湖北省华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题含参考答案.pdf

华中师大一附中华中师大一附中 2021-2022 学年度第二学期期末考试学年度第二学期期末考试高一数学高一数学本试卷为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。第第 I I 卷（选择题）卷（选择题）一、一、单项选择题单项选择题（共（共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。每分。每小小题只有一个选项符合题意）题只有一个选项符合题意）1已知集合012M,，1,0,1,2N ，则“aM”是“aN”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2已知角为第二象限角，4sin5=，则cos6的值为（）A43 310B43 310 C34 310D43 3103如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数2i iza为“等部复数”，则实数a的值为（）A1B0C2D-24在锐角三角形中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对应边，设 A2C，则2ccb的取值范围是（）A2,13B1,12C1,D1,25如图，在三棱锥PABC中，PA平面 ABC，3PAAB，4BC，90ABC，则点A 到平面 PBC 的距离为（）A3 22B32C3D3 326高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10 位评委的打分如下：8,5,8,7,8,6,9，7,7,5，则（）A该组数据的平均数为 7，众数为7.5B该组数据的第 60 百分位数为 6C如果再增加一位评委给该班也打 7 分，则该班得分的方差变小D评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数7 九章算术是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”现有一个刍甍如图所示，底面 ABCD 为正方形，/EF底面 ABCD，四边形 ABFE，CDEF 为两个全等的等腰梯形，12,2 32EFABAE，则该刍甍的外接球的体积为（）A64 23B32C64 33D64 28定义域在,a b的函数 yf x图像的两个端点为 A、B，向量1ONOAOB ，设,M x y是 f x图像上任意一点，其中1xab，0,1，若不等式MNk恒成立，则称函数 f x在,a b上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数 k 称为该函数的线性近似阈值.下列定义在1,2上的函数中，线性近似阈值最小的是（）A2yxB2yx=C1yxxDsin3yx二、多项选择题（每题二、多项选择题（每题有两个或者有两个或者两个以上两个以上正确答案，每题正确答案，每题 5 分，少选得分，少选得 3 分，共分，共 20 分）分）9设123,z zz为复数，且30z，则下列命题正确的是（）A若12zz，则12 zzB若1 323z zz z，则12zzC若231 3zz z，则13zzD若21zz，则1 323z zz z10 已知函数 sinf xAx（其中0A，0，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A函数 f(x)的图象的周期为TB函数 f(x)的图象关于点（12，0）对称C函数 f(x)在区间3，6上的最大值为 2D直线1y 与 11(1212yfxx）图像所有交点的横坐标之和为611已知,0,260 x yxyxy，则（）Axy的最大值为2B2xy的最小值为 4Cxy的最小值为4 23D22(2)(1)xy的最小值为 112如图，平面四边形ABCD是由正方形AECD和直角三角形BCE组成的直角梯形，1AD，6CBE，现将RtACD沿斜边AC翻折成1ACD（1D不在平面ABC内），若P为BC的中点，则在RtACD翻折过程中，下列结论正确的是（）A1AD与BC不可能垂直B三棱锥1CBD E体积的最大值为612C若1,A C E D都在同一球面上，则该球的表面积是2D直线1AD与EP所成角的取值范围为（6 3，）第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）三、三、填空题（共填空题（共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分）13已知非零向量a，b的夹角为3，3a，aab，则b _14已知直三棱柱111ABCABC中，1,2ABAC AABC.若三棱柱111ABCABC外接球的表面积是40，则它的体积的最大值是_.15已知 D 是ABC的边 BC 上一点，且3BCBD ，2AD，tan15BAC，则2ACAB的最大值为_16佩香囊是端午节传统习俗之一香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目 图 1 的平行四边形 ABCD 由六个边长为 1 的正三角形构成 将它沿虚线折起来，可得图 2 所示的六面体形状的香囊那么在图 2 这个六面体中内切球半径为_，体积为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）在ABC中，2222 2,2aacbac.(1)若5b，求sinC；(2)若ABC存在且唯一确定，求b的取值范围.18（本小题满分 12 分）2022年3月5日，第十三届全国人民代表大会第五次会议在北京人民大会堂开幕，会议报告指出，2021年，国内生产总值和居民人均可支配收入明显增长某地为了解居民可支配收入情况，随机抽取100人，经统计，这100人去年可支配收入（单位：万元）均在区间4.5,10.5内，按4.5,5.5，5.5,6.5，6.5,7.5，7.5,8.5，8.5,9.5，9.5,10.5分成6组，频率分布直方图如图所示，若上述居民可支配收入数据的第60百分位数为8.1(1)求,a b的值，并估计这100位居民可支配收入的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)用样本的频率估计概率，从该地居民中抽取甲、乙、丙3人，若每次抽取的结果互不影响，求抽取的3人中至少有两人去年可支配收入在7.5,8.5内的概率19（本小题满分 12 分）如图所示，在四棱锥PABCD中，已知 PA底面 ABCD，且底面 ABCD 为梯形，/BCAD，ABAD，33,2PAADBCAB，点 E 在线段 PD 上，3PDPE(1)求证：/CE平面 PAB；(2)求证：平面 PAC平面 PCD20（本小题满分 12 分）已知函数 5sin 22cossin644fxxxx(1)求函数 fx的单调递增区间；(2)若函数 yfxk在区间11,6 12上有且仅有两个零点，求实数 k 的取值范围21（本小题满分 12 分）在如图所示的七面体1111AABC DC中，四边形1111DCBA为边长为 2 的正方形，1AA 平面1111DCBA，11CCAA，且112CCAA，M，N，P分别是1C C，11BC，11C D的中点.(1)求点1C到平面MNP的距离；(2)若直线11AC交PN于点E，直线1AC交平面MNP于点F，证明：M，E，F三点共线.22（本小题满分 12 分）如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地AOB（圆心角为3）和COD（圆心角为2），BD为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域OEFG，一块为平行四边形区域MNPQ，已知圆的直径2PF 百米，且点P在劣弧AB上（不含端点），点Q在OA上点G在OC上点M和N在OB上点E在OD上，记BOP.(1)经设计，当12OEMN达到最大值时，取得最佳观赏效果，求取何值时，12OEMN最大，最大值是多少？(2)设矩形OEFG和平行四边形MNPQ面积和为S，求S的最大值及此时cos2的值.参考答案：参考答案：1A【解题思路】由充分、必要条件定义即可得出答案.【详解】因为MN,所以“aM”“aN”，但“aN”推不出“aM”，所以“aM”是“aN”的充分不必要条件.故选：A.2D【解题思路】先由平方关系求得3cos5，再由余弦差角公式求解即可.【详解】因为角为第二象限角，所以243cos155 ，则coscoscossinsin666334143 3525210.故选：D.3D【解题思路】化简复数，再由“等部复数”的定义即可求出答案.【详解】化简复数2i i=2izaa，因为“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，所以2a，所以2a .故选：D.4A【解题思路】由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解【详解】由正弦定理可得22sin2sin2sinsinsinsinsinsinsincCCCcbCBCBCAC2sin2sinsinsin 2sinsin2coscos2 sinCCCCCCCCCC222sinsin2sincos2cos1 sinCCCCCC22222214cos2cos12cos2cos1CCCC又因为三角形是锐角三角形，所以020202ABC，即0220202CACC，也即046302CCC,所以64C，所以23cos22C，213cos24C，2312cos2C，221132cos C，所以2ccb的取值范围是2,13，5A【解题思路】根据线面垂直的性质可得PABC，再根据线面垂直的判定定理可得BC 平面 PAB，则有BCPB，再利用等体积法即可得出答案.【详解】解：因为PA平面 ABC，BC 平面 ABC，所以PABC，又因为90ABC，即ABBC，因为PAABA，所以BC 平面 PAB，又PB 平面 PAB，所以BCPB，因为3PAAB，4BC，所以223 2PBPAAB，PBC的面积16 22PBCSPB BC，设点 A 到平面 PBC 的距离为 h，则三棱锥PABC的体积1133PBCABCVShSPA，即1116 23 4 3332h ，解得3 22h，即点 A 到平面 PBC 的距离为3 22.6C【解题思路】首先将数据从小到大排列，再根据平均数、众数、中位数、方差的定义计算可得；【详解】解：这组数据从小到大排列为5、5、6、7、7、7、8、8、8、9，故平均数为15 267 38 39710 ，众数为7和8，中位数为7，故 A 错误；方差为2222157267873971.610，因为10 60%6，所以第 60 百分位数为787.52，故 B 错误；如果再增加一位评委给该班也打7分，则平均分不变也为7，此时的方差为222211657267873971.61111，故 C 正确；对于 D：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故 D 错误；故选：C7A【解题思路】根据给定条件，求出点 E 到平面ABCD的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答.【详解】取 AD，BC 中点 N，M，正方形ABCD中心 O，EF 中点2O，连接2,EN MN FM OO，如图，依题意，2OO 平面ABCD，/EFABMN，点 O 是 MN 的中点，4MNAB，等腰AED中，ADEN，222 2ENAEAN，同理2 2FM，因此，等腰梯形EFMN的高222()72MNEFOOEN，由几何体的结构特征知，刍甍的外接球球心1O在直线2OO上，连11,O E O A OA，正方形ABCD外接圆半径2 2OA，则有222112221221O AOAOOO EO EO O，而1121,12O AO E O EEF，当点1O在线段2O O的延长线（含点 O）时，视1OO为非负数，若点1O在线段2O O（不含点 O）上，视1OO为负数，即有212117O OO OOOOO，即22211(2 2)1(7)OOOO，解得10OO，因此刍甍的外接球球心为 O，半径为2 2OA，所以刍甍的外接球的体积为3464 2(2 2)33.关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.8C【解题思路】由题意可得点,M N的横坐标相等，点N在线段AB上，然后可得MNMNyy【详解】由题意可得点,M N的横坐标相等，点N在线段AB上，所以MNMNyy对于 A，因为2yx，所以1,2,2,1AB，直线AB的方程为3yx 所以,3N xx，因为2,Mxx，所以223332 2MNMNyyxxxx ，当且仅当2x 时等号成立所以32 2k，所以该函数的线性近似阈值为32 2；对于 B，因为2yx=，所以1,1,2,4AB，直线AB的方程为32yx所以,32N xx，因为2,M x x，所以21324MNMNyyxx，当且仅当32x 时等号成立所以14k，所以该函数的线性近似阈值为14；对于 C，由函数1yxx，得(1,0)A，3(2,)2B，直线AB方程为3(1)2yx13313122222xMNxxxx，线性近似阀值为322对于 D，由函数sin3yx可得3(1,)2A，3(2,)2B，AB方程为32y，由三角函数图象与性质可知312MN ，线性近似阀值为312，因为13332 212422，所以线性近似阀值最小的是1yxx故选：C9 BD【解题思路】由反例可知 AC 错误；由1 323z zz z可得3120zzz，得到12zz，知 B 正确；设1izab，3izcd，根据共轭复数定义和复数乘法及模长运算可求得1 323z zz z，知 D 正确.【详解】对于 A，若11 iz ，21 iz ，则12zz，此时12zz，A 错误；对于 B，1 323z zz z，3120zzz，又30z，120zz，即12zz，B 正确；对于 C，若13zz，则21 3333z zz zz，若13,z z为虚数，则13zz，C 错误；对于 D，设1izab，3izcd，则21izzab，1 3iiiz zabcdacbdadbc，23iiiz zabcdacbdadbc，22222222221 3z zacbdadbca cb da db c，222222222223z zacbdadbca cb da db c，1 323z zz z，D 正确.故选：BD.10AC【解题思路】先利用函数图象,T A，从而求得函数解析式，然后利用零点，对称性及正弦三角形最值求解得结果.【详解】依题意，4T253124，得T，故 A 正确；22，2A，则 2sin 2f xx，当23x时，fx取最小值，则23232，得6，即 2sin 26fxx，当12x时，2sin 22sin0121263f，故 B 错误；当x3，6，则2,62 2x ，则 22fx，故 C 正确；111212x，则20,26x，设直线1y 与 11(1212yfxx）图像所有交点的横坐标为12,x x，则122266xx，解得123xx，故 D 错误；故选：AC.11BC【解题思路】根据基本不等式可求 A,B,D,根据判别式判断方程有根可判断 C.【详解】由,0,262 2x yxyxyxy，即3 2200202xyxyxyxy，当且仅当2,1xy时等号.故 A 错，222112,0,262622228xyxyx yxyxyxy，进而可得：21224024xyxyxy，当且仅当2,1xy取等号，故 B 正确，令xym，则0m，所以ymx，故260 xyxy可化为2()()60 xmxx mx，整理得2(1)620 xm xm，由0，得2(1)4(62)0mm，即2623 0mm，解得4 23m或4 23m（舍去），C 正确，D，22(2)(1)2(2)(1)2(22)16xyxyxyxy，当且仅当2 22,2 21xy时等号成立，D 错误故选：BC12BCD【解题思路】对于 A 选项：根据线面垂直的判断定理，由11ADCD，当11ADD B时，1ADB平面1CD，则1ADBC；对于 B 选项：取AC的中点O，连接1,OE OD，根据11C BD EDBCEVV，则平面1ACD 平面ABC时，三棱锥1CBD E体积的最大值，从而可判断；对于 C，根据1OEODOAOC，可得1,A C E D都在同一球面上，且球的半径为OC，从而可判断；对于 D 选项：由1AD可以看成以AC为轴线，以45为平面角的圆锥的母线，即可求得1AD与EP所成角的取值范围.【详解】解：对于 A 选项：由ADCD，则11ADCD，当11ADD B时，且1D BAB，此时满足1AD 平面1BCD，因此1ADBC，故 A 错误；对于 B，取AC的中点O，连接1,OE OD，则122OEODOAOC，且1ODAC，因为11C BD EDBCEVV，当平面1ACD 平面ABC时，三棱锥1CBD E体积的最大值，在Rt BCEV中，,16CBECE，则3BE，此时1111261332212C BD EDBCEVV，所以三棱锥1CBD E体积的最大值为612，故 B 正确；对于 C，因为122OEODOAOC，所以1,A C E D都在同一球面上，且球的半径为22，所以该球的表面积是22422，故 C 正确；对于 D，作AMEP，因为P为BC的中点，所有1EP，EPBEBPAMABBM，所以333AMBM，所以30BAMABC，所以15MAC，1AD可以看成以AC为轴线，以45为平面角的圆锥的母线，所以AC与1AD夹角为45，AC与AM夹角为15，又1D不在平面ABC内，604515，304515，所以1AD与DM所成角的取值范围(,)6 3，所以D正确，故选：BCD.本题考查线面平行与垂直的判定定理及异面直线所成的角，多面体的外接球问题，棱锥的体积问题，考查了折叠问题，考查转化思想，计算能力与空间想象能力，有一定的难度.132 3【解题思路】利用垂直关系的向量表示，结合数量积的定义及运算律求解作答.【详解】非零向量a，b的夹角为3，3a，则由aab得：()0aab，即20aa b，于是得233|cos|32aa ba bb，所以|2 3b.故答案为：2 3148 2【解题思路】分别取11,BC BC的中点1O和 F，连接1O F，取1O F的中点为 O，由题意可得 O 为外接球的球心，根据三棱锥的几何性质及外接球表面积，可求得BC的长，设 AB=x，AC=y，则2228xyBC，求得体积V 的表达式，结合基本不等式，即可得答案.【详解】分别取11,BC BC的中点1O和 F，连接1O F，取1O F的中点为 O，因为ABAC，所以1O为ABC外接圆的圆心，同理 F 为111A BC外接圆的圆心，因为直三棱柱111ABCABC，则 O 为直三棱柱111ABCABC外接球的球心，连接1,AO AO，设2BCa，则14AAa，外接球半径为 R，在1Rt AOO中，112AOBCa，12OOa，AOR，所以2222115RAOOOa又三棱柱111ABCABC外接球的表面积是40，所以2242040Ra，解得210R，2a 设 AB=x，AC=y，则222248xyBCa所以该几何体的体积221114 22 22()8 222VAC AB AAxyxyxy当且仅当2xy时等号成立，所以该几何体体积最大值为8 2.1512 105#12105【解题思路】设bAC，cAB，BDm，则2CDm，3BCm，再在ABD和ACD中分别列出余弦定理，根据coscoscosADBADCADC 联立可得2222612bcm，再结合1cos4BAC，得到222192mcbbc，进而消去m，结合基本不等式 求解最大值即可【详解】设bAC，cAB，BDm，则2CDm，3BCm在ABD中，222224cos24ADBDABmcADBAD BDm；在ACD中，2222244cos28ADCDACmbADCAD CDm因为ADBADC，所以coscoscosADBADCADC，所以222244448mcmbmm，整理2222612bcm因为tan15BAC，所以1cos4BAC在ABC中，2222cosBCABACAB ACBAC，即222192mcbbc，结合可得2222336423222bcbcbcbcbcbc 22232522228bcbcbc，所以236 825bc，即12 1025bc，当且仅当2bc时，等号成立16698 6729【解题思路】由两个同底且棱长都为 1 的正三棱锥构成的几何体求解.【详解】解：如图所示：易知该几何体是侧棱长为 1，以边长为 1 的等边三角形ABD为底的两个正三棱锥组成，O 为ABD的中心，即内切球的球心，M 为 FB 的中点，连接 HM，作ONHM，则 ON 为内切球的半径，因为22336,623OMHMHOHMOM，所以1122HOMSOHOMHMON，所以内切球的半径为69OHOMRONHM，内切球的体积为348 63729VR，故答案为：69，8 672917(1)因为2222acbac，所以22222cos222acbacBacac.因为0B，所以4B.由余弦定理知2222cos.bcacaB所以2225(2 2)22 2cos4cc.得2430cc.所以1c，或3c.由正弦定理知sinsincbCB.所以，当1c 时，10sin10C.当3c 时，3 10sin10C=.(2)由（1）得4B，ABC存在且唯一确定，则2sin2 222baB，或2 2ba，综上，当2b 或2 2b 时，ABC存在且唯一确定.18(1)由频率分布直方图，可得0.050.120.20.081ab，则0.55ab因为居民收入数据的第 60 百分位数为 8.1，所以0.050.128.1 7.50.6ab，则0.60.43ab将与联立，解得0.250.3ab所以平均值为0.05 50.12 60.25 70.3 80.2 90.08 107.22 (2)根据题意，设事件 A，B，C 分别为甲、乙、丙在7.5，8.5）内，则 0.3P AP BP C“抽取 3 人中有 2 人在7.5，8.5）内”ABCABCABC，且ABC与ABC与ABC互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得10.3 0.31 0.30.31 0.30.31 0.30.3 0.3PP ABCABCABC0.189“抽取 3 人中有 3 人在7.5，8.5）内”ABC，由事件独立性定义，得 20.3 0.3 0.30.027PP ABCP A P B P C所以抽取的 3 人中至少有两人去年可支配收入在7.5，8.5）内的概率：120.1890.0270.216PP19(1)（1）过 E 作/EFAD交 PA 于点 F，连接 BF，因为/BCAD，所以/EFBC又3PDPE，所以3ADEF又3ADBC，所以EFBC所以四边形 BCEF 为平行四边形，所以/CEBF，又 CE平面 PAB，BF平面 PAB，所以/CE平面 PAB(2)在梯形 ABCD 中，/BCAD，ABAD，33ADBC，2AB，所以22221,3,6BCACABBCCDABADBC所以222ACCDAD，即ACCD因为 PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以PACD又PAACA，所以 CD平面 PAC，又 CD平面 PCD，所以平面 PAC平面 PCD20(1)5sin 22cossin644fxxxxsin2 coscos2 sin2cossin6644xxxx3131sin2cos2sin 2sin2cos2cos222222xxxxxx31sin2cos2sin 2+226xxx，令222,Z262kxkk，所以,Z36kxkk，所以函数 fx的单调递增区间为：,Z36kkk(2)函数 yfxk在区间11,6 12上有且仅有两个零点，即曲线sin 26yx与直线yk在区间11,6 12上有且仅有两个交点，由11,2,26 1266xx ，当11,6 12x 时，sin 2+1,16fxx，设26tx，则sin,yt,26t，当11,0,12k 时，曲线sinyt与直线yk区间,26t 上有且仅有两个交点.21(1)解：1111111 1326CMNPMC NPVV 记1C到平面MNP的距离为d，在MNP中，2MNNPMP，13322222MNPS，1MNP1332332CMNPVdS，(2)证明：11AACC，1AA与1CC确定平面11AACC，M，E平面11AACC，且M，E平面MNP，平面11AAC C 平面PMNME，1AC 平面MPNF，F 平面PMN，F 平面11AACC，点F在直线ME上，则M，E，F三点共线.22(1)在矩形 OEFG 中，EOFBOP，1OF，所以cosOE.因为 MNPQ，3AOB，所以23OQP，在OQP 中，1OP，3QOP，由正弦定理可知：sinsinOPPQOQPQOP，即13sin()32PQ，得2 3sin()33PQ.所以112 3133cossin()cossinsin()22332633OEMN因为(0,)3，所以2(,)333，当sin()13，6时，12OEMN最大值为33百米.(2)设平行四边形 MNPQ 边 MN 上的高为 h，所以有sinh，所以平行四边形 MNPQ 的面积为2 3sin()sin33，在矩形 OEFG 中，sinEF，所以矩形 OEFG 的面积为sincos，所以2 3sin()sinsincos33S232sincossin333sin2cos26639633393(sin2cos2)sin 266663939.其中3sin39，6cos39，(0,)3，因为(0,)3，所以20,，当22，42时，max3936S百米2，此时13cos2cos()sin213.