2022年高考数学真题试卷(北京卷-含解析.docx

2022年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1（2022·北京）已知全集 U=x|3<x<3 ，集合 A=x|2<x1 ，则 CUA= （） A(2，1B(3，2)1，3)C2，1)D(3，2(1，3)2（2022·北京）若复数 z 满足 iz=34i ，则 |z|= （） A1B5C7D253（2022·北京）若直线 2x+y1=0 是圆 (xa)2+y2=1 的一条对称轴，则 a= （） A12B12C1D-14（2022·北京）已知函数 f(x)=11+2x ，则对任意实数 x ，有（） Af(x)+f(x)=0Bf(x)f(x)=0Cf(x)+f(x)=1Df(x)f(x)=135（2022·北京）已知函数 f(x)=cos2xsin2x ，则（） Af(x) 在 (2，6) 上单调递增Bf(x) 在 (4，12) 上单调递增Cf(x) 在 (0，3) 上单调递减Df(x) 在 (4，712) 上单调递增6（2022·北京）设 an 是公差不为0的无穷等差数列，则“ an 为递增数列”是“存在正整数 N0 ，当 n>N0 时， an>0 ”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（2022·北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和 1gP 的关系，其中 T 表示温度，单位是 K ； P 表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（） A当 T=220 ， P=1026 时，二氧化碳处于液态B当 T=270 ， P=128 时，二氧化碳处于气态C当 T=300 ， P=9987 时，二氧化碳处于超临界状态D当 T=360 ， P=729 时，二氧化碳处于超临界状态8（2022·北京）若 (2x1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 ，则 a0+a2+a4= （） A40B41C-40D-419（2022·北京）已知正三棱锥 PABC 的六条棱长均为6， S 是 ABC 及其内部的点构成的集合，设集合 T=QS|PQ5 ，则 T 表示的区域的面积为（）A34BC2D310（2022·北京）在 ABC 中， AC=3 ， BC=4 ， C=90° P 为 ABC 所在平面内的动点，且 PC=1 ，则 PAPB 的取值范围是（）A5，3B3，5C6，4D4，6二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11（2022·北京）函数 f(x)=1x+1x 的定义域是 12（2022·北京）已知双曲线 y2+x2m=1 的渐近线方程为 y=±33x ，则 m= 13（2022·北京）若函数 f(x)=Asinx3cosx 的一个零点为 3 ，则 A= ； f(12)= 14（2022·北京）设函数 f(x)=ax+1，x<a(x2)2，xa ，若 f(x) 存在最小值，则 a 的一个取值为 ； a 的最大值为 15（2022·北京）已知数列 an 的各项均为正数，其前 n 项和 Sn ，满足 anSn=9(n=1，2，) 给出下列四个结论： an 的第2项小于3； an 为等比数列；an 为递减数列； an 中存在小于 1100 的项。其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。16（2022·北京）在 ABC 中， sin2C=3sinC （I）求 C ：（II）若 b=6 ，且 ABC 的面积为 63 ，求 ABC 的周长17（2022·北京）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 BCC1B1 为正方形，平面 BCC1B1 平面 ABB1A1 ， AB=BC=2 ， M，N 分别为 A1B1 ， AC 的中点 （I）求证： MN/ 平面 BCC1B1 ；（II）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN 所成角的正弦值。条件： ABMN ；条件： BM=MN 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分。18（2022·北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80， 9.70， 9.55， 9.54， 9.48， 9.42， 9.40， 9.35， 9.30， 9.25；乙：9.78， 9.56， 9.51， 9.36， 9.32， 9.23；丙：9.85， 9.65， 9.20， 9.16假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X 的数学期望 EX ；（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19（2022·北京）已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的一个顶点为 A(0，1) ，焦距为 23 （）求椭圆 E 的方程：（）过点 P(2，1) 作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C ，直线 AB，AC 分别与 x 轴交于点 M，N ，当 |MN|=2 时，求 k 的值。20（2022·北京）已知函数 f(x)=exln(1+x) （）求曲线 y=f(x) 在点 (0，f(0) 处的切线方程；（）设 g(x)=f(x) ，讨论函数 g(x) 在 0，+) 上的单调性；（III）证明：对任意的 s，t(0，+) ，有 f(s+t)>f(s)+f(t) 21（2022·北京）已知 Q：a1，a2，ak 为有穷整数数列给定正整数 m ，若对任意的 n1，2，m ，在 Q 中存在 a1，ai+1，ai+2，ai+j(j0) ，使得 ai+ai+1+ai+2+ai+j=n ，则称 Q 为 m 连续可表数列 （）判断 Q：2，1，4 是否为5-连续可表数列？是否为 6 连续可表数列？说明理由；（）若 Q：a1，a2，ak 为 8 连续可表数列，求证： k 的最小值为4；（）若 Q：a1，a2，ak 为 20 连续可表数列， a1+a2+ak<20 ，求证： k7 答案解析部分1【答案】D【知识点】补集及其运算【解析】【解答】根据题意可得： CUA=(3，2(1，3)故答案为：D【分析】直接根据补集的概念计算即可.2【答案】B【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模【解析】【解答】由已知条件可知 z=34ii=43i ，所以 |z|=(4)2+(3)2=5 . 故答案为：B【分析】根据复数的代数运算以及模长公式，进行计算即可.3【答案】A【知识点】直线与圆的位置关系【解析】【解答】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标 (a，0) ，所以由 2a+01=0 解得 a=12 . 故答案为：A【分析】由直线是圆的对称轴，则直线过圆心，求圆心代入直线方程即可求得 a 的值.4【答案】C【知识点】函数的应用【解析】【解答】由 f(x)=11+2x ，可得 f(x)=11+2x=2x1+2x ，所以 f(x)+f(x)=1 . 故答案为：C【分析】根据函数 f(x)=11+2x 的解析式求得 f(x) 的解析式，从而可得选项.5【答案】C【知识点】二倍角的余弦公式；余弦函数的单调性【解析】【解答】 f(x)=cos2xsin2x=cos2x ，选项A 中： 2x(，3) ，此时 f(x) 单调递增；选项B 中： 2x(2，6) ，此时 f(x) 先递增后递减；选项C中： 2x(0，23) ，此时 f(x) 单调递减；选项D 中： 2x(2，76) ，此时 f(x) 先递减后递增. 故答案为：C【分析】先根据余弦的二倍角公式化简 f(x)=cos2x ，再逐项分析选项即可.6【答案】C【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】充分性证明：若 an 为递增数列，则有对 nN+ ， an+1>an ，公差 d=an+1an>0 ，取正整数 N=0a1d+2 （其中 a1d 不大于 a1d 的最大正整数），则当 n>N0 时，只要 an>0 ，都有 an=a1+(n1)d>a1+(a1d+1)d>0 ； 必要性证明：若存在正整数 N0 ，当 n>N0 时， an>0 ，因为 an=a1+(n1)d ，所以 d>da1n ，对 n>N0，nN+ 都成立，因为 limn+da1n=0 ，且 d0 ，所以 d>0 ，对 nN+ ，都有 an+1an=d>0 ， an+1>an ，即 an 为递增数列，所以 an 为递增数列是“存在正整数 N0 ，当 n>N0 时， an>0 ”的充要条件.故答案为：C【分析】先证明充分性：若 an 为递增数列，则 an+1>an ，公差 d>0 ，取正整数 N=0a1d+2 ，则当 n>N0 时，只要 an>0 ，都有 an>a1+(a1d+1)d>0 ；再证明必要性：若存在正整数 N0 ，当 an>0 ，有 d>da1n ，因为 limn+da1n=0 ，结合已知条件得 d>0 ， an+1>an ，即 an 为递增数列，综上即可判断.7【答案】D【知识点】函数的图象；对数的运算性质【解析】【解答】A选项： lgP=lg1026>3 ， T=220 ，由图易知处于固态； B选项： lgP=lg128>2 ， T=270 ，由图易知处于液态；C选项： lgP=lg99873.999 ， T=300 ，由图易知处于固态；D选项： lgP=lg729>2 ， T=360 ，由图易知处于超临界状态.故答案为：D【分析】根据选项所给P的值分别计算 lgP ，结合T的值以及图象逐个判断即可.8【答案】B【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】当 x=1 时， a0+a1+a2+a3+a4=1 ，当 x=1 时， a0a1+a2a3+a4=81 ，两式相加得 a0+a2+a4=41 . 故答案为：B【分析】令 x=1 和 x=1 ，所得两式相加即可求解.9【答案】B【知识点】轨迹方程；棱锥的结构特征【解析】【解答】过点P作底面的射影点O，则由题意， CO=23，PC=6 ，所以 PO=26 ，当CO上存在一点Q使得 PQ=5 ，此时QO=1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆内，所以面积为.故答案为：B【分析】过点P作底面的射影点O，根据题意可计算 PO=26 ，当CO上存在一动点Q使得 PQ=5 ，此时QO=1，即可得动点Q的轨迹，从而计算 T 表示的区域的面积.10【答案】D【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，由题意易知 C(0，0)，A(3，0)，B(0，4) ，设 P(cos，sin)，0，2 ，PAPB=(3cos，sin)(cos，4sin)=3cos4sin+cos2+sin2=15sin(+)4，6 ，（sin=35，cos=45) . 故答案为：D【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点 P(cos，sin)，0，2 ，利用坐标法即可解决问题.11【答案】(，0)（0，1【知识点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】依题意 x01x0 ，解得 x(，0)（0，1 . 【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.12【答案】-3【知识点】双曲线的简单性质【解析】【解答】双曲线 y2+x2m=1 的渐近线方程为 y=±xm ，故 m=3 . 【分析】先写出双曲线 y2+x2m=1 的渐近线，再根据已知条件即可得.13【答案】1；2【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的零点与最值【解析】【解答】 f(3)=Asin33cos3=32A32=0 ，解得 A=1 ； f(x)=sinx3cosx=2sin(x3) ，故 f(12)=2sin(123)=2sin(4)=2 . 【分析】根据函数的零点为 3 ，代入解析式即可求出A的值；从而得到函数的解析式，利用两角差的正弦公式化简，再将 12 代入即可求得.14【答案】0（答案不唯一）；1【知识点】分段函数的应用【解析】【解答】由题意知，函数的最值与函数的单调性相关，故考虑0，2为分界点研究函数的性质，当 a<0 时， f(x)=ax+1，x<a ，该段的值域为 （，a2+1) ，故整个函数没有最小值；当 a=0 时， f(x)=ax+1，x<a 该段的值域为 1 ，而 f(x)=（x2)2，xa 的值域为 0，+) ，故此时函数 f(x) 的值域为 0，+) ，即存在最小值0，故第一个空可填写0；当 0<a2 时， f(x)=ax+1，x<a ，该段的值域为 （a2+1，+) ，而 f(x)=（x2)2，xa 的值域为 0，+) ，若存在最小值，则需满足 a2+10 ，于是可得 0<a1 ；当 a>2 时， f(x)=ax+1，x<a ，该段的值域为 （a2+1，+) ，而 f(x)=（x2)2，xa 的值域为 （a2)2，+) ，若存在最小值，则需满足 a2+1(a2)2 ，此时不等式无解.综上， a 的最大值为1. 【分析】根据题意考虑0，2为分界点研究函数的单调性和最值，分 a<0 、 a=0 、 0<a2 、 a>2 四种情况讨论函数 f(x) 的值域结合函数存在最小值列关于 a 的不等关系从而求解 a 的取值范围.15【答案】【知识点】数列的应用；数列递推式【解析】【解答】 n=1 ，可得 a12=9 ，又各项均为正，可得 a1=3 ，令 n=2 可得 a2(3+a2)=9 ，可解得 a2=3(51)2<3 ，故正确；当 n2 时，由 Sn=9an 得 Sn1=9an1 ，于是可得 an=9an9an1 ，即 anan1=9an29 ，若 an 为等比数列，则 n2 时 an+1=an ，即从第二项起为常数，可检验 n=3 则不成立，故错误；anSn=9(n=1，2，) ，可得 anSn=an+1Sn+1 ，于是 an+1an=SnSn+1<1 ，所以 an+1<an ，于是正确；对于，若所有项均大于等于 1100 ，取 n90000 ，则 an1100 ， Sn>9 ，于是 anSn>9 与已知矛盾，所以错误.【分析】先令 n=1 、 n=2 计算数列的首项和第二项即可判断；根据 Sn，an 的关系，求得 anan1=9an29 假设 an 为等比数列，经检验n=3不成立，判断错误；由 anSn=9(n=1，2，) ，可得 anSn=an+1Sn+1 ，于是 an+1an=SnSn+1<1 ，所以 an+1<an ，于是正确；利用反证法推出矛盾即可判断.16【答案】（I） sin2C=3sinC ，根据正弦的二倍角公式可得 2sinCcosC=3sinC ，可得 cosC=32 ，所以 C=6 ； （II）SABC=63 ，12absinC=63 ， a=43 ，由余弦定理 c2=a2+b22abcosC ，得 c=23 ，所以 ABC 周长为 63+6 .【知识点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用【解析】【分析】（1）根据正弦的二倍角公式化简求值即可；（2）根据三角形面积公式求得 a=43 ，再由余弦定理求得 c=23 ，即可得 ABC 周长.17【答案】（I）设点P为AB中点，由于P为AB中点，N为AC中点所以PN为 ABC 中位线 PN/BC又M为AB中点，PM是正方形 AA1B1B 的中位线所以 PM/BB1BB1/PMBC/PNBB1BC=BPMPN=P 面 BCC1B1 面 MPN又 MN 面 MPNMN/ 平面 BCC1B1（II）选择条件，面 BCC1B1 面 ABB1A1面 BB1C1C 面 ABC=BC ，面 A1B1BA 面 ABC=ABBCAB又 NP/BCNPAB ，又由： MNABNPABMNABNPMN=N 面 MNPABPM 面 MNPPMAB故 AB，BC，BB1 两两垂直以B为原点， BC 为 x 轴正方向， BA 为 y 轴正方向， BB1 为 z 轴正方向建立坐标系B：(0，0，0)，M：(0，1，2)，N：(1，1，0)，A：(0，2，0)，BM=(0，1，2)，BN=(1，1，0)，AB=(0，2，0)则BMN的法向量 n=(2，2，1)AB与面BMN所成角的正弦等于 AB 与 n 所半余弦的绝对值，即 |ABn|AB|n|=|46|=23故所求正弦为 23 .【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（1）记AB中点为P，由已知条件可得PN/BC，PM/BB1，推出 面 BCC1B1 /面 MPN ，从而推出 MN/ 平面 BCC1B1； （2） 选择条件 ，由 面 BCC1B1 面 ABB1A1 ，推出BCAB，再根据NP/BC，MNAB，推出面 MNPAB ，得到AB，BC，BB1两两垂直，以B为原点 建立如图空间直角坐标系，利用空间向量求解线面夹角正弦值即可.18【答案】（I）由题意得：设甲在校运会铅球比赛中获优秀奖为事件A： 比赛成绩达到9.50m以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有： 9.80，9.70，9.55，9.54 四个，所以甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为 P（A）=0.4 ；（II）X所有可能取值为0，1，2，3甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为 P（A）=0.4乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B，则 P（B）=0.5丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C，则 P（C）=0.5P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4P(X=2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35P(X=3)=0.4×0.5×0.5=0.1X0123P0.150.40.350.1E(X)=0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4（III）甲的平均数： (9.80+9.70+9.55+9.54+9.48+9.42+9.40+9.35+9.30+9.25)×0.1=9.479乙的平均数： (9.78+9.56+9.51+9.36+9.32+9.23)÷6=9.457丙的平均数： (9.85+9.65+9.20+9.16)×0.25=9.465甲的方差： S2=(9.89.479)2+(9.259.479)2÷10=0.172乙的方差： S2=(9.789.457)2+(9.239.457)2÷6=0.0329丙的方差： S2=(9.859.465)2+(9.169.465)2÷4=0.086在校运动会铅球比赛中，乙获得冠军的概率估计值最大.【知识点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式计算即可； （2）由题意 X 的可能取值为0，1，2，3，先分别求得 甲、乙、丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率，再分别求取X取值的相应概率，由此得分布列和数学期望；（3）根据甲、乙、丙的比赛成绩的平均值和方差即可判断.19【答案】（）由已知 b=1，2c=23a=2E：x24+y2=1()设直线 y=k(x+2)+1 ， B：(x1，y1) ， C：(x2，y2)联立 y=k(x+2)+1x2+4y2=4(4k2+1)x2+(16k2+8k)x+(16k2+16k)=0由 >0 得 k<0x1+x2=16k2+8k4k2+1 ， x1x2=16k2+16k4k2+1 ， |x1x2|=8k14k2+1 ， |y1+y2|=k|x1±x2|y1y2=k2x1x2+(2k2+1k)(x1+x2)+(2k+1)2由ABM共线得 M：(x11y1，0)，N：(x21y2，0)由 |MN|=2 得 (x11y1x21y2)=2即 |2k(x1x2)k(x1+x2)+k2x1x2+(2k2+k)(x1+x2)+(2k+1)2|=2即 |2k8k4k2+1+2k2(16k2+8k)+k2(16k2+16k)+(2k+1)2(4k2+1)|=2解得 k=14【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（1）根据已知条件可得b=1， 2c=23即c=3，结合a2=b2+c2求得a，即可得椭圆方程； （2） 设直线 y=k(x+2)+1 ，B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立方程组，由韦达定理可得x1+x2=16k2+8k4k2+1，x1x2=16k2+16k4k2+1，由 ABM共线 ，ACN共线可得M、N点坐标，再根据|MN|=2，可求得k的值.20【答案】（） f(x)=exln(1+x)+11+x ，则 f(0)=1 ，又 f(0)=0 ， 故所求切线方程为 y=x（） g(x)=exln(1+x)+21+x1(1+x)2 ，又 ex>0 ， ln(1+x)+21+x1(1+x)2>ln1+1+2x(1+x)2>0故 g(x)>0 对 x0，+) 成立， g(x) 在 0，+) 上单调递增（III）证明：不妨设 St ，由拉格朗日中值定理可得： f(s+t)f(s)(s+t)s=f()其中 s，s+t ，即 f(s+t)f(s)=tf()f(t)f(0)t0=f() ，其中 (0，t) ，即 f(t)f(0)=tf()由 g(x) 在 0，+) 上单调递增，故 f()>f()f(s+t)f(s)>f(t)f(0)=f(t)f(s+t)>f(s)+f(t) 证毕【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明【解析】【分析】（1）对函数f(x)=exln(1+x)求导得f(x)=exln(1+x)+11+x，分别计算f'(0)，f(0)，根据直线的点斜式方程即可求切线方程；（2）由（1）知g(x)=exln(1+x)+21+x1(1+x)2，利用放缩法可得ln(1+x)+21+x1(1+x)2>ln1+1+2x(1+x)2>0，即可判断g(x)的单调性； （3） 不妨设 St ，由拉格朗日中值定理可得 f(s+t)f(s)(s+t)s=f()，f(t)f(0)t0=f()，即 f(s+t)f(s)=tf()， f(t)f(0)=tf()，由 （2）的结论，得 f()>f()， 即f(s+t)f(s)>f(t)f(0)=f(t)，即可证明.21【答案】（） 若m=5，则对于任意n1，2，5，a1=2，a2=1，a3=4，a2+a3=5，所以Q是5-连续可表数列；由不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6-连续可表数列； （）若 k3 ，设为a，b，c，则至多 a+b，b+c，a+b+c，a，b，c 6种矛盾 k=4，3，2，1，4 满足kmin>4（）若k5，则 a1，a2，ak 至多可表15个数，与题意矛盾，若 k=6，Q：a，b，c，d，e，f 至多可表21个数，而 a+b+c+d+e+f<20 ，所以其中有负的，从而a，b，c，d，e，f可表 120 及那个负数（恰21个)这表明 af 中仅一个负的，没有0，且这个们的在 af 中绝对值最小，同时 af 中没有两数相同，设那个负数为 m(m1)则所有数之和 m+1+m+2+m+5m=4m+15，4m+1519m=1a，b，c，d，e，f=1，2，3，4，5，6 ，再考虑排序1=1+2 (仅一种方式)-1与2相序若-1不在两端，则" x_1 2 _"形式若 x=6 ，则 5=61 (2种方式矛盾)x6 ，问理 x5，4，3 ，故-1在一端，不妨为" 12A_B_C_D_ 形式右 A=3 ，则 5=2+3 (2种矛盾) A=4 同理不行A=5 ，则 6=1+2+5 (2种矛盾)从而 A=6由 7=1+2+6 ，由表法唯一知3，4不相邻，故只能 1，2，3，4，5，4或 1，2，6，4，5，3这2种情形对9=6+3=5+4 矛后对8=2+6=5+3 也矛盾综上 k6k7【知识点】数列的应用；数列与不等式的综合【解析】【分析】 （）根据可表数列的定义即可判断；（II）反证法：假设k3，则最多能表示6个数字，与Q为8-连续可表数列矛盾，故k4；（III） 若k5，则 a1，a2，ak 至多可表15个数 ，k=6至多可表21个数，而 a+b+c+d+e+f<20 ，所以至少要有6个正整数连续可表1-20个正整数，即至少6个正整数和一个负数才能满足题意，故k7.