河北省石家庄市2022届高三二模数学试题含答案.pdf

试卷第 1页，共 4页河北省石家庄市河北省石家庄市 20222022 届高三二模数学试题届高三二模数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题1已知集合 3,2,1,0,1A ，301xBxZx，则AB（）A 3,1)B 3,1C 3,2,1,0,1D 2,1,02已知复数 z 满足(1 i)23iz，则在复平面内 z 对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知7sincos5则 sin2等于（）A-1225B1225C-2425D24254等差数列 na的前 n 项和记为nS，若220216aa，则2022S（）A3033B4044C6066D80885图形是信息传播互通的重要的视觉语言画法几何是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图”来表示三维空间中立体图形.其体来说.做一个几何的“三视图”，需要观测者分别从几何体正面左面上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图.下图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A12B24C48D966在平行四边形ABCD中，,M N分别是AD，CD的中点，若,BMa BNb，则=BD 试卷第 2页，共 4页（）A3243abB2233ab+rrC3344abD2334ab7已知，点 P 是抛物线2:4C yx上的动点，过点 P 向 y 轴作垂线，垂足记为点 N，点(3,4)M，则|PMPN的最小值是（）A2 51B51C51D2 518已知44354,log 5,log 43xyz，则 xyz 的大小关系为（）AyxzBxyzCzxyDxzy二、多选题二、多选题9 设 a，b 为两条不同的直线，,为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）A若,ab b，则aB若,ab ab，则aC若,ab ab，则D若,ab，则ab10设正实数 m，n 满足2mn，则下列说法正确的是（）A11mn上的最小值为 2Bmn的最大值为 1Cmn的最大值为 4D22mn的最小值为5411已知圆221:(1)(3)11Cxy与圆2222:2230Cxyxmym，则下列说法正确的是（）A若圆2C与 x 轴相切，则2m B若3m ，则圆1C与圆2C相离C若圆1C与圆2C有公共弦，则公共弦所在的直线方程为24(62)20 xm ymD直线210kxyk 与圆1C始终有两个交点12已知函数()sin(sin)cos(cos)f xxx，则下列结论正确的是（）A函数()f x的一个周期为2B函数()f x在0,2上单调递增C函数()f x的最大值为2D函数()f x图象关于直线2x对称三、填空题三、填空题13某中学高一高二高三年级的学生人数分别为 12001000800，为迎接春季运动会试卷第 3页，共 4页的到来，根据要求，按照年级人数进行分层抽样，抽选出 30 名志愿者，则高一年级应抽选的人数为_.14在4(3)()yxy的展开式中23x y的系数为_.15已知椭圆1C和双曲线2C有公共的焦点1F2F，曲线1C和2C在第一象限相交于点 P.且1260FPF，若椭圆1C的离心率的取值范围是32,32，则双曲线2C的离心率的取值范围是_.四、双空题四、双空题16已知函数3log,03()sin,3156xxf xxx，若存在实数1234,x x x x.满足1234xxxx，且 1234f xf xf xf x，则12x x _，3433xx的取值范围是_.五、解答题五、解答题17在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知2b，sinsin2BCcaC(1)求角 A 的大小；(2)请在21sin7B 7ac两个条件任选一个，求ABC的面积.（如果分别选择多个条件进行解答.按第一个解答过程计分）18设数列 na的前 n 项和为nS.已知11a，122NnnaSn(1)求数列 na的通项公式；(2)数列 nb满足32log1nnnbaanN，求数列 nb的前 n 项和nT.19北京冬奥会已于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日顺利举行，这是中国继北京奥运会.南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事，为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识.提高群众奥运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户.某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥法治同行”主题法治宣传教育活动.该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识大闯关”答题环节共计 30 个题目，每个题目 2 分，满分 60 分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取 1000 名市民，将他们的作答成绩分成 6 组：试卷第 4页，共 4页0,10),10,20),20,30),30,40),40,50),50,60.并绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)请估计被抽取的 1000 名市民作答成货的平均数和中位数；(2)视频率为概率.现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取 20 名，调查其掌握各类冬奥法律知识的情况.记 k 名市民的成绩在40,60的概率为()P Xk，0,1,2k，20.请估计这 20 名市民的作答成绩在40,60的人数为多少时()P Xk最大？并说明理由.20已知点(2,0)E，2,02F，点 A 满足|2|AEAF，点 A 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)若直线:l ykxm与双曲线：22149xy交于 M，N 两点，且2MON（O 为坐标原点），求点 A 到直线距离的取值范围.21如图，平行六面体1111ABCDABC D的底面ABCD是矩形，P 为棱11AB上一点.且PAPB，F 为CD的中点.(1)证明：ABPF；(2)若2ABADPD.当直线PB与平面PCD所成的角为45，且二面角PCDA的平面角为锐角时.求三棱锥BAPD的体积.22已知函数()esinxf xrx rN，其中 e 为自然对数的底数.(1)若1r，求函数()yf x的单调区间；(2)证明：对于任意的正实数 M，总存在大于 M 的实数 a，b，使得当,xa b时，|()|1f x.答案第 1页，共 17页参考答案：参考答案：1D【解析】【分析】根据解分式不等式的方法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为30311xxx ，所以2,1,0B ，而 3,2,1,0,1A ，所以AB 2,1,0，故选：D2A【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数z，再根据复数的几何意义即可得出断案.【详解】解：因为复数 z 满足(1 i)23iz，所以23i 1 i23i5i51i1 i1 i 1 i222z，所以在复平面内 z 对应的点位于第一象限.故选：A.3D【解析】【分析】将已知条件等式两边平方，结合同角间的三角函数关系和二倍角公式，即可求解.【详解】7sincos5两边平方得，2249sin2sincoscos1sin225，所以24sin225.故选：D.4C答案第 2页，共 17页【解析】【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解即可.【详解】由等差数列 na知，22021120226aaaa，所以1202222022022(1011 66066)2Saa，故选：C5C【解析】【分析】由三视图可得几何体的直观图，再由三棱锥所在正方体的体对角线得外接球的直径即可得解.【详解】由三视图知几何体为一侧棱垂直底面，底面为直角三角的三棱锥，且由网格纸知同一顶点互相垂直的三条棱的长为 4，如图，所以三棱锥的外接球即为三棱锥所在的棱长为 4 的正方体的外接球，设外接球的半径为 R，则2222(2)44448R,所以外接球的表面积2(2)48SR，故选：C6B【解析】答案第 3页，共 17页【分析】设,ABm ADn ，BDxaybuuu rrr，由向量的运算法则得到11()()22BDxy nxy m，根据平面向量的基本定理，列出方程求得方程组，即可求解.【详解】如图所示，设,ABm ADn ，且BDxaybuuu rrr，则1111()()()()2222BDxaybxnmy nmxy nxy m，又因为BDnm，所以112112xyxy，解得22,33xy，所以2233BDab.故选：B.7A【解析】【分析】根据抛物线的定义所求可转化为|1PFPM，再由三点共线可求最小值.【详解】由抛物线2:4C yx知，焦点(1,0)F，准线方程为1x 过点 P 作抛物线准线的垂线，垂足为 Q，如图，答案第 4页，共 17页由抛物线定义知|1|1PNPMPQPMPFPM，当 F,P,M 三点共线时,|PMPN最小为221|1|(3 1)(40)2 51MF，故选：A8D【解析】【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出zy，再由4334log 33，可比较出43与z的大小即可得出,x z的大小关系.【详解】43log 51,log 41yz，2222444444443log 5log 5log 3log 15log 5 log 3log15log 41log 422yz，即zy，4334log 33，而344333381464，43334log 3log 43，又514444333，xz，综上，xzy，故选：D答案第 5页，共 17页9ABC【解析】【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可.【详解】A：当a时，,ab b可以成立，本选项结论不正确；B：当ac时，若,ab ab，此时,ab成立，因此本选项结论不正确；C：当时，若b，a，此时,ab b成立，因此本选项结论不正确；D：因为b，所以，,bd，所以bd，而a，d，所以ad，而bd，所以abrr，因此ab，所以本选项结论正确，故选：ABC10AB【解析】【分析】根据基本不等式及“1”的技巧判断 AB，根据重要不等式22222abab判断 CD 即可.【详解】0,0,2mnmn，11111112222222nmn mmnmnmnmnm n，当且仅当nmmn，即1mn时等号成立，故 A 正确；22mnmn，1mn，当且仅当1mn时，等号成立，故 B 正确；22224mnmn，22mnmn，当且仅当1mn时等号成立，最大值为 2，故 C 错误；22222mnmn，当且仅当1mn时等号成立，故 D 错误故选：AB11BD答案第 6页，共 17页【解析】【分析】根据圆与y轴相切可求出 m 判断 A，由圆心距与半径和的关系可判断 B，根据两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程判断 C，根据直线系过定点及定点与圆的关系可判断 D.【详解】因为222212:(1)(3)11,:(1)()4CxyCxym,所以若圆2C与 x 轴相切，则有|2m，故 A 错误；当3m 时，2212|(1 1)(33)2 10211C C，两圆相离，故 B 正确；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程24(62)20 xm ym，故 C 错误；直线210kxyk 过定点(2,1)，而22(2 1)(1 3)511，故点(2,1)在圆221:(1)(3)11Cxy内部，所以直线210kxyk 与圆1C始终有两个交点，故 D 正确.故选：BD12ABD【解析】【分析】根据函数的周期性定义判断 A，根据复合函数的单调性及三角函数的单调性判断 B，取特殊值法可判断 C，由(),()f xf x的关系可判断 D.【详解】由sin(sin)co)(2)sin sin(2os(co)cos c s)s2)(fxxxxf xx知，A 正确；由sinyx在0,2上单调递增及复合函数的单调性知，sin(sin)yx在0,2上单调递增，由cosyx在0,2上单调递减，可知cos(cos)yx在0,2上单调递增，所以函数()f x在0,2上单调递增，故 B 正确；当2x时，2()sin1cos01sin11sin1+2242f ，故函数()f x的最大值取不是2，故 C 错误；答案第 7页，共 17页sin(sin)cos(cos)()()sin sin()cos cos)xxff xxxx()f x关于直线2x对称，故 D 正确.故答案为：ABD1312【解析】【分析】再根据分层抽样的特征计算即可得出答案.【详解】解：按照年级人数进行分层抽样，抽选出 30 名志愿者，则高一年级应抽选的人数为301200121200 1000800人.故答案为：12.146【解析】【分析】把4()xy按照二项式定理展开，可得4(3)()yxy的展开式中23x y的系数【详解】01234443223444444(3)()(3)y xyyCxCx yCx yCxyC yQ，展开式中含23x y的项为22223234426yyCx yC xx y故它的展开式中23x y的系数为 6，故答案为：6156,32【解析】【分析】设12|,|PFs PFt，由椭圆、双曲线的定义可得1saa，1taa，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.【详解】答案第 8页，共 17页设椭圆22122:1(0)xyCabab，双曲线：2C2222111xyab，椭圆与双曲线的半焦距为 c，椭圆离心率cea，双曲线离心率11cea，12|,|PFs PFt，如图，由椭圆定义可得：2sta，由双曲线定义可得：12sta，联立可得1saa，1taa，由余弦定理可得：1222222211111242cos()()2()()cos603cststaaaaaPaaFaFaa 即221134ee，解得212314ee，因为32,32e，所以21132e，2123e，可得21332e，故1632e，故答案为：6,32161(0,27)【解析】【分析】作出函数()f x的图象，结合图象可知1234,x x x x之间的关系，利用此关系直接求出12x x，再将3433xx转化为关于3x的二次函数求范围即可.【详解】答案第 9页，共 17页作出函数3log,03()sin,3156xxf xxx的图象，如图，因为 1234f xf xf xf x，1234xxxx所以由图可知，3132loglogxx，即121x x，3492xx，且339x，23434343333333()9(18)451845xxx xxxxxxx，2331845xyx在3,9上单调递增，027y，即3433xx的取值范围是(0,27).故答案为：1；(0,27)17(1)3;(2)选3 32，选15 38.【解析】【分析】（1）根据正弦定理转化为角的三角函数，利用二倍角公式、诱导公式化简即可得解；（2）选 由正弦定理求出 a,再由余弦定理求出 c,利用三角形面积公式求解；选 直接由余弦定理求出 c，再由三角形面积公式求解.(1)由sinsin2BCcaC可得：sinsinsinsin2BCCAC，答案第 10页，共 17页即sinsinsinsin2ACAC，即isnincos2scossin222AACAC，因为0,0CA，所以0s2isn0,0,co22CAA，所以1sin22A，即26A,3A.(2)选：21sin7B，由正弦定理可得sinsinabAB，即232127a，解得7a，由余弦定理可得2222cosabcbcA，即2742cc，解得3c(负值舍)，所以1133 3sin2 32222ABCSbcA .选：7ac，由余弦定理可得2222cosabcbcA，即22(7)42ccc，解得154c，所以1115315 3sin222428ABCSbcA.18(1)132nna(2)32482nnTn【解析】【分析】（1）根据na与nS得关系，计算即可得出答案；（2）求出数列 nb的通项公式，再利用错位相减法即可得出答案.(1)解：当2n时，由122nnaS，得122nnaS，两式相减得122nnnaaa，答案第 11页，共 17页所以132nnaa，11a，122322aa，所以2132aa，所以数列 na是以 1 为首项，32为公比得等比数列，是以132nna；(2)解：1323log122nnnnbaan，则021333310122222nnTn ，23133333310132222222nnnTnn ，两式相减得21133331222222nnnTn 3132223212nnn ，所以32482nnTn.19(1)34 分,35 分；(2)估计这 20 位市民的作答成绩在40,60的人数为 7 时概率最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据平均数和中位数的概念，利用频率分布直方图求解即可；（2）由题意知 X B(20,0.35)，设()P Xk最大，根据二项分布的概率公式建立不等式组求解即可.(1)由频率分布直方图可知，抽取的 1000 名市民作答成绩的平均数答案第 12页，共 17页5 0.05 15 0.125 0.235 0.345 0.2555 0.134x （分），设 1000 名市民作答成绩的中位数为 x，则0.050.10.20.03(30)0.5x，35x，所以这 1000 名市民作答成绩的平均数为 34 分，中位数为 35 分.(2)估计这 20 位市民的作答成绩在40,60的人数为 7 时概率最大，由已知得 X B(20,0.35)，2020()(0.35)(1 0.35),0,1,20kkkXkCkP，令()(1),1,2,19()(1)P XkP xkkP XkP xk,即202111202020191120200.3510.350.3510.350.3510.350.3510.35kkkkkkkkkkkkCCCC,即7(21)1313(1)7(20)kkkk，解得6.357.35k，由kN，7k，所以这 20 位市民的作答成绩在40,60的人数为 7 时()P Xk最大.20(1)221xy；(2)6 56 51,155.【解析】【分析】（1）根据已知等式，结合平面两点距离公式进行求解即可；（2）将直线方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式，结合圆的几何性质进行求解即可.(1)设(,)A x y，因为|2|AEAF，所以22222(2)(0)2()(0)2xyxy，答案第 13页，共 17页平方化简，得221xy；(2)直线:l ykxm与双曲线：22149xy的方程联立，得22222(49)84360149ykxmkxkmxmxy，设1122(,),(,)M x yN xy，所以有22222249094(8)4(49)(436)0kmkkmkm 且32k ，所以122849kmxxk，212243649mx xk，因为2MON，所以121212120()()0OMONx xy yx xkxm kxm，化简，得221212(1)()0kx xkm xxm，把122849kmxxk，212243649mx xk代入，得222224368(1)()04949mkmkkmmkk，化简，得2236(1)5km，因为2294mk且32k ，所以有2236(1)945kk且32k ，解得32k ，圆221xy的圆心为(0,0)，半径为1，圆心(0,0)到直线:l ykxm的距离为222616 551511kmdkk，所以点 A 到直线距离的最大值为6 515，最小值为6 515，所以点 A 到直线距离的取值范围为6 56 51,155，【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合直角的性质得到等式2236(1)5km是解题的关键.21(1)证明见解析；答案第 14页，共 17页(2)33.【解析】【分析】(1)取AB的中点E，连接,PE EF，证明 AB平面 PEF 即可；(2)以F为坐标原点，以过F与平面ABCD垂直的直线向上的方向为为z轴正方向，以FC 的方向为x轴正方向，EF 的方向为 y 轴正方向建立空间直角坐标系，设设0,Pa h，h 为 P到平面 ABCD 的距离，求出平面 PCD 的法向量，根据直线PB与平面PCD所成的角为45求出a和h一个方程，根据PD2得到a和h的另外一个方程，联立方程，结合二面角PCDA的平面角为锐角可求 a 和 h 的值，从而根据B APDP ABDVV可求体积.(1)取AB的中点E，连接,PE EF，,PAPBPEAB，四边形ABCD为矩形，BCAB，EF、为中点，EFBC，EFAB，又PEEFE，AB 平面PEF，ABPF；(2)如图，以F为坐标原点，以过F与平面ABCD垂直的直线向上的方向为为z轴正方向，以FC 的方向为x轴正方向，EF 的方向为 y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，答案第 15页，共 17页则1,2,0,1,2,0,1,0,0,1,0,0ABCD，设0,Pa h，h 为 P 到平面 ABCD 的距离，则1,2,PBah ，1,PDah ，2,0,0CD ，设平面PCD的法向量为,nx y zr，则00n PDn CD ，即020 xayhzx，令yh，则za，0,nh a，又2PD，223ah(*)，设直线PB与平面PCD所成的角为，2222sin23(2)1hPB nPB nha ，解得0a，或32a ，当 a0 时，平面 PCD 法向量为0,0nh，则平面 PCD 与平面 ABCD 垂直，此时二面角PCDA的平面角为直角，0a(舍)，32a ，代入(*)可得32h，113322.3223B APDP ABDVV 22(1)增区间为32,2,44kkkZ减区间为52,2,44kkkZ(2)证明过程见解析.【解析】答案第 16页，共 17页【分析】（1）对函数求导，利用辅助角公式合并为同名三角函数，利用单调增减区间代入公式求解即可.（2）将绝对值不等式转化为11sineexxrx，移向构造新函数，利用导数判定单调性，借助零点定理和隐零点证明新构造函数恒正，再结合三角函数的特有的周期特点寻找 M 即可.(1)()e(sincos)2e sin4xxfxxxx令22242kxk，得32,244xkk令322242kxk，得24xk,524k当32,244xkk时,()0fx,fx单调递增当24xk,524k时,()0,()fxf x单调递減综上 f x单调递增区间为32,2,44kkkZ单调递减区间为52,2,44kkkZ(2)要证|()|1f x，即证esin1xrx，即证11sin=eexxrx即证11sineexxrx在,xa b时成立即可,xa b时,1sin0e1sin0exxrxrx.令1()sinexh xrx,1()cosexh xrrx答案第 17页，共 17页当222,kkxrr时,cos0,rrx 所以1()cos0,exh xrrx所以()h x单调递增，2210,ekrkhr 2221210(0)ekrkhkr 0(2)22,kkxrr,满足00h x由单调性可知02,kxxr,满足0()0h xh x又因为当021,sin0,0,xkxxrxre1sin0 xrxe，所以1sin0e1sin0exxrxrx能够同时满足，对于任意的正实数M，总存在正整数 k，且满足2Mrk时,使得2kMr成立，所以不妨取02,2kMrakbxr则,a bM且,xa b时，1sin01sin0 xxrxerxe，故对于任意的正实数M，总存在大于M的实数,a b，使得当,xa b时,|()|1f x.