2022届衡中同卷新高考押题卷三数学含答案.pdf
2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学（三）本试卷总分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必 将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每 小 题答案后，用铅笔把答题卡上对应 题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上元效。3.考试结束后，将本试卷 和 答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集I=l,2,3,4，时，M=2,3,N=3,4，时，则MU(CrN)=A.1,2B.1,2,3 C.1,2,3,5D.2,3,4,52.复数z=a十（a-2)i在复 平面内对应的点位于第一象限，且lzl=,/f百，贝U一iB.3+i c.1十3iD.l-3i r3有一道民间源自于孙子算法的题目，筐内鸡蛋若干，兰兰数之余一，五五数之余二，若乙，已知该筐最多装200个鸡蛋，则筐内鸡蛋总数 最多有A.184B.186C.1874.已知：x2-ax十l=O 元解，q：打工）（4-a2)x 为增函数，则 是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件c.充要条件D.既不充分也不必要条件5.曲线 y=esin z 在工O处的切 线 斜率为A.OB.1C.2_ D.2 6.如图，在直角梯形 ABCD 中，A二B二90。，AD二4,AB二BC二2，点早在以）DCD 为直径的半圆上，且满足AM二mAB十n AD，则m+n的最大值为A.2B.3M c.tD.,JI百s4A 2 y2 7.已知双曲线一=1（O,bO）的左、右焦点 分别为乱，矶，M为右支上一点，a z bz MF2F1=120。，D.MF1F2的内 切圆圆心为 Q，直线 MQ交z轴于点 N,I MQ I=21 QN I则双曲线的离心率为A.+B.+c.,/3D.,/2数学试题（三）第1页共4页）8.已知一组数据：72=49,73=343,74=2 401,lg 20.301,lg 3句0.477，则下列各数与lg 7的差 的绝对值 最小的是A.0.83 B.0.84 C.0.85 D.0.86二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.将一组数据从小到大排列为：1,a2，a 11，中位数 和 平均数均为，方差为Si，从中去掉第6项，从小到大排列为：仇，b2，b10，方差为s，则下列说法中一定正确的是B.b1，仇，b10的中位数为aD.si斗A.a6=ac.b1,b2，b10的平均数为10.已知函数f(x）创中z十？），则 A.将y=sin b的图象向左平移个单位可得f(x）的图象3 B.将y=cos轧的图象向右平移一个单位可得f（川的图象一飞c-12 C在区的，）上，l程f(x）的所有解的和为子D.f(x1在区间（？，？）上 不单调11.己知o,bO,a2十b2=2，则以下不等式成立的是A.a+b2I 1、I1、二c.I a+-;-l I b+-l二三4飞O I飞aI 12.已知函数f(x）二工Onx)2 工，则A.f(x）在区可（0，十）上单调递增B.当工l_时，f（工）取最小值B.a3+b3二三21 1 D.一一二三2a o C对VxE（二，）,mO,g(x)=f(x+m)-f(x）为增函数D对Vx1,x2E忙，十），！Cx1）川】！（斗斗三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知in叫l，川乞则si内卢）14.疫情期间，某医院的7名护士要派往甲、乙两个检测点，每个检测点至少2人，则不同的分派方式共有种15.已知抛物线C:Y2二16工的焦点为F,A,B 为抛物线C上在第一象限的两点，记直线 FA与直线 FB的斜率 分别为是FA与kFB，且kFA十kFB=O，则直线 AB 恒过定点16.如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，AB=2,BBl与平面A1BC 所成的角为45。，则该三棱柱外接球的表面积为Ai一一一一一一切C1川、I K l飞、LII ,A飞1;-JcB 一卷一一题一一回m一丁433一卷一一同一一中Z黠ZEE 数学试题三）第2页（共4页）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分）已知数列（）满足 a1，a1兰LL,L,G(1）证明：（去1是等比数列；(2）求十十十的值a1a2 a2a3 anan+l 18.(12分）已知 1ABC 的内角A,B,C 的 对边分别为 a,b,c，且（b)cosC=c(cos A十cos B).(1）求C；(2）若 AB 边 上的中线CD长为4，求1ABC 面积的最大值20.(12分）如图，在圆台001中，上底面圆。1的半径为2，下底面圆。的半径为4，过001的平面截圆台得截面为ABB1A1,M是弧 AB的中点，MN 为母线，以NMB子(1）证明：AB1-1平面 A10M;(2）求二面角M NB A的正弦值y21.(12分）己知f(x)=(x2)(ex 1 ax）为R上的增函数Q济a;.I 气2）证明：若X1十x22，则JCx1）十fCx2)1.19.(12分）某班 有男、女生各25人，某次数学考试成绩 分布如下表：成绩90,100)I 100.110)I c肌120)I口川30)I口30，则I140,150 男生3 I 4 I 5 I 7 I 3 I 3 I 2 I 6 I 6 I 7 I 3 I 1(1）若不低于130分为优秀，则从全班同学中任意抽取3人，记X为成绩优秀的同学人弈，求X的分布列；(2）补充22列联表，并根据小概率值0.25 的独立性检验，能否认为数些成绩优秀与性别有关系？是否优秀性别合计数学成绩优秀数学成绩不优秀男生飞、女生唱合计n(ad bc)2 附：2=/I y、I川l、门l川，其中a十b十C十d.0.50 0.25 0.10 0.40 0.15 工0.455 2.706 0.708 1.323 2.072 数学试题三）第3页（共4页）A1 4 22.(12分）已知椭圆C：乓l(abO）的左、右焦点 分别为F1Cl,O),F2Cl,O），右顶点为oA,M,N是椭圆上关于原点对称且异于顶点的两点，记直线 MA 与直线 NA 的斜率分别为仙，是贴，且kMA kNA=f.(1）求C的方程；(2）若直线t交椭圆C于P,Q两点，记直线PA与直线AQ的斜率分别为kPA,kAQ且kPA十kAQ=-1，证明：直线1恒过定点一卷一一题一一回m一丁433一卷一一同一一中Z黠ZEE 数学试题（三）第4页共4页）衡中同卷押题卷数学噩噩噩嚣厦酣而量数学（三）一、选挥题1.B E解析】CrN=l,2，所以 MU C CrN)=l,2,3.2.D E解析E由lzl=vl石，解得a2+(a2)2=10，得a=-1或a=3,a=-I不合题意，所以a=3,z=3+川z3十ii，哉？一：l-3i.3.C 解析E三三数之余一的数为，1,4,7,10，其中五五数之余二的数为，7,22,37，lSn-8200，得”运13(nN篝），当n=l3时，1513-8=187，鸡蛋总数最多有187.4.C 解析】乡，a2-40，解得2a0,解得2a2 400，得4lg 72+lg 3+3lg 2=3.38，即lg 70.845，由72=4950，得2lg 72-lg 2用1.699，即lg 7sf，故D错误10.BCD E解析】对于A,sin 2(x+f）卜叫2x+生i手f(x），故A错误s对于B,cosl 2j x王J l=I I 12 I Icos 2x-f)叫（2x-f)+f 叫2x+f)=f(x），故B正确z对于C,y与y=si中x+？）的图象在区间（川上有两个交点，且关于直线x=m对称，令2x+f=k7C+f，托z，得x宁主，hz，因为主2x王生，当k=l时，m=12 3 3 3 参考答案及解析数学IFAI IFAI IAA,I IPAI ，所以P,Q重合于IMBI IFBI IBB,I IPBI 点（4,0），即AB恒过定点（4,0).霄1T1!71r叹，T牛二，故 工，工2牛二，故C正确；对于D，斗二二，12 6 3 12 3 MX 故f(x）在区间王，生上不单调，故D正确I 3 3 I 11.BCD 解析】对于A,Ca+b)22(a2+b2)=4，则a+b2，故A错误；对于B,(a+b)(a3+b)-(a2+b2)2=ab(a b)2二三0，所以（a+b)(a3+b）（a2+25 16.【解析】设点B，到平面A1BC的距离为h,BB,=b2)2=4，又由A 知 a+b,s:;2，所以a+b、泣，c:c-a+b 故B正确；对于叫a士）（b）=ab丰应4配正确；对于D，护庄Jz Jz m，则一sin 45。丁，得h丁m，如图，取BC中点m,:,:,为D,B1C1中点 为E，连接DE,A,D,A,E，则BC_l_平面 A,DE，作EH _l_A,D于H，则EHi 平面2，故D正确12.ACD E解析】对于A,f（工）(In x)2+2ln x+l=Cln x+D2二三0，则 f(x）在区间（o,+oo）上单调递增，故A正确；对于B，由A 知 f(x）无最小值，故B错误；对于C,g(x)=J(x+m)-f(x)=ln(x+m)+A,BC，故EH=h子m，在R叫DE中，DE=m,A.1E=Jf,A1D 霄，则3有事12 Cln x+1)2，因为x土，mO，所以ln(x+e,/3m，解得 m.言，故外接球半径R满足：R=m)+lln x+lO,in(x+m)+l2Cln x+l 沪，但）（子）言，故S球4字号所以g(x)o，故g(x）为增函数，故C正确；对于D,c,不妨设工，x,EB C5:U:g(x）升x斗？f(x）是增函数，由工，町，得 x,工1芦2町，即咛二工1，所 以 g（斗斗 g Cx,),ls!P 1（斗二十丐二）-f（号主）f(x,+f(x,)+f（工2)且寸确、川正ZD（故fJ 一川丁叶12王：町一题；d叫自229“结圈三1 2 an 卢12 2 17.(1）证明二工L一一?一一一一一一2,l _!_l1 an an an 又去一1=1，所以（去一1是以1为首项，2为公比的等比数列B 四、解答题(3 分）13.工E解析】（sin cos/3)2+(cos sin f3)2=1+18(25+r，即川川歹，则 s（13 14.112【解析】按派往甲检测点的人数分类，则分派方(4分）式共有 ci+c+cJ+c=112c种）15.(4,0）【解析】如图，F(4,0），准线 l:x=4，过点(2）解：由(1）得工1=1 2n 1=2n 1,an 则 a.一2n I+1A,B分别作直线l 的垂线，垂足分别为儿，乱，过点B 作BM/AF交工轴于点M，则kBM=kAF，又kFA+kFB=O，得IBFI=IBMI，设直线AB交l于P，则一一一（21+1)(2”1)=22 3 2”一Lanan+l(6分）IAA,I IPA I IQA I 一一一一一一，设直线AB交 z轴于Q，则一一一IBB1 I IPB I IQB I 衡中同卷押题卷1 1 所以一一一一一一一一（21+2l a，2a3 a.a.+1 沪）3（们扑2)+n.2计3.数学所以根据小概率值0.25的独立性检验，没有充分的证据推断出Ho不成立，因此，可以认为数学成绩优秀与性别没有关系(12分）20.(1）证明：设h，如图，作NHl_OM于H，则H11 i 2+n一(10分）；为OM的中点，且NH=h,18.解：(1）由（a+b)cos C=c(cos A+cos 凹，i 易得：MN=./h可4,NB=./h可药，MB=4布，得（sinA+sin B)cos C=sin C(cos A+cos B),则sin Acos C-sin Ccos A=sin Ccos B-sin Bcos C,f导sin(AC)=sin(C B),因为AC（，刑，CB（，刑，所以A-C=C-B或（A-C)+(C-B）（舍去），所以A+B=2C，所以C=60。(4分）(2）延长CD到E，使DE=CD，连接AE,BE,则CE=8，四边形ACBE为平行四边形，5Le.ACE=5 Le.ABC在l:,.ACE中，a+bb=CE=643忡，得ab64，当且仅当a=b时，等号成立(9分）1民所以slc.ABc=slc.Aab sin 120。才二1儿2所以l:,.ABC面积的最大值为才二(12分）19.解：(1）数学成绩优秀的同学共10人，从全班同学中任意抽取3人，则X的所有可能取值为0,1,2,3,CoClo 24 7 故P(X=O）二一一L50 490 CloClo 39 P(X=l）乌兰Lio 98 CloCJo 9P(X=2）二二Lio 98 CloCo3 P(X=3）：马二L;0 490 分布列为x p。247 490 39 98(2)22列联表填充 如下：是否优秀性别2 数学成绩优秀数学成绩不优秀男生6 19 女生4 21 合计10 40 3(5分）合计25 25 50 零假设为Ho：数学成绩优秀与性别没有关系，50（621 419)2 由咱Arnoror=0.5l且xi缸，由(1）知f(x)=(x-2)e%-l一专伊增函数，故由x1+x22，得x12一句，则f(x1)f(2X2),所以f(x1)+f(x2)f(2一句）f(x2),故只须证f(2-xz)+f(xz）1.(7分令g(x)=f(2-x)+f(x)(x口，则g(x)=-f（2-x)+f（x）一（2-x-1)(ez z 1-1）十（x-1)(ez-l-1)=(x-1)(el-z十e-1-2),no分因为xl，所以z10，所以el-z于是ez-1 所以el-z+ez-1_22丁否可2=0,所以g(x)O,g(x）为增函数，则g(x)g(1)=2J(l)=-1，故原不等式得证(12分22.(1)解：设M(x0巾。）,NC一句，yo),xoyo手O,A(a,-ya y;:s 0），则kMA kNA 一一一一一一一一寸一干，x0-a-x0-a x0-a l 参考答案及解析Z一二zaa za叮止一yb 得叮止一一yb 十za由b23 所以一一丁，即4b2=3a2,a也又a2-b2=1，所以a2=4,b2二3,x y 故椭圆C的方程为一一l.(5分4 3(2）证明：由题意知直线I的斜率存在，设t,y=kx+z，化为y=k(x 2)+2k+t，当2k+t=O时，直线t过定点A，不合题意，y-k(x-2)当Zk+t手0时，即旷=l，由(1）得A(2，的，2k十tY1 Yz 设P(x1,y1),Q(xz,yz），则一一一一一一1,J J xi-2 xz-2 4EA，Y3 zz4nh 足也二满创2hbz a，吨，、hutNq 十JY巾切叩町3刻，、latiP叫r，、”Hur，、飞，FUH句，y-k(x-2)ll”3(x 2)2+4川12(x-2)旷=O,J Zk+t I y飞212 y 12k 即41一一I十一一一一一3一一一O,(8分）x-21 2k+t x-2 2k+t 12 Y1 Yz 2k+t 则一一一一一一一一一1，解得t=3一且，xi-2 xz-2 4 则t:y=kx+3-2k=k(x-2)+3,故直线I恒过寇点（2,3).02分）4
