答案：124a，b，c为正数，且满足acos2bsin2<c，求证：cos2sin2<.解析：由柯西不等式，得cos2sin2(cos )2(sin )2·(cos2sin2) (acos2bsin2)<.5假设x24y25.求xy的最大值及最大值点解析：由柯西不等式得x2(2y)212()2(xy)2即(xy)25×，xy.当且仅当，即x4y时取等号由得或(舍去)xy的最大值为，最大值点为(2，)