湖南省湘潭市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题含答案.pdf

湖南省湘潭市第一中学湖南省湘潭市第一中学 2020-20212020-2021 学年学年高二上学期期中考试数学试题含答案高二上学期期中考试数学试题含答案一、选择题一、选择题(共共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要分，在每小题给出的选项中，只有一个选项符合题目要求求)1、已知全集 UR，Mx|x1，Px|x2，则 U(MP)等于()A、x|1x2B、x|x1C、x|x2D、x|x1 或 x2答案：A2、已知12,0,1a a，记12Ma a，121Naa，则M与N的大小关系是()A、MNB、MNC、MND、不确定答案：B3、已知函数，则A.是奇函数，且在 R 上是增函数B.是偶函数，且在 R 上是增函数C.是奇函数，且在 R 上是减函数D.是偶函数，且在 R 上是减函数答案：A4、已知 log2blog2a()a()cB、)()a()b()cC、()c()b()aD、()c()a()b答案：A5、已知向量，满足，则A、4B、3C、2D、0答案：B6、已知，则的值为()A、B、2C、D、答案：D7、圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为 10，则圆台的侧面积为().A、81B、100C、14D、169答案：B8、直线 l 过点，且不经过第四象限，则直线 l 的斜率的最大值为A.0B.1C.D.2答案：D9、已知 x、y 取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y 与 x 线性相关，且y0.95xa，则 a()A.1.30B.1.45C.1.65D.1.80答案：B10、在x22x6的二项展开式中，x2的系数为()A154B.154C38D.38答案：C11、甲乙丙丁戊 5 名同学报名参加社区服务活动，社区服务活动共有关爱老人环境监测教育咨询交通宣传文娱活动五个项目，每人限报其中一项，记事件 为“5 名同学所报项目各不相同”，事件 为“只有甲同学一人报关爱老人项目”，则()A、B、C、D、答案：A12、已知随机变量服从正态分布 N(2，2)，且 P(4)0.8，则 P(02)等于()A、0.6B、0.4C、0.3D、0.2答案：C二、填空题二、填空题(共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分)13、已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2(an1)，则 a2_.答案：414、在甲盒内的 200 个螺杆中有 160 个是 A 型，在乙盒内的 240 个螺母中有 180 个是 A 型 若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成 A 型螺栓的概率为_.答案：3515、用二分法研究函数 f(x)在区间(0，1)内的零点时，计算得 f(0)0，f(0.5)0，那么下一次应计算 x_时的函数值.答案：0.7516、有一批材料可以建成 200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的矩形，如图所示，则围成的矩形场地的最大面积为_m2(围墙厚度不计).答案：2500三、解答题三、解答题(共共 7 小题，共小题，共 70 分分)17、(满分 8 分)已知函数 f(x)2sin(2x)a，a 为常数(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 x0，时，f(x)的最小值为2，求 a 的值.解析：(1)f(x)2sin(2x)a，f(x)的最小正周期 T.（4 分）(2)当 x0，时，2x，故当 2x时，函数 f(x)取得最小值，即 sin(，f(x)取得最小值为1a2，a1.（8 分）18、(满分 8 分)设an是公比为正数的等比数列，a12，a3a24.(1)求an的通项公式；(2)设bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列anbn的前 n 项和 Sn.解析：(1)设 q 为等比数列an的公比，则由 a12，a3a24 得 2q22q4，即 q2q20，解得 q2 或 q1(舍去)，因此 q2.所以an的通项为 an22n12n(nN)（4 分）(2)Sn2n1n22.（8 分）19、(满分 8 分)已知圆 C 的圆心在直线320 xy上，并且与 x 轴的交点分别为(2,0),(6,0)AB.(1)求圆 C 的方程；(2)若直线 l 过原点且垂直于直线320 xy，直线 l 交圆 C 于 M，N，求MCN的面积.解析：(1)线段AB的中垂线方程为：2x，圆与 x 轴的交点分别为(2,0),(6,0)AB，则圆心在线段AB的中垂线上.由2320 xxy，得3y ，圆心 C 为(2,3)，又半径5rAC，圆 C 的方程为22(2)(3)25xy.（4 分）(2)直线 l 垂直于直线320 xy，则23lk 又直线 l 过原点，则直线 l 的方程为：230 xy，所以点 C 到直线 l 的距离为：491349d，2224 3MNrd，11|4 3132 3922MCNSMNd.（8 分）20、(满分 10 分)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过 w 立方米的部分按 4元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费，从该市随机调查了 100 位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.(1)求 a，b，c 的值及居民月用水量在 22.5 内的频数；(2)若将频率视为概率，现从该市随机调查 3 名居民的月用水量，将月用水量不超过 2.5立方米的人数记为 X，求其分布列及均值和方差.解析：(1)前四组频数成等差数列，所对应的频率组距也成等差数列，设 a0.2d，b0.22d，c0.23d，0.50.2(0.2d)20.22d0.23d0.131，解得 d0.1，a0.3，b0.4，c0.5.居民月用水量在 22.5 内的频率为 0.50.50.25.居民月用水量在 22.5 内的频数为 0.2510025.（4分）(2)将频率视为概率，设 A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知 P(A2.5)0.7，由题意，XB(3，0.7)，P(X0)03C0.330.027；P(X1)13C0.320.70.189，P(X2)23C0.30.720.441；P(X3)33C0.730.343，X 的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343XB(3，0.7)，E(X)np2.1，D(X)63.0)7.01(1.2)1(pnp（6 分）21、(满分 12 分)如图，已知 AA1平面 ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2 5，AA1 7，BB12 7，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点.(1)求证：EF平面 A1B1BA；(2)求证：直线 AE平面 BCB1；(3)求直线 A1B1与平面 BCB1所成角的大小.解析：(1)证明如图，连接 A1B，在A1BC 中，因为 E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点，所以 EFBA1.又因为 EF 平面 A1B1BA，BA1平面 A1B1BA，所以 EF平面 A1B1BA、（4 分）(2)证明因为 ABAC，E 为 BC 的中点，所以 AEBC、因为 AA1平面 ABC，BB1AA1，所以 BB1平面 ABC，又 AE平面 ABC，从而 BB1AE.又因为 BCBB1B，BC，BB1平面 BCB1，所以 AE平面 BCB1.（8分）(3)取 BB1的中点 M 和 B1C 的中点 N，连接 A1M，A1N，NE.因为 N 和 E 分别为 B1C 和BC 的中点，所以 NEB1B，NE12B1B，故 NEA1A 且 NEA1A，所以 A1NAE，且A1NAE.又因为 AE平面 BCB1，所以 A1N平面 BCB1，从而A1B1N 为直线 A1B1与平面 BCB1所成的角.在ABC 中，可得 AE2，所以 A1NAE2.因为 BMAA1，BMAA1，所以四边形 MBAA1为平行四边形，所以 A1MAB，A1MAB，又由 ABBB1，得 A1MBB1.在 RtA1MB1中，可得 A1B1 B1M2A1M24.在 RtA1NB1中，sinA1B1NA1NA1B112，因此A1B1N30.所以，直线 A1B1与平面 BCB1所成的角为 30.（12分）22、(满分 12 分)已知函数，且)，且.(1)求 的值；(2)求关于 的不等式的解集；(3)若对恒成立，求 的取值范围.解析：(1)由，得.（4 分）(2)由(1)知，.当时，因为，所以，解得，不等式的解集为；当时，因为，所以，解得，不等式的解集为（8 分）(3)，即，所以.因为，所以当时，取得最小值.所以，即 的取值范围为.（12 分）23、(满分 12 分)随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品50 件、三等品 20 件、次品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元设 1 件产品的利润(单位：万元)为.(1)求的分布列；(2)求 1 件产品的平均利润(即的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1，一等品率提高为 70.如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？解析：(1)由于 1 件产品的利润为，则的所有可能取值为 6，2，1，2，由题意知P(6)1262000.63，P(2)502000.25，P(1)202000.1，P(2)42000.02.故的分布列为6212P0.630.250.10.02（4 分）(2)1 件产品的平均利润为 E60.6320.2510.1(2)0.024.34(万元)（8分）(3)设技术革新后三等品率为 x，则此时 1 件产品的平均利润为E60.72(10.7x0.01)1x(2)0.014.76x.由 E4.73，得 4.76x4.73，解得 x0.03，所以三等品率最多为 3.（12分）