2021黑龙江考研数学一真题及答案.doc

祝您考上理想学校 加油！2021黑龙江考研数学一真题及答案一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）ì ex - 1í(1)函数 f (x)= ïx, x ¹ 0 ,在 x = 0 处îï1, x = 0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.【答案】D.好好学习 天天向上【解析】因为lim f (x)= limex - 1=1 = f (0) ，故 f (x) 在 x = 0 处连续；x®0x®0xf (x) - f (0)ex - 1-1xe x -1 - x1¢1因为lim= lim=lim=，故 f (0) =，正确答案为 D.x®0x - 0x®0x - 0x®0x 222(2)设函数 f ( x, y ) 可微，且 f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 ， f (x, x2 ) = 2x2 ln x ，则 df (1,1) =(A) dx + dy .(B) dx - dy .(C) dy .(D) -dy .【答案】C.12【解析】 f ¢(x +1, ex ) + ex f ¢(x +1, ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1)12f ¢(x, x2 ) + 2xf ¢(x, x2 ) = 4x ln x + 2xìx = 0ìx = 1分别将í y = 0 ， í y = 1 带入式有îîf1¢(1,1) + f2¢(1,1) = 1 ， f1¢(1,1) + 2 f2¢(1,1) = 2联立可得 f1¢(1,1) = 0 ， f2¢(1,1) = 1 ， df (1,1) = f1¢(1,1)dx + f2¢(1,1)dy = dy ，故正确答案为 C.(3) 设函数 f (x) =sin x 在 x = 0 处的 3 次泰勒多项式为ax + bx2 + cx3 ，则1+ x2(A) a = 1,b = 0, c = - 7 .(B) a = 1,b = 0, c = 7 .6(C) a = -1,b = -1, c = - 7 .(D)66a = -1,b = -1, c = 7 .6【答案】A.【解析】根据麦克劳林公式有sin xéx33 ù237 33f (x) = 1+ x2 = êx - 6 + o(x ) ú ×1 - x+ o(x ) = x -x6+ o(x )ëû故a = 1,b = 0, c = - 7 ，本题选 A.60(4) 设函数 f ( x ) 在区间0,1上连续，则ò1 f ( x )dx =næ 2k -1 ö 1næ 2k -1 ö 1(A) lim å f ç÷.(B) lim å f ç÷.n®¥ k =1è 2nø 2nn®¥ k =1è 2n ø n2næ k -1ö 12næ k ö 2(C) lim å f ç÷.(D) lim å f ç÷ ×.n®¥ k =1【答案】B.è 2n ø nx®0 k =1è 2n ø n【 解 析 】 由 定 积 分 的 定 义 知 ， 将 (0,1)分 成 n 份 ， 取 中 间 点 的 函 数 值 ， 则1næ 2k -1 ö 1ò0 f (x)dx = lim S f ç2n ÷ n , 即选 B.n®¥ k =1èø(5) 二次型 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正惯性指数与负惯性指数依次为123122331(A) 2, 0 .(B)1,1 .(C) 2,1 .(D)1, 2 .【答案】B.【解析】 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x 2 + 2x x + 2x x + 2x x12312233121 22 31 3æ 011 öç÷所以 A = ç 121 ÷ ，故特征多项式为èøç 110 ÷l-1| lE - A |= -1-2-1-1-1-1 = (l+1)(l- 3)ll令上式等于零，故特征值为-1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.æ 1 öæ 1 öæ 3 ö(6)已知a = ç 0 ÷ ，a = ç 2 ÷ ，a = ç 1 ÷ ，记b =a，b =a - kb ，b =a - l b - l b ，1ç ÷1ç ÷è ø2ç ÷1ç ÷è ø3ç ÷2ç ÷è ø11221331 12 2若b1 ， b2 ， b3 两两正交，则l1 ， l2 依次为5 1(A) ,.2 25 1-(B) ,. 2 2(C)5 , - 1 .22(D)- 5 , - 1 .22【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知æ 0 öb =a - a2 ,b1 b = ç 2 ÷ ，0221ç ÷b1,b1 ç ÷è øb =a - a3 ,b1 b - a3 ,b2 b ，33b,b 1b ,b 2故l1= a3 ,b1 = 5 ， l2b1,b1 21122= a3 ,b2 = 1 ，故选 A.b2 ,b2 2(7) 设 A, B 为 n 阶实矩阵，下列不成立的是æ AO öæ AAB öèøèø(A) r ç OAT A÷ = 2r ( A )(B) r ç OAT ÷ = 2r ( A )èøæ ABA öæ AO öèø(C) r ç OAAT ÷ = 2r ( A )【答案】C.(D) r ç BAAT ÷ = 2r ( A )æ AO öTèø【解析】(A) r ç OAT A÷ = r (A) + r (A A) = 2r (A). 故 A 正确.(B) AB 的列向量可由 A 的列线性表示，故 r æ AAB ö = r æ AO ö = r (A) + r (AT ) = 2r (A).ç OAT ÷ç 0AT ÷èøèø(C) BA 的列向量不一定能由 A 的列线性表示.(D) BA 的行向量可由 A 的行线性表示， r æ ABAö = r æ AO ö = r (A) + r (AT ) = 2r (A).ç OAT ÷ç 0AT ÷本题选 C.èøèø(8) 设 A ， B 为随机事件，且0 < P(B) < 1，下列命题中不成立的是(A) 若 P( A | B) = P( A) ，则 P( A | B) = P( A) .(B) 若 P( A | B) > P( A) ，则 P( A | B) > P( A)(C) 若 P( A | B) > P( A | B) ，则 P( A | B) > P( A) .(D) 若 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，则 P( A) > P(B) .【答案】D.=P( A( A U B)【解析】 P( A | A U B)P( A U B)P( A)P( A) + P(B) - P( AB)P( A | A U B) = P( A( A U B) =P( A U B)P( AB) =P( A U B)P(B) -P( AB)P( A) + P(B) - P( AB)因为 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，固有 P( A) > P(B) - P( AB) ，故正确答案为 D.1 122(9) 设 ( X ,Y ), ( X,Y ),L, (X,Y ) 为来自总体 N (m,m;s2 ,s2 ;r) 的简单随机样本， 令nn12121 n 1 nq= m1 - m2 , X = n å X i ,Y = n åYi ,q= X - Y , 则i=1i=1s2 +s2n(A) q 是q的无偏估计， D (q) = 12( ) 12s2 +s2(B) q不是q的无偏估计， D q =n( ) 121 2s2 +s2 - 2rss(C) q是q的无偏估计， D q =n( ) 121 2s2 +s2 - 2rss(D) q不是q的无偏估计， D q =n【答案】C.【解析】因为 X ,Y 是二维正态分布，所以 X 与Y 也服从二维正态分布，则 X - Y 也服从二维正态分布，即 E(q) = E( X - Y ) = E( X ) - E(Y ) = m1 - m2 =q，qs2 +s 2 - 2rssD( ) = D( X - Y ) = D( X ) + D(Y ) - cov( X ,Y ) = 121 2 ，故正确答案为 C.n(10) 设 X1 , X 2 K, X16 是来自总体 N (m, 4) 的简单随机样本， 考虑假设检验问题：H0 : m£ 10, H1 : m> 10.F ( x) 表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为W = X ³ 11 ，1 16其中 X =å X i ，则m= 11.5 时，该检验犯第二类错误的概率为16i=1(A)1- F (0.5)(B)1- F (1)(C)1- F (1.5)【答案】B.【解析】所求概率为 PX < 11(D) 1- F (2)X : N (11.5, 1) ，4ì üPX < 11 = P ï X -11.5 £ 11-11.5ï = 1- F(1)í11ýï ï故本题选 B.î22þ二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.）ò+¥(11)0p【答案】4ò+¥【解析】0dx=x2 + 2x + 2dx=x2 + 2x + 2.ò+¥dx0 (x +1)2 +1= arctan( x + 1) +¥p pp0=-=244ì x = 2et + t +1, x < 0d 2 yî(12)设函数 y = y(x) 由参数方程í y = 4(t -1)et + t 2, x ³ 0 确定,则 dx2 t =0 = .2【答案】.3dy4tet + 2td 2 y(4et + 4tet + 2)(2et +1) - (4tet + 2t )2et【解析】由=dx2et +1，得=dx2，(2et +1)3将t = 0 带入得d 2 ydx2t =0= 2 .3(13)欧拉方程 x2 y ¢ + xy¢ - 4y = 0 满足条件 y(1) = 1, y¢(1) = 2 得解为 y = .【答案】 x2 .【解析】令 x = et， 则 xy¢ = dy, x2 y ¢d 2 ydy=-， 原方程化为d 2 y- 4 y = 0 ， 特征方程为dtdx2dxdx2l2 - 4 = 0 ， 特征根为 l = 2,l = -2 ， 通解为 y = C e2t + C e-2t = C x2 + C x-2 ， 将初始条件121212y(1) = 1, y¢(1) = 2 带入得C = 1,C = 0 ，故满足初始条件的解为 y = x2 .12(14) 设 S 为 空 间 区 域 (x, y, z) x2 + 4 y 2 £ 4, 0 £ z £ 2òò x2dydz + y2dzdx + zdxdy = .S【答案】4p.表 面 的 外 侧 ， 则 曲 面 积 分2【解析】由高斯公式得原式= òòò (2x + 2 y +1)dV = ò0 dzòò dxdy = 4p.WD(15) 设 A = aij 为 3 阶矩阵， Aij 为代数余子式， 若 A 的每行元素之和均为 2 ， 且A11 + A21 + A31 = .3A = 3 ，【答案】2.æ1öæ1öAæ1ö【解析】 Aç1÷ = 2 ç1÷ , Aa= la,l= 2,a= ç1÷ , 则 A* 的特征值为， 对应的特征向量为æ1öç ÷ç ÷11ç ÷ç ÷è øè øAæ A11A21ç ÷1ç ÷è øA31 ölæ1öæ A11 + A21 + A31 öæ1öAa= ç1÷ , A*a=a而 A* = ç AAA÷ , A* ç1÷ = ç A + A+ A ÷ =ç1÷ ，即ç ÷lç 122232 ÷ç ÷ç122232 ÷lç ÷ç1÷ç AAA ÷ç1÷ç A + A+ A ÷ç1÷è øè 132333 øè øè 132333 øè ø3A11 + A21 + A31 = 2 .(16) 甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中， 再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与 Y 的相关系数 .1【答案】.5æ (0, 0)(0,1)(1, 0)(1,1) öæ 01 öæ 01 ö【解答】联合分布率( X ,Y ) : ç3113÷ , X : ç 11 ÷ Y : ç 11 ÷ç÷ç ÷ç ÷è 105510 øè 22 øè 22 øcov( X ,Y ) =1 ， DX = 1 , DY = 1 , 即r= 1 .2044XY5三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本题满分 10 分)ç求极限limæ 1+x et2 dtöò10-÷ .x®0 çex -1sin x ÷èø1【答案】.2çæ 1+x et 2 dtöò1 ÷0sin x -1-x et 2 dtò0【解析】解： lim- = limx®0 çex -1sin x ÷x®0(ex -1) sin xèø又因为ò x et2 dt = ò x (1+ t 2 + o(t 2 )dt = x + 1 x3 + o(x3 ) ，故003(x - 1 x3 + o(x3 )(1+ x + 1 x3 + o(x3 ) - x - 1 x2 + o(x2 )原式= lim 3!3!2x®0x21 x2 + o(x2 )= lim 2= 1 .x®0x22(18)(本题满分 12 分)- nx1¥n+1设un (x) = e+ xn(n +1)(n = 1, 2, K) ，求级数åun (x) 的收敛域及和函数.n=1ì e- x+-+Îí【答案】 S (x) = ï1 - e- x(1 x) ln(1 x)x, x(0,1).ï e, x = 1【解析】ïî e - 1ú1¥¥ é -1ù¥- nxe- xS (x) = åu (x) = åêe nx +n(n + 1)x n+1 , 收敛域(0,1, S (x) = åe= 1 - e- x, x Î(0,1n¥n=1n=1 ëûn=1S (x) = å 1n+1¥xn+1 - å¥xn+1= -x ln(1 - x) - - ln(1 - x) - x2n=1n(n + 1)n=1nn=1 n + 1x= å= (1 - x) ln(1 - x) + x,-S2 (1) = lim S2 (x) = 1x®1x Î (0,1)ì e- x+-+ÎS (x) = ï1 - e- x(1 x) ln(1 x)x, x(0,1)íï e, x = 1ïî e - 1(19)(本题满分 12 分)ìx2 + 2 y2 - z = 6î已知曲线C : í4x + 2 y + z = 30 ，求C 上的点到 xoy 坐标面距离的最大值.【答案】66【解析】设拉格朗日函数 L ( x, y, z,l,m) = z 2 + l(x 2 + 2 y 2 - z - 6 )+ m(4x + 2 y + z - 30)xzL¢ = 2xl+ 4u = 0 L¢ y = 4 yl+ 2u = 0 L¢ = 2z - l+ u = 0 x2 + 2 y2 - z = 6 4x + 2 y + z = 30解得驻点： (4,1,12),(-8, -2, 66)C 上的点(-8, -2, 66) 到 xoy 面距离最大为 66.(20)(本题满分 12 分)设 D Ì R2 是有界单连通闭区域， I (D) =(1) 求 I (D1 ) 的值.òò(4 - x 2 - y 2 )dxdy 取得最大值的积分区域记为 D .1D(2) 计算 ò¶D1【答案】-p.(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2，其中¶D1 是 D1 的正向边界.【解析】（1）由二重积分的几何意义知： I (D) = òò(4 - x 2 - y 2 )ds，当且仅当4 - x2 - y2 在 D 上D2p22大于 0 时， I (D) 达到最大，故 D ：x2 + y2 £ 4 且 I (D )=dq (4 - r )rdr = 8p .11ò0ò0(2)补 D2 : x + 4 y = r （ r 很小），取 D 的方向为顺时针方向，2222ò¶D1(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy=x2 + 4 y2=ò¶D1 +¶D2(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2- ò¶D2(xex2 +4 y2 + y)dx + (4 yex2 +4 y2 - x)dy x2 + 4 y2= - 1 er 2 r 2ò¶D2xdx + 4ydy -1 er 2r 2ò¶D2ydx - xdy =1-2d s= -p.r òò2D2(21)(本题满分 12 分)æ a已知 A = ç 11-1öa-1÷ .ç÷ç -1-1a ÷èø(1) 求正交矩阵 P ,使得 PT AP 为对角矩阵；(2) 求正定矩阵C ,使得C 2 = (a + 3)E - A.-æ111 ö32ç6 ÷æ 5ö-1-ç 31÷ç÷ç÷【答案】(1)P = ç111÷ ；(2) C = ç -151 ÷ .326ç÷ç33 ÷ç÷ç - 102÷çç -115 ÷÷36ç÷èø【解析】è33 øl- a-11(1)由 lE - A =-1l- a1= (l- a + 1) 2(l- a - 2) = 011得l1 = a + 2,l2 = l3 = a -1当l1 = a + 2 时l- aæ 2-11 ö æ 101 öæ 1 ö(a + 2)E - A) = ç-121 ÷rrç011 ÷ 的特征向量为a = ç 1 ÷ ，ç÷ ç÷èø èøç 112 ÷ ç 000 ÷当l2 = l3 = a -1所1ç÷-1ç÷èøæ -1-11 ö æ 11-1öæ -1öæ -1ö(a -1)E - A) = ç-1-11 ÷rrç000 ÷ 的特征向量为a = ç 1 ÷ ,a = ç 1 ÷ ，ç÷ ç÷2ç÷3ç÷ç 11-1÷ ç 000 ÷ç 0 ÷ç 2 ÷èø èøèøèø326æ1- 1- 1 öæ a aa öç÷ç÷111æ a + 2ö令 P = ç1 ,2 ,3 ÷ = ç÷ ，则 PT AP = L = ça - 1÷ ，326ç a aa ÷ç÷ç÷è123øç÷ça -1÷ç - 102÷èø36ç÷èøæ 1ö(2) PT C 2 P = PT (a + 3)E - A)P = (a + 3)E - L = ç4÷ç÷ç4÷èøæ 1öæ 1öçççè4÷ Þ P4÷T CP =ç2÷ç÷ç2÷èøæ 5-1- öÞ PT CPPT CP =÷，øç 31÷æ 1öç÷故C = P ç2÷ PT = ç-151 ÷ .ç÷ç33 ÷ç2÷ç÷èø(22)(本题满分 12 分)ç -1è15ø33 ÷在区间(0, 2) 上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为 X ,较长的一段长度记为Y , 令 Z = Y .X(1) 求 X 的概率密度；(2) 求 Z 的概率密度.ç Y ÷(3) 求 E æ X ö .èøì1, 0 < x < 1ì2, z ³ 1【答案】(1)X : f (x) = íî0, 其他；(2)fZ (z) = (FZ(z)¢ = ï(z +1)2.(3)-1+ 2 ln 2 .íì1, 0 < x < 1îï0, 其他【解析】(1)由题知： X :f (x) = íî；0, 其他2 - X(2) 由Y = 2 - X ，即 Z =，先求 Z 的分布函数：XF (z) = P Z £ z = P ì 2 - X £ z ü = P ì 2 -1 £ z üZíXýí Xýîþîþ当 z < 1 时， FZ (z) = 0 ； 当 z ³ 1 时，ì 2üì2 ü 22FZ (z) = P í-1 £ z ý = 1 - P íX £ý = 1 - ò z +11dx =1 -；î Xþîì2, z ³ 1z +1þ0z +1íï2fZ (z) = (FZ (z)¢ =(z +1)；îï0, 其他(3) E æ X ö = E æXö = 1 x× 1dx = -1+ 2 ln 2 .Y2 - Xç÷ç÷èøèøò0 2 - x