2022年高考数学真题分类汇编第7讲 解析几何（2022年高考真题）（解析版）.pdf

2022 年高考数学真题分类汇编年高考数学真题分类汇编第第 7 讲讲 解析几何解析几何一、单选题一、单选题1（2022全国高考真题（理）双曲线 C 的两个焦点为12,F F，以 C 的实轴为直径的圆记为D，过1F作 D 的切线与 C 的两支交于 M，N 两点，且123cos5F NF，则 C 的离心率为（）A52B32C132D172【答案】C【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，可判断N在双曲线的右支，设12FNF，21F FN，即可求出sin，sin，cos，在21F FN中由12sinsinFF N求出12sinFF N，再由正弦定理求出1NF，2NF，最后根据双曲线的定义得到23ba，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过1F作圆D的切线切点为G，所以1OGNF，因为123cos05F NF，所以N在双曲线的右支，所以OGa，1OFc，1GFb，设12FNF，21F FN，由123cos5F NF，即3cos5，则4sin5=，sinac，cosbc，在21F FN中，12sinsinsinFF N4334sincoscossin555baabccc，由正弦定理得211225sinsinsin2NFNFccFF N，所以112553434sin2252ccababNFF F Nc，2555sin222ccaaNFc又12345422222ababaNFNFa，所以23ba，即32ba，所以双曲线的离心率221312cbeaa故选：C2（2022全国高考真题（理）椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C上，且关于 y 轴对称若直线,AP AQ的斜率之积为14，则 C 的离心率为（）A32B22C12D13【答案】A【解析】【分析】设11,P x y，则11,Qxy，根据斜率公式结合题意可得2122114yxa，再根据2211221xyab，将1y用1x表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：,0Aa，设11,P x y，则11,Qxy，则1111,APAQyykkxaxa，故21112211114APAQyyykkxaxaxa，又2211221xyab，则2221212baxya，所以2221222114baxaxa，即2214ba，所以椭圆C的离心率22312cbeaa.故选：A.3（2022全国高考真题（文）设 F 为抛物线2:4C yx的焦点，点 A 在 C 上，点(3,0)B，若AFBF，则AB（）A2B2 2C3D3 2【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，1,0F，则2AFBF，即点A到准线1x 的距离为 2，所以点A的横坐标为121，不妨设点A在x轴上方，代入得，1,2A，所以223 1022 2AB.故选：B4（2022全国高考真题（文）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为13，12,A A分别为 C 的左、右顶点，B 为 C 的上顶点若121BA BA ，则 C 的方程为（）A2211816xyB22198xy+=C22132xyD2212xy【答案】B【解析】【分析】根据离心率及12=1 BA BA，解得关于22,a b的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113cbeaa，解得2289ba，2289ba，12,A A分别为 C 的左右顶点，则12,0,0AaAa，B 为上顶点，所以(0,)Bb.所以12(,),(,)BAab BAab，因为121BA BA 所以221 ab，将2289ba代入，解得229,8ab，故椭圆的方程为22198xy+=.故选：B.二、多选题二、多选题5（2022全国高考真题）已知 O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C ypx p焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，其中 A 在第一象限，点(,0)M p，若|AFAM，则（）A直线AB的斜率为2 6B|OBOFC|4|ABOFD180OAMOBM【答案】ACD【解析】【分析】由AFAM及抛物线方程求得36(,)42ppA，再由斜率公式即可判断 A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得6(,)33ppB，即可求出OB判断 B 选项；由抛物线的定义求出2512pAB 即可判断 C 选项；由0OA OB ，0MA MB 求得AOB，AMB为钝角即可判断 D 选项.【详解】对于 A，易得(,0)2pF，由AFAM可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标为3224ppp，代入抛物线可得2233242pypp，则36(,)42ppA，则直线AB的斜率为622 6342ppp，A 正确；对于 B，由斜率为2 6可得直线AB的方程为122 6pxy，联立抛物线方程得22106ypyp，设11(,)B x y，则16626pyp，则163py ，代入抛物线得21623pp x，解得13px，则6(,)33ppB，则22673332ppppOBOF，B 错误；对于 C，由抛物线定义知：325244312pppABppOF，C 正确；对于 D，23663663(,)(,)0423343234ppppp ppppOA OB ，则AOB为钝角，又26262665(,)(,)0423343236pppppppppMA MB ，则AMB为钝角，又360AOBAMBOAMOBM，则180OAMOBM，D 正确.故选：ACD.6（2022全国高考真题）已知 O 为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)C xpy p上，过点(0,1)B的直线交 C 于 P，Q 两点，则（）AC 的准线为1y B直线 AB 与 C 相切C2|OPOQOAD2|BPBQBA【答案】BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断 A，联立 AB 与抛物线的方程求交点可判断 B，利用距离公式及弦长公式可判断 C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得12p，所以抛物线方程为2xy，故准线方程为14y ，A 错误；1(1)21 0ABk，所以直线AB的方程为21yx，联立221yxxy，可得2210 xx，解得1x，故 B 正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为1ykx，1122(,),(,)P x yQ xy，联立21ykxxy，得210 xkx，所以21212401kxxkx x，所以2k 或2k ，21212()1y yx x，又2221111|OPxyyy，2222222|OQxyyy，所以2121212|(1)(1)|2|OPOQy yyykxkxkOA，故 C 正确；因为21|1|BPkx，22|1|BQkx，所以2212|(1)|15BPBQkx xk，而2|5BA，故 D 正确.故选：BCD三、填空题三、填空题7（2022全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C 的上顶点为 A，两个焦点为1F，2F，离心率为12过1F且垂直于2AF的直线与 C 交于 D，E 两点，|6DE，则ADE的周长是_【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043xyxyccc，即，根据离心率得到直线2AF的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120 xyc，整理化简得到：22136 390ycyc，利用弦长公式求得138c，得1324ac，根据对称性将ADE的周长转化为2F DE的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a.【详解】椭圆的离心率为12cea，2ac，22223bacc，椭圆的方程为222222213412043xyxyccc，即，不妨设左焦点为1F，右焦点为2F，如图所示，222AFaOFcac，23AF O，12AFF为正三角形，过1F且垂直于2AF的直线与 C 交于 D，E 两点，DE为线段2AF的垂直平分线，直线DE的斜率为33，斜率倒数为3，直线DE的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120 xyc，整理化简得到：22136 390ycyc，判别式22226 34 13 9616ccc，2121322 6461313cCDyy ，138c，得1324ac，DE为线段2AF的垂直平分线，根据对称性，22ADDFAEEF，ADE的周长等于2F DE的周长，利用椭圆的定义得到2F DE周长为222211121222413DFEFDEDFEFDFEFDFDFEFEFaaa.故答案为：13.8（2022全国高考真题）设点(2,3),(0,)ABa，若直线AB关于ya对称的直线与圆22(3)(2)1xy有公共点，则 a 的取值范围是_【答案】1 3,3 2【解析】【分析】首先求出点A关于ya对称点A的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：2,3A 关于ya对称的点的坐标为2,23Aa，0,Ba在直线ya上，所以AB所在直线即为直线l，所以直线l为32ayxa，即3220axya；圆22:321Cxy，圆心3,2C，半径1r，依题意圆心到直线l的距离223342132aada，即2225532aa，解得1332a，即1 3,3 2a；故答案为：1 3,3 29（2022全国高考真题）已知直线 l 与椭圆22163xy在第一象限交于 A，B 两点，l 与 x轴，y 轴分别交于 M，N 两点，且|,|2 3MANBMN，则 l 的方程为_【答案】22 20 xy【解析】【分析】令AB的中点为E，设11,A x y，22,B xy，利用点差法得到12OEABkk，设直线:AB ykxm，0k，0m，求出M、N的坐标，再根据MN求出k、m，即可得解；【详解】解：令AB的中点为E，因为MANB，所以MENE，设11,A x y，22,B xy，则2211163xy，2222631xy，所以2222121206633xxyy，即12121212063xxxxyyyy所以1212121212yyyyxxxx，即12OEABkk，设直线:AB ykxm，0k，0m，令0 x 得ym，令0y 得mxk，即,0mMk，0,Nm，所以,22m mEk，即1222mkmk，解得22k 或22k（舍去），又2 3MN，即2222 3MNmm，解得2m 或2m （舍去），所以直线2:22AB yx，即22 20 xy；故答案为：22 20 xy10（2022全国高考真题）写出与圆221xy和22(3)(4)16xy都相切的一条直线的方程_【答案】3544yx 或7252424yx或1x 【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221xy的圆心为0,0O，半径为1，圆22(3)(4)16xy的圆心1O为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为22345，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为 l 时，因为143OOk，所以34lk ，设方程为3(0)4yxt t O 到 l 的距离|19116td，解得54t，所以 l 的方程为3544yx，当切线为 m 时，设直线方程为0kxyp，其中0p，0k，由题意22113441pkkpk，解得7242524kp，7252424yx当切线为 n 时，易知切线方程为1x ，故答案为：3544yx 或7252424yx或1x .11（2022全国高考真题（理）若双曲线2221(0)xymm的渐近线与圆22430 xyy相切，则m_【答案】33【解析】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可【详解】解：双曲线22210 xymm的渐近线为yxm，即0 xmy，不妨取0 xmy，圆22430 xyy，即2221xy，所以圆心为0,2，半径1r，依题意圆心0,2到渐近线0 xmy的距离2211mdm，解得33m 或33m （舍去）故答案为：3312（2022全国高考真题（文）记双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为 e，写出满足条件“直线2yx与 C 无公共点”的 e 的一个值_【答案】2（满足15e皆可）【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线byxa 中02ba即可求得满足要求的 e 值.【详解】解：2222:1(0,0)xyCabab，所以 C 的渐近线方程为byxa,结合渐近线的特点，只需02ba，即224ba，可满足条件“直线2yx与 C 无公共点”所以2211 45cbeaa，又因为1e，所以15e，故答案为：2（满足15e皆可）13（2022全国高考真题（文）设点 M 在直线210 xy 上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M的方程为_【答案】22(1)(1)5xy【解析】【分析】设出点 M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：点 M 在直线210 xy 上，设点 M 为(,1 2)aa，又因为点(3,0)和(0,1)均在M上，点 M 到两点的距离相等且为半径 R，2222(3)(12)(2)aaaaR，222694415 aaaaa，解得1a，(1,1)M，5R，M的方程为22(1)(1)5xy.故答案为：22(1)(1)5xy14（2022全国高考真题（文）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_【答案】222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy；【解析】【分析】设圆的方程为220 xyDxEyF，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为220 xyDxEyF，若过0,0，4,0，1,1，则016401 10FDFDEF，解得046FDE ，所以圆的方程为22460 xyxy，即222313xy；若过0,0，4,0，4,2，则01640164420FDFDEF，解得042FDE ，所以圆的方程为22420 xyxy，即22215xy；若过0,0，4,2，1,1，则01 10164420FDEFDEF，解得083143FDE ，所以圆的方程为22814033xyxy，即224765339xy；若过1,1，4,0，4,2，则1 101640164420DEFDFDEF，解得1651652FDE ，所以圆的方程为2216162055xyxy，即2281691525xy；故答案为：222313xy或22215xy或224765339xy或2281691525xy；四、解答题四、解答题15（2022全国高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，点1122,P x yQ xy在 C 上，且1210,0 xxy过 P 且斜率为3的直线与过 Q 且斜率为3的直线交于点 M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：M 在AB上；PQAB；|MAMB注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)2213yx(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得,a b的关系，进而利用,a b c的平方关系求得,a b的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由|AM|=|BM|等价分析得到200283kxkyk；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线 PQ 的斜率003xmy，由/PQAB等价转化为003kyx，由M在直线AB上等价于2002kykx，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F，2c,渐近线方程为3yx，3ba，3ba，222244caba，1a，3b C 的方程为：2213yx；(2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选推，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而12xx，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为2yk x,则条件M在AB上，等价于2000022yk xkykx；两渐近线的方程合并为2230 xy,联立消去 y 并化简整理得：22223440kxk xk设3334,A xyB xy,线段中点为,NNN xy,则2342226,2233NNNxxkkxyk xkk,设00,M xy,则条件AMBM等价于222203030404xxyyxxyy,移项并利用平方差公式整理得：3403434034220 xxxxxyyyyy，3403403434220yyxxxyyyxx,即000NNxxk yy,即200283kxkyk；由题意知直线PM的斜率为3,直线QM的斜率为3,由101020203,3yyxxyyxx,1212032yyxxx,所以直线PQ的斜率12012121232xxxyymxxxx,直线00:3PMyxxy,即0033yyxx,代入双曲线的方程22330 xy,即333xyxy中，得：000032 333yxxyx,解得P的横坐标：100001332 33xyxyx,同理：200001332 33xyxyx，00120120022220000331,2,333yxxxyxxxxyxyx 003xmy,条件/PQAB等价于003mkkyx，综上所述：条件M在AB上，等价于2002kykx；条件/PQAB等价于003kyx；条件AMBM等价于200283kxkyk；选推:由解得：2200002228,433kkxxkyxkk,成立；选推：由解得：20223kxk，20263kkyk，003kyx，成立；选推：由解得：20223kxk，20263kkyk，02623xk，2002kykx，成立.16（2022全国高考真题）已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，直线 l 交 C 于P，Q 两点，直线,AP AQ的斜率之和为 0(1)求 l 的斜率；(2)若tan2 2PAQ，求PAQ的面积【答案】(1)1；(2)16 29【解析】【分析】（1）由点(2,1)A在双曲线上可求出a，易知直线 l 的斜率存在，设:l ykxm，1122,P x yQ xy，再根据0APBPkk，即可解出 l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ的斜率之和为 0 可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan2 2PAQ即可求出直线,AP AQ的斜率，再分别联立直线,AP AQ与双曲线方程求出点,P Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出PAQ的面积(1)因为点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，所以224111aa，解得22a，即双曲线22:12xCy易知直线 l 的斜率存在，设:l ykxm，1122,P x yQ xy，联立2212ykxmxy可得，222124220kxmkxm，所以，2121222422,2121mkmxxx xkk，222222164 22210120m kmkmk 所以由0APBPkk可得，212111022yyxx，即 122121210 xkxmxkxm，即121221 2410kx xmkxxm，所以22222421 24102121mmkkmkmkk，化简得，2844410kkm k，即1210kkm，所以1k 或1 2mk，当1 2mk 时，直线:21l ykxmk x过点2,1A，与题意不符，舍去，故1k (2)不妨设直线,PA PB的倾斜角为,，因为0APBPkk，所以，因为tan2 2PAQ，所以tan2 2，即tan 22 2，即22 tantan20，解得tan2，于是，直线:221PA yx，直线:221PB yx，联立2222112yxxy可得，232 1 2 2104 202xx，因为方程有一个根为2，所以104 23Px，Py 4 253，同理可得，104 23Qx，Qy 4 253所以5:03PQ xy，163PQ，点A到直线PQ的距离52 12 2332d，故PAQ的面积为1162 216 2233917（2022全国高考真题（理）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，点,0D p，过 F的直线交 C 于 M，N 两点当直线 MD 垂直于 x 轴时，3MF(1)求 C 的方程；(2)设直线,MD ND与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线,MN AB的倾斜角分别为,当取得最大值时，求直线 AB 的方程【答案】(1)24yx；(2):24AB xy.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得=2pMFp，即可得解；（2）设点的坐标及直线:1MN xmy，由韦达定理及斜率公式可得2MNABkk，再由差角的正切公式及基本不等式可得22ABk，设直线:2AB xyn，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为2px ，当MD与 x 轴垂直时，点 M 的横坐标为 p，此时=32pMFp，所以2p，所以抛物线 C 的方程为24yx；(2)设222231241234,4444yyyyMyNyAyBy，直线:1MN xmy，由214xmyyx可得2440ymy，120,4y y ，由斜率公式可得12221212444MNyykyyyy，34223434444AByykyyyy，直线112:2xMD xyy，代入抛物线方程可得1214280 xyyy，130,8y y ，所以322yy，同理可得412yy，所以34124422MNABkkyyyy又因为直线 MN、AB 的倾斜角分别为,，所以tantan22MNABkk，若要使最大，则0,2，设220MNABkkk，则2tantan112tan11tantan1 241222kkkkkk，当且仅当12kk即22k 时，等号成立，所以当最大时，22ABk，设直线:2AB xyn，代入抛物线方程可得24 240yyn，34120,4416y yny y ，所以4n，所以直线:24AB xy.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.18（2022全国高考真题（文）已知椭圆 E 的中心为坐标原点，对称轴为 x 轴、y 轴，且过30,2,12AB两点(1)求 E 的方程；(2)设过点1,2P的直线交 E 于 M，N 两点，过 M 且平行于 x 轴的直线与线段 AB 交于点 T，点 H 满足MTTH 证明：直线 HN 过定点【答案】(1)22143yx(2)(0,2)【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆 C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.(1)解：设椭圆 E 的方程为221mxny，过30,2,12AB，则41914nmn，解得13m，14n，所以椭圆 E 的方程为：22143yx.(2)3(0,2),(,1)2AB，所以2:23AB yx，若过点(1,2)P的直线斜率不存在，直线1x.代入22134xy，可得2 6(1,)3M，2 6(1,)3N，代入 AB 方程223yx，可得2 6(63,)3T，由MTTH 得到2 6(2 65,)3H.求得 HN 方程：2 6(2)23yx，过点(0,2).若过点(1,2)P的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kxykM x yN xy.联立22(2)0,134kxykxy得22(34)6(2)3(4)0kxkk xk k，可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkx xk，12222228(2)344(442)34kyykkky yk，且1221224(*)34kx yx yk联立1,223yyyx可得111113(3,),(36,).2yTyHyx y可求得此时1222112:()36yyHN yyxxyxx，将(0,2)，代入整理得12121221122()6()3120 xxyyx yx yy y，将(*)代入，得222241296482448482436480,kkkkkkk显然成立，综上，可得直线 HN 过定点(0,2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.第第 8 讲讲 计数原理与概率统计计数原理与概率统计一、单选题一、单选题1（2022全国高考真题（理）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,p pp，且3210ppp记该棋手连胜两盘的概率为 p，则（）Ap 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，则此时连胜两盘的概率为p甲则21321331231211(1)(1)(1)(1)22ppp pp pppp pp pp甲123123()2p ppp p p；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，则123123213123(1)(1)()2pp p pp pppppp p p乙记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙则132132312123(1)(1)()2pp p pp pppppp p p丙则123123213123123()2()20ppp ppp p ppppp p pppp甲乙213123312123231()2()20pppppp p ppppp p pppp乙丙即pp甲乙，pp乙丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大.选项 D 判断正确；选项 BC 判断错误；p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项 A 判断错误.故选：D2（2022全国高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A12 种B24 种C36 种D48 种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有 2 种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有 2 种排列方式，故安排这 5 名同学共有：3!2 224 种不同的排列方式，故选：B3（2022全国高考真题）从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，则这 2 个数互质的概率为（）A16B13C12D23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从 2 至 8 的 7 个整数中随机取 2 个不同的数，共有27C21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共 7 种，故所求概率21 72213P.故选：D.4（2022全国高考真题（理）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%75%70%2,所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以 B 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以 C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%80%20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%35%20%,所以D错.故选:B.5（2022全国高考真题（文）从分别写有 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中无放回随机抽取 2 张，则抽到的 2 张卡片上的数字之积是 4 的倍数的概率为（）A15B13C25D23【答案】C【解析】【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是 4 的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从 6 张卡片中无放回抽取 2 张，共有 1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字之积为 4 的倍数的有 1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66 种情况，故概率为62155.故选：C.二二、填空题、填空题6（2022全国高考真题）已知随机变量 X 服从正态分布22,N，且(22.5)0.36PX，则(2.5)P X _【答案】0.14#750【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出【详解】因为22,XN，所以220.5P XP X，因此2.5222.50.50.360.14P XP XPX故答案为：0.147（2022全国高考真题（文）从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_【答案】310#0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从 5 名同学中随机选 3 名的方法数为35C10甲、乙都入选的方法数为13C3，所以甲、乙都入选的概率310P 故答案为：3108（2022全国高考真题）81()yxyx的展开式中26x y的系数为_（用数字作答）【答案】-28【解析】【分析】81yxyx可化为88yxyxyx，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为8881=yyxyxyxyxx，所以81yxyx的展开式中含26x y的项为6265352688C28yx yC x yx yx，81yxyx的展开式中26x y的系数为-28故答案为：-289（2022全国高考真题（理）从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为_【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C70n 个结果，这4个点在同一个平面的有6612m 个，故所求概率1267035mPn故答案为：635三三、解答题、解答题10（2022全国高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了 100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间40,50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到 0.0001）.【答案】(1)47.9岁；(2)0.89；(3)0.0014【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A 一人患这种疾病的年龄在区间20,70)，根据对立事件的概率公式()1()P AP A 即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出(1)平均年龄(5 0.001 15 0.00225 0.01235 0.01745 0.023x 55 0.02065 0.01775 0.00685 0.002)1047.9（岁）(2)设A 一人患这种疾病的年龄在区间20,70)，所以()1()1(0.001 0.0020.0060.002)101 0.110.89P AP A (3)设B 任选一人年龄位于区间40,50)，C 任选一人患这种疾病，则由条件概率公式可得()0.1%0.023 100.001 0.23(|)0.00143750.0014()16%0.16P BCP C BP B11（2022全国高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”(|)(|)P B AP B A与(|)(|)P B AP B A的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 R（）证明：(|)(|)(|)(|)P A BP A BRP A BP A B；（）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B的估计值，并利用（）的结果给出 R 的估计值附22()()()()()n adbcKa b cd a c b d，2P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；(ii)6R；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有 99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求R.(1)由已知222()200(40 9060 10)=24()()()()50 150 100 100n adbcKab cd ac bd，又2(6.635)=0.01P K，246.635，所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B AP B AP ABP AP ABP ARP B AP B AP AP ABP AP AB，所以()()()()()()()()P ABP BP ABP BRP BP ABP BP AB所以(|)(|)(|)(|)P A BP A BRP A BP A B，(ii)由已知40(|)100P A B，10(|)100P A B，又60(|)100P A B，90(|)100P A B，所以(|)(|)=6(|)(|)P A BP A BRP A BP A B12（2022全国高考真题（理）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军 已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望【答案】(1)0.6；(2)分布列见解析，13E X.【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,A B C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的