2022年安徽省中考数学真题含解析.pdf

2022 年安徽省初中学业水平考试年安徽省初中学业水平考试数学数学（试题卷）（试题卷）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）每小题都给出分）每小题都给出 A，B，CD 四个四个选项，其中只有一个是符合题目要求的选项，其中只有一个是符合题目要求的1.下列为负数的是（）A.2B.3C.0D.52.据统计，2021 年我省出版期刊杂志总印数 3400 万册，其中 3400 万用科学记数法表示为（）A.83.4 10B.80.34 10C.73.4 10D.634 103.一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（）A.B.C.D.4.下列各式中，计算结果等于9a的是（）A.36aaB.36aaC.10aaD.182aa5.甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算走得最快的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁6.两个矩形的位置如图所示，若1 ，则2（）A.90B.45C.180D.2707.已知O 的半径为 7，AB 是O 的弦，点 P 在弦 AB 上若 PA4，PB6，则 OP（）A.14B.4C.23D.58.随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（）A.13B.38C.12D.239.在同一平面直角坐标系中，一次函数2yaxa与2ya xa的图像可能是（）A.B.C.D.10.已知点 O 是边长为 6 的等边ABC 的中心，点 P 在ABC 外，ABC，PAB，PBC，PCA 的面积分别记为0S，1S，2S，3S若12302SSSS，则线段 OP 长的最小值是（）A.3 32B.5 32C.3 3D.7 32二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）11.不等式312x的解集为_12.若一元二次方程2240 xxm有两个相等的实数根，则m_13.如图，平行四边形 OABC 的顶点 O 是坐标原点，A 在 x 轴的正半轴上，B，C 在第一象限，反比例函数1yx的图象经过点 C，0kykx的图象经过点 B若OCAC，则k _14.如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在边 AD 上，BEF 是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF 分别交 CD 于点 M，N，过点 F 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 G连接 DF，请完成下列问题：（1）FDG_；（2）若1DE，2 2DF，则MN _三三、（本大题共（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分）15.计算：0211622 16.如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的顶点均为格点（网格线的交点）（1）将ABC 向上平移 6 个单位，再向右平移 2 个单位，得到111ABC，请画出111ABC（2）以边 AC 的中点 O 为旋转中心，将ABC 按逆时针方向旋转 180，得到222A B C，请画出222A B C四四、（本大题共（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分）17.某地区 2020 年进出口总额为520 亿元 2021 年进出口总额比 2020 年有所增加，其中进口额增加了 25%，出口额增加了 30%注：进出口总额进口额出口额（1）设 2020 年进口额为 x 亿元，出口额为 y 亿元，请用含 x，y 的代数式填表：年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿元2020 xy52020211.25x1.3y（2）已知 2021 年进出口总额比 2020 年增加了 140 亿元，求 2021 年进口额和出口额度分别是多少亿元？18.观察以下等式：第 1 个等式：2222 1 12 2 12 2 ，第 2 个等式：2222 2 13 4 13 4 ，第 3 个等式：2222 3 14 6 14 6 ，第 4 个等式：2222 4 15 8 15 8 ，按照以上规律解决下列问题：（1）写出第 5 个等式：_；（2）写出你猜想的第 n 个等式（用含 n 的式子表示），并证明五五、（本大题共（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分）19.已知 AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为 BA 的延长线上一点，连接 CD（1）如图 1，若 COAB，D30，OA1，求 AD 的长；（2）如图 2，若 DC 与O 相切，E 为 OA 上一点，且ACDACE，求证：CEAB20.如图，为了测量河对岸 A，B 两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点 C，测得 A，B 均在 C的北偏东 37方向上，沿正东方向行走 90 米至观测点 D，测得 A 在 D 的正北方向，B 在 D 的北偏西 53方向上求 A，B 两点间的距离参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75六六、（本题满分（本题满分 12 分）分）21.第 24 届冬奥会于 2022 年 2 月 20 日在北京胜利闭幕某校七、八年级各有 500 名学生为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取 n 名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用 x 表示）：A：7075x，B：7580 x，C：8085x，D：8590 x，E：9095x，F：95100 x，并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：已知八年级测试成绩 D 组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88请根据以上信息，完成下列问题：（1）n_，a_；（2）八年级测试成绩的中位数是_（3）若测试成绩不低于 90 分，则认定该学生对冬奥会关注程度高请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由七七、（本题满分（本题满分 12 分）分）22.已知四边形 ABCD 中，BCCD连接 BD，过点 C 作 BD 的垂线交 AB 于点 E，连接 DE（1）如图 1，若DEBC，求证：四边形 BCDE 是菱形；（2）如图 2，连接 AC，设 BD，AC 相交于点 F，DE 垂直平分线段 AC（）求CED 的大小；（）若 AFAE，求证：BECF八八、（本题满分（本题满分 14 分）分）23.如图 1，隧道截面由抛物线的一部分 AED 和矩形 ABCD 构成，矩形的一边 BC 为 12 米，另一边 AB 为 2米以 BC 所在的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，规定一个单位长度代表 1 米E（0，8）是抛物线的顶点（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图 2、图 3 中粗线段所示，点1P，4P在 x 轴上，MN 与矩形1234PPPP的一边平行且相等栅栏总长 l 为图中粗线段12PP，23P P，34PP，MN 长度之和请解决以下问题：（）修建一个“”型栅栏，如图 2，点2P，3P在抛物线 AED 上设点1P的横坐标为06mm，求栅栏总长 l 与 m 之间的函数表达式和 l 的最大值；（）现修建一个总长为 18 的栅栏，有如图 3 所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形1234PPPP面积的最大值，及取最大值时点1P的横坐标的取值范围（1P在4P右侧）2022 年安徽省初中学业水平考试年安徽省初中学业水平考试数学数学（试题卷）（试题卷）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）每小题都给出分）每小题都给出 A，B，CD 四个四个选项，其中只有一个是符合题目要求的选项，其中只有一个是符合题目要求的1.下列为负数的是（）A.2B.3C.0D.5【答案】D【解析】【分析】根据正负数的意义分析即可；【详解】解：A、2=2 是正数，故该选项不符合题意；B、3是正数，故该选项不符合题意；C、0 不是负数，故该选项不符合题意；D、-50 是负数，故该选项符合题意故选 D.【点睛】本题考查正负数的概念和意义，熟练掌握绝对值、算术平方根和正负数的意义是解决本题的关键2.据统计，2021 年我省出版期刊杂志总印数 3400 万册，其中 3400 万用科学记数法表示为（）A.83.4 10B.80.34 10C.73.4 10D.634 10【答案】C【解析】【分析】将3400万写成34000000，保留 1 位整数，写成10(110)naa的形式即可，n 为正整数【详解】解：3400万34000000，保留 1 位整数为3.4，小数点向左移动 7 位，因此7340000003.4 10，故选：C【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握10(110)naa中 a 的取值范围和 n 的取值方法是解题的关键3.一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中【详解】解：该几何体的俯视图为：，故选：A【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图4.下列各式中，计算结果等于9a的是（）A.36aaB.36aaC.10aaD.182aa【答案】B【解析】【分析】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可【详解】A36aa，不是同类项，不能合并在一起，故选项 A 不合题意；B363 69aaaa，符合题意；C10aa，不是同类项，不能合并在一起，故选项 C 不合题意；D1181628 2aaaa，不符合题意，故选 B【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键5.甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算走得最快的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A【解析】【分析】根据图象，先比较甲、乙的速度；然后再比较丙、丁的速度，进而在比较甲、丁的速度即可【详解】乙在所用时间为 30 分钟时，甲走的路程大于乙的走的路程，故甲的速度较快；丙在所用时间为 50 分钟时，丁走的路程大于丙的走的路程，故丁的速度较快；又因为甲、丁在路程相同的情况下，甲用的时间较少，故甲的速度最快，故选 A【点睛】本题考查了从图象中获取信息的能力，正确的识图是解题的关键6.两个矩形的位置如图所示，若1 ，则2（）A.90B.45C.180D.270【答案】C【解析】【分析】用三角形外角性质得到3=1-90=-90，用余角的定义得到2=90-3=180-【详解】解：如图，3=1-90=-90，2=90-3=180-故选：C【点睛】本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义7.已知O 的半径为 7，AB 是O 的弦，点 P 在弦 AB 上若 PA4，PB6，则 OP（）A.14B.4C.23D.5【答案】D【解析】【分析】连接OA，过点O作OCAB于点C，如图所示，先利用垂径定理求得152ACBCAB，然后在Rt AOC中求得62OC，再在Rt POC中，利用勾股定理即可求解【详解】解：连接OA，过点O作OCAB于点C，如图所示，则12ACBCAB，7OA，PA4，PB6，4610ABPAPB，152ACBCAB，541PCACPA，在Rt AOC中，2222752 6OCOAAC，在Rt POC中，22222 615OPOCPC，故选：D【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键8.随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成现对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（）A.13B.38C.12D.23【答案】B【解析】【分析】列出所有可能的情况，找出符合题意的情况，利用概率公式即可求解【详解】解：对每个小正方形随机涂成黑色或白色的情况，如图所示，共有 8 种情况，其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形情况有 3 种，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为38，故选：B【点睛】本题考查了用列举法求概率，能一个不漏的列举出所有可能的情况是解题的关键9.在同一平面直角坐标系中，一次函数2yaxa与2ya xa的图像可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分为0a 和0a 两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可【详解】解：当1x 时，两个函数的函数值：2yaa，即两个图像都过点21,aa，故选项 A、C 不符合题意；当0a 时，20a，一次函数2yaxa经过一、二、三象限，一次函数2ya xa经过一、二、三象限，都与y轴正半轴有交点，故选项 B 不符合题意；当0a 时，20a，一次函数2yaxa经过一、二、四象限，与y轴正半轴有交点，一次函数2ya xa经过一、三、四象限，与y轴负半轴有交点，故选项 D 符合题意故选：D【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质理解和掌握它的性质是解题的关键一次函数ykxb的图像有四种情况：当0k，0b 时，函数ykxb的图像经过第一、二、三象限；当0k，0b 时，函数ykxb的图像经过第一、三、四象限；当0k，0b 时，函数ykxb的图像经过第一、二、四象限；当0k，0b 时，函数ykxb的图像经过第二、三、四象限10.已知点 O 是边长为 6 的等边ABC 的中心，点 P 在ABC 外，ABC，PAB，PBC，PCA 的面积分别记为0S，1S，2S，3S若12302SSSS，则线段 OP 长的最小值是（）A.3 32B.5 32C.3 3D.7 32【答案】B【解析】【分析】根据12302SSSS，可得1012SS，根据等边三角形的性质可求得ABC 中 AB 边上的高1h和PAB 中 AB 边上的高2h的值，当 P 在 CO 的延长线时，OP 取得最小值，OP=CP-OC，过 O 作 OEBC，求得 OC=2 3，则可求解【详解】解：如图，2PDBBDCSSS=+，3PDAADCSSS=+，1231()()PDBBDCPDAADCSSSSSSSS=1()()PDBPDABDCADCSSSSS=1PABABCSSS=110SSS=102SS=02S，1012SS，设ABC 中 AB 边上的高为1h，PAB 中 AB 边上的高为2h，则0111116322SAB hhh=，1222116322SAB hhh=，211332hh=，122hh，ABC 是等边三角形，22166()3 32h=-=，2113322hh=，点 P 在平行于 AB，且到 AB 的距离等于332的直线上，当点 P 在 CO 的延长线上时，OP 取得最小值，过 O 作 OEBC 于 E，12932CPhh=+=，O 是等边ABC 的中心，OEBCOCE=30，CE=132BC OC=2OE222OECEOC，2223(2)OEOE+=，解得 OE=3，OC=2 3，OP=CP-OC=9532 3322-=故选 B【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到 P 点的位置是解题的关键二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）11.不等式312x的解集为_【答案】5x【解析】【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 可得答案【详解】解：312x去分母，得 x-32，移项，得 x2+3，合并同类项，系数化 1，得，x5，故答案为：x5【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤12.若一元二次方程2240 xxm有两个相等的实数根，则m_【答案】2【解析】【分析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于 0 即可求 m 的值，【详解】解：由题意可知：2a，4b ，cm240bac，164 20m ，解得：2m 故答案为：2【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式24bac求参数：方程有两个不相等的实数根时，0；方程有两个相等的实数根时，0；方程无实数根时，0等知识会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键13.如图，平行四边形 OABC 的顶点 O 是坐标原点，A 在 x 轴的正半轴上，B，C 在第一象限，反比例函数1yx的图象经过点 C，0kykx的图象经过点 B若OCAC，则k _【答案】3【解析】【分析】过点 C 作 CDOA 于 D，过点 B 作 BEx 轴于 E，先证四边形 CDEB 为矩形，得出 CD=BE，再证 RtCODRtBAE（HL），根据 S平行四边形OCBA=4SOCD=2，再求 SOBA=112OCBAS平行四边形即可【详解】解：过点 C 作 CDOA 于 D，过点 B 作 BEx 轴于 E，CDBE，四边形 ABCO 为平行四边形，CBOA，即 CBDE，OC=AB，四边形 CDEB 为平行四边形，CDOA，四边形 CDEB 为矩形，CD=BE，在 RtCOD 和 RtBAE 中，OCABCDEB，RtCODRtBAE（HL），SOCD=SABE，OC=AC，CDOA，OD=AD，反比例函数1yx的图象经过点 C，SOCD=SCAD=12，S平行四边形OCBA=4SOCD=2，SOBA=112OCBAS平行四边形，SOBE=SOBA+SABE=13122，3232k 故答案为 3【点睛】本题考查反比例函数 k 的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握反比例函数 k 的几何意义，平行四边形的性质与判定，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质14.如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在边 AD 上，BEF 是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF 分别交 CD 于点 M，N，过点 F 作 AD 的垂线交 AD 的延长线于点 G连接 DF，请完成下列问题：（1）FDG_；（2）若1DE，2 2DF，则MN _【答案】.45.2615【解析】【分析】（1）先证ABEGEF，得 FG=AE=DG，可知DFG 是等腰直角三角形即可知FDG度数（2）先作 FHCD 于 H，利用平行线分线段成比例求得 MH；再作 MPDF 于 P，证MPFNHF,即可求得 NH 的长度，MN=MH+NH 即可得解【详解】（1）四边形 ABCD 是正方形，A=90，AB=AD，ABE+AEB=90，FGAG，G=A=90，BEF 是等腰直角三角形，BE=FE，BEF=90，AEB+FEG=90，FEG=EBA，在ABE 和GEF 中，AGABEGEFBEEF ，ABEGEF（AAS），AE=FG，AB=GE，在正方形 ABCD 中，AB=ADADGEAD=AE+DE，EG=DE+DG，AE=DG=FG，FDG=DFG=45故填：45（2）如图，作 FHCD 于 H，FHD=90四边形 DGFH 是正方形，DH=FH=DG=2，AGFH,DEDMFHMH，DM=23，MH=43，作 MPDF 于 P，MDP=DMP=45，DP=MP，DP2+MP2=DM2，DP=MP=23，PF=5 23MFP+MFH=MFH+NFH=45，MFP=NFH，MPF=NHF=90，MPFNHF,MPPFNHHF，即NH25 2332，NH=25，MN=MH+NH=43+25=2615故填：2615【点睛】本题主要考查正方形的性质及判定以及相似三角形的性质和判定，熟知相关知识点并能熟练运用，正确添加辅助线是解题的关键三三、（本大题共（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分）15.计算：0211622【答案】1【解析】【分析】原式运用零指数幂，二次根式的化简，乘方的意义分别计算即可得到结果【详解】0211622 1 44 1故答案为：1【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂，二次根式的化简和乘方的意义是解本题的关键16.如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的顶点均为格点（网格线的交点）（1）将ABC 向上平移 6 个单位，再向右平移 2 个单位，得到111ABC，请画出111ABC（2）以边 AC 的中点 O 为旋转中心，将ABC 按逆时针方向旋转 180，得到222A B C，请画出222A B C【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平移的方式确定出点 A1，B1，C1的位置，再顺次连接即可得到111ABC；（2）根据旋转可得出确定出点 A2，B2，C2的位置，再顺次连接即可得到222A B C【小问 1 详解】如图，111ABC即为所作；【小问 2 详解】如图，222A B C即为所作；【点睛】本题考查作图-旋转变换与平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题四四、（本大题共（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 16 分）分）17.某地区 2020 年进出口总额为 520 亿元 2021 年进出口总额比 2020 年有所增加，其中进口额增加了 25%，出口额增加了 30%注：进出口总额进口额出口额（1）设 2020 年进口额为 x 亿元，出口额为 y 亿元，请用含 x，y 的代数式填表：年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿元2020 xy52020211.25x1.3y（2）已知 2021 年进出口总额比 2020 年增加了 140 亿元，求 2021 年进口额和出口额度分别是多少亿元？【答案】（1）1.25x+1.3y（2）2021 年进口额400亿元，出口额260亿元【解析】【分析】（1）根据进出口总额进口额出口额计算即可；（2）根据 2021 年进出口总额比 2020 年增加了 140 亿元，列方程 1.25x+1.3y=520+140，然后联立方程组5201.251.3520 140 xyxy，解方程组即可【小问 1 详解】解：年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿元2020 xy52020211.25x1.3y1.25x+1.3y故答案为：1.25x+1.3y；【小问 2 详解】解：根据题意 1.25x+1.3y=520+140，5201.251.3520 140 xyxy，解得：320200 xy，2021 年进口额 1.25x=1.25 320400亿元，2021 年出口额是1.31.3 200260y 亿元【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，列代数式，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤是解题关键18.观察以下等式：第 1 个等式：2222 1 12 2 12 2 ，第 2 个等式：2222 2 13 4 13 4 ，第 3 个等式：2222 3 14 6 14 6 ，第 4 个等式：2222 4 15 8 15 8 ，按照以上规律解决下列问题：（1）写出第 5 个等式：_；（2）写出你猜想的第 n 个等式（用含 n 的式子表示），并证明【答案】（1）2222 5 16 10 16 10（2）22221(1)21(1)2nnnnn，证明见解析【解析】【分析】（1）观察第 1 至第 4 个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第 n 个等式为22221(1)21(1)2nnnnn，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明【小问 1 详解】解：观察第 1 至第 4 个等式中相同位置数的变化规律，可知第 5 个等式为：2222 5 16 10 16 10，故答案为：2222 5 16 10 16 10；【小问 2 详解】解：第 n 个等式为22221(1)21(1)2nnnnn，证明如下：等式左边：2221441nnn，等式右边：22(1)21(1)2nnnn(1)21(1)2(1)21(1)2nnnnnnnn (1)411nn2441nn，故等式22221(1)21(1)2nnnnn成立【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键五五、（本大题共（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，满分分，满分 20 分）分）19.已知 AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 为 BA 的延长线上一点，连接 CD（1）如图 1，若 COAB，D30，OA1，求 AD 的长；（2）如图 2，若 DC 与O 相切，E 为 OA 上一点，且ACDACE，求证：CEAB【答案】（1）3 1（2）见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）及勾股定理可求出 OD，进而求出 AD 的长；（2）根据切线的性质可得 OCCD，根据同一个圆的半径相等及等腰三角形的性质可得OCA=OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案【小问 1 详解】解：OA=1=OC，COAB，D=30CD=2 OC=22222213ODCDOC13ADODOA【小问 2 详解】证明：DC 与O 相切OCCD即ACD+OCA=90OC=OAOCA=OACACD=ACEOAC+ACE=90AEC=90CEAB【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键20.如图，为了测量河对岸 A，B 两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点 C，测得 A，B 均在 C的北偏东 37方向上，沿正东方向行走 90 米至观测点 D，测得 A 在 D 的正北方向，B 在 D 的北偏西 53方向上求 A，B 两点间的距离参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75【答案】96 米【解析】【分析】根据题意可得ACD是直角三角形，解Rt ACD可求出 AC 的长，再证明BCD是直角三角形，求出 BC 的长，根据 AB=AC-BC 可得结论【详解】解：A，B 均在 C 的北偏东 37方向上，A 在 D 的正北方向，且点 D 在点 C 的正东方，ACD是直角三角形，903753BCD，A=90-BCD=90-53=37，在 RtACD 中，sinCDAAC，CD=90 米，90150sin0.60CDACA米，90,53CDABDA，905337,BDC375390BCDBDC，90,CBD即BCD是直角三角形，sinBCBDCCD，sin90 0.6054BCCDBDC米，1505496ABACBC米，答：A，B 两点间的距离为 96 米【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题六六、（本题满分（本题满分 12 分）分）21.第 24 届冬奥会于 2022 年 2 月 20 日在北京胜利闭幕某校七、八年级各有 500 名学生为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度，现从这两个年级各随机抽取 n 名学生进行冬奥会知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用 x 表示）：A：7075x，B：7580 x，C：8085x，D：8590 x，E：9095x，F：95100 x，并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：已知八年级测试成绩 D 组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88请根据以上信息，完成下列问题：（1）n_，a_；（2）八年级测试成绩的中位数是_（3）若测试成绩不低于 90 分，则认定该学生对冬奥会关注程度高请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由【答案】（1）20；4（2）86.5（3）该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有275人【解析】【分析】（1）八年级 D组：8590 x的频数为 7D 组占 35%求出 n，再利用样本容量减去其他四组人数2 求120 123642a 即可；（2）根据中位数定义求解即可；（3）先求出七八年级不低于 90 分的人数，求出占样本的比，用两个年级总数1140计算即可【小问 1 详解】解：八年级测试成绩 D 组：8590 x的频数为 7，由扇形统计图知 D 组占 35%，进行冬奥会知识测试学生数为 n=735%=20，120 123642a ，故答案为：20；4；【小问 2 详解】解：A、B、C 三组的频率之和为 5%+5%+20%=30%50%，A、B、C、D 四组的频率之和为 30%+35%=65%50%，中位数在 D 组，将 D 组数据从小到大排序为 85，85，86，86，87，88，89，2030%=6，第 10 与第 11 两个数据为 86，87，中位数为868786.52，故答案为：86.5；【小问 3 详解】解：八年级 E：9095x，F：95100 x两组占 1-65%=35%，共有 2035%=7 人七年级 E：9095x，F：95100 x两组人数为 3+1=4 人，两年级共有 4+7=11 人，占样本1140，该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有1150050027540（人）【点睛】本题考查从频率直方图和扇形统计图获取信息与处理信息，样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键七七、（本题满分（本题满分 12 分）分）22.已知四边形 ABCD 中，BCCD连接 BD，过点 C 作 BD 的垂线交 AB 于点 E，连接 DE（1）如图 1，若DEBC，求证：四边形 BCDE 是菱形；（2）如图 2，连接 AC，设 BD，AC 相交于点 F，DE 垂直平分线段 AC（）求CED 的大小；（）若 AFAE，求证：BECF【答案】（1）见解析（2）（）60CED；（）见解析【解析】【分析】（1）先根据 DC=BC，CEBD，得出 DO=BO，再根据“AAS”证明ODEOBC，得出 DE=BC，得出四边形 BCDE 为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，得出四边形 BCDE 为菱形；（2）（）根据垂直平分线的性质和等腰三角形三线合一，证明BEG=DEO=BEO，再根据BEG+DEO+BEO=180，即可得出180603CED；（）连接 EF，根据已知条件和等腰三角形的性质，算出15GEF，得出45OEF，证明OEOF，再证明BOECOF，即可证明结论【小问 1 详解】证明：DC=BC，CEBD，DO=BO，DEBC，ODEOBC，OEDOCB，ODEOBC（AAS），DEBC，四边形 BCDE 为平行四边形，CEBD，四边形 BCDE 为菱形【小问 2 详解】（）根据解析（1）可知，BO=DO，CE 垂直平分 BD，BE=DE，BO=DO，BEO=DEO，DE 垂直平分 AC，AE=CE，EGAC，AEG=DEO，AEG=DEO=BEO，AEG+DEO+BEO=180，180603CED（）连接 EF，EGAC，90EGF，90EFAGEF，180AEFBEF180BECCEF180BECCEGGEF 1806060GEF60GEFAE=AF，AEFAFE，9060GEFGEF，15GEF，601545OEFCEGGEF ，CEBD，90EOFEOB，9045OFEOEF，OEFOFE，OEOF，AECE，EACECA，60EACECACEB，30ECA，9030EBOOEB，30OCFOBE，90BOECOF，BOECOF（AAS），BECF【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质，作出辅助线，得出15GEF，得出OEOF，是解题的关键八八、（本题满分（本题满分 14 分）分）23.如图 1，隧道截面由抛物线的一部分 AED 和矩形 ABCD 构成，矩形的一边 BC 为 12 米，另一边 AB 为 2米以 BC 所在的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，规定一个单位长度代表 1 米E（0，8）是抛物线的顶点（1）求此抛物线对应的函数表达式；（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图 2、图 3 中粗线段所示，点1P，4P在 x 轴上，MN 与矩形1234PPPP的一边平行且相等栅栏总长 l 为图中粗线段12PP，23P P，34PP，MN 长度之和请解决以下问题：（）修建一个“”型栅栏，如图 2，点2P，3P在抛物线 AED 上设点1P的横坐标为06mm，求栅栏总长 l 与 m 之间的函数表达式和 l 的最大值；（）现修建一个总长为 18 的栅栏，有如图 3 所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形1234PPPP面积的最大值，及取最大值时点1P的横坐标的取值范围（1P在4P右侧）【答案】（1）y16x28（2）（）l12m22m24，l 的最大值为 26；（）方案一：309P1横坐标30；方案二：2192P1横坐标21【解析】【分析】（1）通过分析 A 点坐标，利用待定系数法求函数解析式；（2）（）结合矩形性质分析得出 P2的坐标为（m，16m28），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；（）设 P2P1n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围【小问 1 详解】由题意可得：A（6，2），D（6，2），又E（0，8）是抛物线的顶点，设抛物线对应的函数表达式为 yax28，将 A（6，2）代入，（6）2a82，解得：a16，抛物线对应的函数表达式为 y16x28；【小问 2 详解】（）点 P1的横坐标为 m（0m6），且四边形 P1P2P3P4为矩形，点 P2，P3在抛物线 AED 上，P2的坐标为（m，16m28），P1P2P3P4MN16m28，P2P32m，l3（16m28）2m12m22m2412（m2）226，120，当 m2 时，l 有最大值为 26，即栅栏总长 l 与 m 之间的函数表达式为 l12m22m24，l 的最大值为 26；（）方案一：设 P2P1n，则 P2P3183n，矩形 P1P2P3P4面积为（183n）n3n218n3（n3）227，30，当 n3 时，矩形面积有最大值为 27，此时 P2P13，P2P39，令16x283，解得：x30，此时 P1的横坐标的取值范围为309P1横坐标30，方案二：设 P2P1n，则 P2P39n，矩形 P1P2P3P4面积为（9n）nn29n（n92）2814，10，当 n92时，矩形面积有最大值为814，此时 P2P192，P2P392，令16x2892，解得：x21，此时 P1的横坐标的取值范围为2192P1横坐标21【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键