湖南省湘潭市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（学考）试卷含答案.pdf

高二高二 20202020 年下学期期中考试试卷年下学期期中考试试卷数数 学（学考班）学（学考班）注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答回答选择题时选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改如需改动动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号。回答非选择题时回答非选择题时，将答案写在答题卡上将答案写在答题卡上。写写在本试在本试卷上无效。卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第第 I I 卷（选择题）卷（选择题）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4848 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。1直线30 xy的倾斜角为（）A30B45C60D1352以2,1为圆心，4 为半径的圆的方程为()A22(2)(1)4xyB22(2)(1)4xyC22(2)(1)16xyD22(2)(1)16xy3直线231xy在两坐标轴上的截距之和是（）A5B6C16D564直线1yaxa的图象可能是()ABCD5直线3430 xy与直线6140 xmy平行，则它们的距离为()A1710B2C175D86经过圆2220 xxy的圆心 C，且与直线0 xy垂直的直线方程是（）Axy10Bxy10Cxy10Dxy107已知圆221:40Cxy与圆222:44120Cxyxy相交于,A B两点，则两圆的公共弦AB()A2 2B3 2C2D28已知点M是圆22:1C xy上的动点，点2,0N，则MN的中点P的轨迹方程是（）A22114xyB22112xyC22112xyD22114xy9 已知圆2260 xyx，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A1B2C3D410已知直线l：yxm与曲线24xy有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A2,2 2B2 2,2C2,2 2D2 2,211若圆22()()90 xayaa上总存在两点到原点O的距离为 1，则实数a的取值范围是（）A0,1B2,2C2,2 2D2,412唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为222xy，若将军从点3,0A处出发，河岸线所在直线方程为4xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A2 5B172C17D32第第 IIII 卷（非选择题）卷（非选择题）二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 12 分。分。13若直线与直线250 xy与直线260 xmy互相垂直，则实数m=_14以点1,1为圆心，且与直线4xy相切的圆的方程是_.15已知直线22xy分别与 x 轴，y 轴相交于 A,B 两点，若动点,P a b在线段 AB 上，则 ab 的最大值为_.16如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽 12m,当水面下降 1m 后,水面宽为_m.三、解答题：本题共三、解答题：本题共 4040 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知两点(2,1)A，(4,3)B，两直线1l：2310 xy，2l：10 xy 求：（1）过点A且与直线1l平行的直线方程；（2）过线段AB的中点以及直线1l与2l的交点的直线方程18已知曲线C是动点M到两个定点O 0,0、A 3,0距离之比为12的点的轨迹.（1）求曲线C的方程；（2）求过点N 1,3且与曲线C相切的直线方程.19已知直线l：120kxyk(k R).（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程20已知过点0,2M且斜率为k的直线l与圆C：2211xy交于A，B两点.（1）求斜率k的取值范围；（2）O为坐标原点，求证：直线OA与OB的斜率之和为定值.参考答案参考答案1B 斜率1k，故倾斜角为45，选 B.2C 以2,1为圆心，4 为半径的圆的方程为：22(2)(1)16xy3D 解：由231xy，令0 x 可得13y，令0y 可得12x，故在两坐标轴上的截距之和是115236.4B 显然不可能是 C，0a 时，直线的斜率为正，纵截距为负，排除 A，0a 时，斜率为负，纵截距为正，D 不符，只有 B 符合题意5B直线 3x+4y3=0 即 6x+8y6=0，它直线 6x+my+14=0 平行，m=8，则它们之间的距离是1222226 14268ccdab 6C 圆2220 xxy的圆心 C 为（-1，0），而直线与 x+y=0 垂直，所以待求直线的斜率为 1，设待求直线的方程为 y=x+b，将点 C 的坐标代入可得 b 的值为 b=1，故待求的直线的方程为 x-y+1=07 A圆221:40Cxy与圆222:44120Cxyxy相减得AB所在的直线方程：20 xy.圆221:40Cxy的圆心10,0C，2r=，圆心0,0到直线AB：20 xy的距离22002211d，则AB 2222 422 2rd8A 设线段MN中点(,)P x y，则(22,2)MxyM在圆22:1C xy上运动，22(22)(2)1xy，即221(1)4xy9B 圆2260 xyx化为22(3)9xy，所以圆心C坐标为(3,0)C，半径为3，设(1,2)P，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22|(31)(2)2 2CP 根据弦长公式得最小值为22 9|2 982CP.10B 画出如下图像：当直线l过点,A B时,2m,此时直线l与曲线24xy有两个公共点;直线l与曲线相切时,2 2m ,因此当2 22m 时，直线l与曲线24xy有两个公共点.11C.由题意，圆22()()90 x ay aa+上总存在两点到原点O的距离为 1，即为圆229xaya和圆221xy相交，又由两圆圆心距2200 2daaa ，则3 123 1a ，解得22 2a，即实数a的取值范围是2,2 2.12B 由题点3,0A和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧，设点3,0A关于直线4xy的对称点(,)A a b，AA中点3(,)22abM在直线4xy上，3422013abba解得：41ab，即(4,1)A，设将军饮马点为P，到达营区点为B，则总路程PBPAPBPA，要使路程最短，只需PBPA最短，即点A到军营的最短距离，即点A到222xy区域的最短距离为：2172OA 131：121212,12kkkkm 直线互相垂直，即12()1,12mm 1422(1)(1)2xy由题意圆的半径为221 1 4211r，所求圆的方程为22(1)(1)2xy1512直线方程可化为12xy，故直线与 x 轴的交点为 A(2，0)，与 y 轴的交点为 B(0，1).由动点,P a b在线段 AB 上可知01b，且22ab，所以22ab，故22112222222abb bbbb .因为01b，所以当12b 时 ab 取得最162 51以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示：由题意可知：设圆的方程为：222()xyrr(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面 2m,水面宽 12m,所以设(6,2)A,代入圆的方程中得：10r,所以圆的方程为：22(10)100 xy,当水面下降 1m 后,设00,33A xx代入圆的方程中得：02 51x.17（1）设与1l：2310 xy 平行的直线方程为：230 xyc，将2,1A 代入，得430c ，解得7c，故所求直线方程是：2370 xy（2）2,1A，4,3B，线段AB的中点是1,2M，设两直线的交点为N，联立2310,10,xyxy 解得交点2,1N，则2 111 2MNk，故所求直线的方程为：21yx，即30 xy18试题分析：（1）在给定的坐标系里，设点由12OMAM及两点间的距离公式，得，将式两边平方整理得：即所求曲线方程为：（2）由（1）得，其圆心为(1,0)C，半径为2i)当过点(1,3)N的直线的斜率不存在时，直线方程为1x，显然与圆相切；ii)当过点(1,3)N的直线的斜率存在时，设其方程为3(1)yk x即30kxyk 由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，得20321kkk ，解得512k，此时直线方程为512310 xy所以过点(1,3)N与曲线C相切的直线方程为1x 或512310 xy19 解:(1)证明：直线l的方程可化为(2)(1)0k xy，令2010 xy，解得：21xy，无论k取何值，直线总经过定点(2,1).(2)解：由题意可知0k，再由l的方程，得12(,0)kAk，(0 12)Bk，依题意得：120120kkk，解得0k 211 12(12)11112(44)(224)422222kkSOAOBkkkkk，当且仅当140kk，即12k，取“”min4S，此时直线l的方程为240 xy20解：（1）直线l的方程为：20yk x即20kxy.由2211xy得圆心1,0C，半径1r.直线与圆相交得dr，即2211kk.解得34k .所以斜率k的取值范围为34k .（2）联立直线与圆方程：22211ykxxy.消去y整理得2214240kxkx.设11,A x y，22,B xy，根据韦达定理得12212242141kxxkxxk.则1212OAOByykkxx21212121212284222()22122241kkxkxxxkkkkxxxxxxk2211kk.直线OA与OB的斜率之和为定值 1.