四川省成都市第七中学2023届高三上学期零诊模拟检测理科数学试题含答案.pdf

第 1页/共 34页（北京）股份有限成都七中高成都七中高 2023 届零诊模拟检测试题届零诊模拟检测试题理科数学理科数学一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1.设非空集合M，N满足MNN，则（）A.xN，有xMB.xN，有xMC.0 xM，有0 xND.0 xN，有0 xM2.若复数z满足11 2i zi，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知,OA OB OC 均为单位向量，且满足102OAOBOC ，则AB ACuuu r uuu r的值为（）A.38B.58C.78D.1984.数列 na满足2*1nnnaaanN，110,2a，则以下说法正确的个数（）10nnaa；22221231naaaaa；对任意正数b，都存在正整数m使得12311111111mbaaaa成立；11nan.A.1B.2C.3D.45.如图，已知抛物线1C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(3,6)，圆222:680Cxyx，过圆心2C的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则3PNQM的最小值为第 2页/共 34页（北京）股份有限A.124 3B.164 3C.166 3D.206 36.德国数学家莱布尼兹(1646 年-1716 年)于 1674 年得到了第一个关于的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家天文学家明安图(1692 年-1765 年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736 年)开始,历时近 30 年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的 6 个新级数公式,著有割圆密率捷法一书,为我国用级数计算开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式”计算的近似值(其中 P 表示的近似值),若输入10n,则输出的结果是()A.11114(1)35717P B.11114(1)35719P C.11114(1)35721P D.11114(1)35721P 7.在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为，直线AB与平面BCD所成的角为，二面角CABD的平面角为，则，的大小关系为（）第 3页/共 34页（北京）股份有限A.B.C.D.8.对于角，当分式tansintan sin有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（）A.tancostancosB.tansintancosC.tansintancosD.tan sintansin9.对于三次函数 32f xaxbxcxd（0a），给出定义：设 fx是函数 yf x的导数，fx是 fx的导数，若方程 0fx有实数解0 x，则称点00,xf x为函数 yf x的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数 3211533212g xxxx，则122014201520152015ggg（）A.2014B.2013C.20155D.100710.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字 65若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于 200 的概率为（）A.38B.34C.23D.1211.已知不等式e(3)20(1)xaxxa恰有 2 个整数解，则 a 的取值范围为（）A.2324e3eaB.2324e3eaC.324e3aD.324e3a12.已知双曲线22221xyCab：（0a，0b）的左，右焦点分别是1F，2F，点P是双曲线C右支上异第 4页/共 34页（北京）股份有限于顶点的点，点H在直线xa上，且满足1212PFPFPHPFPF ，R.若215430HPHFHF ，则双曲线C的离心率为（）A.3B.4C.5D.6二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.命题“1,2x，使得2ln0 xxa”为假命题，则 a 的取值范围为_.14.已知nS为数列 na的前 n 项和，数列 na满足12a ，且32nnSan，f x是定义在 R 上的奇函数，且满足 2fxf x，则2021f a_15.已知实数 a，b，c 满足 a2b2c2，c0，则2bac的取值范围为_16.设函数 21241,12,1xxf xx xa x，若恰好存在互不相等的4个实数1234,x x x x，使得123412347f xf xf xf xxxxx，则a的取值范围为_.三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17.由于 2020 年 1 月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地AOB进行改造如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点 P 在弧AB上，点 M 和点 N 分别在线段OA和线段OB上，且90OA米，3AOB记POB第 5页/共 34页（北京）股份有限（1）当4时，求OM ON ；（2）请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，S取得最大值18.如图 1，在边上为 4 的菱形ABCD中，60DAB，点M，N分别是边BC，CD的中点，1ACBDO，ACMNG沿MN将CMN翻折到PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图 2 所示的五棱锥PABMND（1）在翻折过程中是否总有平面PBD 平面PAG？证明你的结论；（2）当四棱锥PMNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角QMNP余弦值的绝对值为1010？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由19.新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验根据普遍规律志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力通过检测，用x表示注射疫苗后的天数y表示人体中抗体含量水平（单位：miu/mL，即：百万国际单位毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示：天数x123456抗体含量水平y510265096195根据以上数据，绘制了散点图第 6页/共 34页（北京）股份有限（1）根据散点图判断，dxyc e与yabx（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第 10 天的抗体含量水平值；（3）从这位志愿者的前 6 天的检测数据中随机抽取 4 天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于 50 的天数为X，求X的分布列与数学期望参考数据：xy6211ixx6211i61iiixx61iiixxyy8.3e3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中ln y参考公式：用最小二乘法求经过点11,u v，22,u v，33,u v，,iiu v的线性回归方程vbua的系数公式，1122211nniiiiiinniiiiuuvvu vnuvbunuuu，avbu20.F是抛物线2:2(0)C xpy p的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过,M F O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为34.第 7页/共 34页（北京）股份有限（1）求抛物线C的方程；（2）若点M的横坐标为2，直线1:4l ymx与抛物线C有两个不同的交点,A B l与圆Q有两个不同的交点,D E，求当122m时，22ABDE的最小值.21.已知函数1()3lnf xxbxx（1）当4b 时，求函数 f x的极小值；（2）若1,xe 上，使得114()bxf xxx 成立，求b的取值范围（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分一题计分选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l的参数方程为：2cos3sinxtyt，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为22 cos8（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于AB，两点，且4 2AB，求直线l的倾斜角选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲23.已知函数 2f xmx，mR，3g xx（）当xR时，有 f xg x，求实数m的取值范围（）若不等式 0f x 的解集为1,3，正数a，b满足231ababm，求ab的最小值成都七中高成都七中高 2023 届零诊模拟检测试题届零诊模拟检测试题理科数学理科数学一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的1.设非空集合M，N满足MNN，则（）A.xN，有xMB.xN，有xMC.0 xM，有0 xND.0 xN，有0 xM【答案】B【解析】【分析】由已知可得MN即可判断.【详解】MNN，MN，xN，有xM.故选：B.2.若复数z满足11 2i zi，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先由复数的除法得1322zi，再求其共轭复数即可得解.【详解】由11 2i zi，可得12(12)(1)1 321312222iiiizii.1322zi 在复平面内对应的点为13(,)22位于第三象限.故选 C.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.3.已知,OA OB OC 均为单位向量，且满足102OAOBOC ，则AB ACuuu r uuu r的值为（）A.38B.58C.78D.198【答案】B【解析】【分析】通过向量的线性运算进行化简求值即可.【详解】2,32AOOBOCABOBOC ，同理23ACOBOC 2274(),32238AOOBOCOB OCAB ACOBOCOBOC 2291566136688OBOCOB OC 故选：B.4.数列 na满足2*1nnnaaanN，110,2a，则以下说法正确的个数（）10nnaa；22221231naaaaa；对任意正数b，都存在正整数m使得12311111111mbaaaa成立；11nan.A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】利用二次函数的性质及递推关系得0na，然后作差1nnaa，可判断，已知等式变形为21nnnaaa，求出平方和可得成立，利用简单的放缩可得12111111nnaaa，可判断，利用数学归纳法思想判断【详解】22111()24nnnnaaaa ，若10,2na，则110,4na，210nnnaaa，10nnaa，正确；由已知21nnnaaa，2221212231111()()()nnnnaaaaaaaaaaaa，正确；由110,2a及得1112na，1121na，12111111nnaaa，显然对任意的正数b，在在正整数m，使得mb，此时12311111111mbaaaa成立，正确；(i)已知112a 成立，(ii)假设11nan，则222111112411nnnnaaaann ，又2211110(1)12(2)(1)nnnnn，即2111(1)12nnn，112nan，由数学归纳法思想得正确4 个命题都正确故选：D【点睛】方法点睛：本题考查由数列的递推关系确定数列的性质解题方法一是利用函数的知识求解，二是利用不等式的放缩法进行放缩证明，三与正整数有关的命题也可利用数学归纳法证明5.如图，已知抛物线1C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(3,6)，圆222:680Cxyx，过圆心2C的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则3PNQM的最小值为A.124 3B.164 3C.166 3D.206 3【答案】C【解析】【分析】根据抛物线过点3,6求得抛物线方程，求得焦点和圆心坐标以及圆的半径.根据焦半径公式得到11213PFQFp，转化3PNQM为33 44QFPFPFQF，利用基本不等式求得上式的最小值.【详解】由题意抛物线过定点(3,6)，得抛物线方程212yx，焦点为(3,0)F，圆的标准方程为22(3)1xy，所以圆心为(3,0)，半径1r.由于直线过焦点，所以有11213PFQFp，又3(1)PNQMPF(33)3QFPFQF43(3)PFQF 11PFQF43 344QFPFPFQF166 3.故选 C.【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，考查基本不等式求和式的最小值，属于中档题.6.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家天文学家明安图(1692年-1765 年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736 年)开始,历时近 30 年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的 6 个新级数公式,著有割圆密率捷法 一书,为我国用级数计算开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于的级数展开式”计算的近似值(其中 P 表示的近似值),若输入10n,则输出的结果是()A.11114(1)35717P B.11114(1)35719P C.11114(1)35721P D.11114(1)35721P【答案】B【解析】【分析】执行给定的程序框图，输入10n，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n，可得：第 1 次循环：1,2Si；第 2 次循环：11,33Si；第 3 次循环：111,435Si；第 10 次循环：11111,1135719Si，此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719PS，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.在正四面体ABCD中，异面直线AB与CD所成的角为，直线AB与平面BCD所成的角为，二面角CABD的平面角为，则，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】在正四面体ABCD中易证ABCD,即90，然后作出直线AB与平面BCD所成的角，二面角CABD的平面角，在将之放到三角形中求解比较其大小.【详解】在正四面体ABCD中,设棱长为 2,设O为底面三角形BCD是中心，则AO 平面BCD.取CD边的中点E，连结,AE BE,如图.则易证,AECD BECD,又AEBEEI.所以CD 平面ABE,又AB 平面ABE，所以ABCD.所以异面直线AB与CD所成的角为90.又AO 平面BCD.所以直线AB与平面BCD所成的角为ABO在ABO中,22 333BOBE,2AB 所以3cos3BOABOAB.取边AB的中点F，连结,CF FD，则有,CFAB FDAB，所以二面角CABD的平面角为CFD,在CFD中，3,2CFFDCD由余弦定理有：2221cos23CFFDCDCFDCFFD,即31=90coscos=33，所以，故选：D.【点睛】本题考查异面直线成角，线面角，二面角的求法，关键是在立体图中作出相应的角，也可以用向量法，属于中档题.8.对于角，当分式tansintan sin有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一个式子（）A.tancostancosB.tansintancosC.tansintancosD.tan sintansin【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的关系可得2222tansinsintan，即可得解.【详解】22222222221sincostansinsin(1)sin(1)sintancoscos，2222tansintansintansintansintansintansintansintansintansintansin，故选：D.【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了运算能力，属于中档题.9.对于三次函数 32f xaxbxcxd（0a），给出定义：设 fx是函数 yf x的导数，fx是 fx的导数，若方程 0fx有实数解0 x，则称点00,xf x为函数 yf x的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数 3211533212g xxxx，则122014201520152015ggg（）A.2014B.2013C.20155D.1007【答案】A【解析】【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解.【详解】3211533212g xxxx，所以 23,21gxxxgxx，令12102xx，112f，所以 3211533212g xxxx的对称中心为1,12，1220141201412,20152015201520152015g xgxggggg22013100710081007220142015201520152015gggg故选：A10.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字 65若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于 200 的概率为（）A.38B.34C.23D.12【答案】B【解析】【分析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.【详解】依题意得所拨数字共有124424C C 种可能要使所拨数字大于 200，则若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于 200，有122412C C 种；若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠，有11236C C 种，则所拨数字大于 200 的概率为1263244，故选：B【点睛】本题考查排列组合的应用，求古典概型概率，涉及分类讨论的思想，属于中档题.11.已知不等式e(3)20(1)xaxxa恰有 2 个整数解，则 a 的取值范围为（）A.2324e3eaB.2324e3eaC.324e3aD.324e3a【答案】C【解析】【分析】首先通过不等式分析，排除3x 的可能性，对于3x ,将不等式分离参数，得到23 exxax，分析排除0a 的情况，然后令 23 exxg xx，利用导数分析其单调性，结合函数的正负值和零点，极值点分析，得到函数的大致图象，然后观察图象分析，将问题要求等价转化为 01gaga，进而求解.【详解】当3x 时，e(3)20(1)xaxxa即为0320,即10,不成立；当3x 时不等式等价于321111ee13 e3 eexxxxxaxx,由于1a，故不成立；当3x 时，不等式等价于23 exxax，若0a，则不等式对于任意的2x 恒成立，满足不等式的整数有无穷多个，不符合题意；当0a 时，令 2,(3)3 exxg xxx，则 22553exxxgxx，在553,2 上 0gx，g x单调递增，在552，上 0gx，g x单调递减，且在(3,2)上 0g x,在2,上 0g x,又在x趋近于时，g x趋近于 0，g x在3,上的图象如图所示：55212 ，当3x 时，不等式等价于23 exxax有两个整数解，这两个整数解必然是1和 0，充分必要条件是 01gaga,即2334eaa,324e3a，故选：C【点睛】分类讨论是解决这类问题的重要方法，利用导数研究单调性后要结合函数的零点和极值，极限值进行分析，然后利用数形结合思想找到题设要求的充分必要条件，是问题解决的关键步骤.12.已知双曲线22221xyCab：（0a，0b）的左，右焦点分别是1F，2F，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线xa上，且满足1212PFPFPHPFPF ，R.若215430HPHFHF ，则双曲线C的离心率为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】由1212PFPFPHPFPF 可得H在12FPF的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得H为12FPF的内心，再由内心的向量表示，推得1212:5:4:3F FPFPF，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.【详解】因为1212PFPFPHPFPF ，所以PH是12FPF的角平分线，又因为点H在直线xa上，且在双曲线中，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，则12PFF的内切圆圆心在直线xa上，即点H是12PFF的内心，如图，作出12PFF，并分别延长HP、1HF、2HF至点P、1F、2F，使得5HPHP，113HFHF，224HFHF，可知H为12P F F 的重心，设1HPFSm，2HPFSn，12HF FSp，由重心性质可得152012mnp，即:4:3:5m n p，又H为12PFF的内心，所以1212:5:4:3F FPFPF，因为122F Fc，所以1124855cPFFF，2123655cPFFF，则12225caPFPF，所以双曲线C的离心率225225cccecaa.故选：C.【点睛】三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：设ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c，则（1）ABC的重心G满足0GAGBGC ；（2）ABC的内心P满足0aPAbPBcPC ；（3）ABC的外心M满足MAMBMC.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.命题“1,2x，使得2ln0 xxa”为假命题，则 a 的取值范围为_.【答案】,1【解析】【分析】根据题意可得当1,2x时，2lnxxa恒成立，分离参数只需2minlnaxx，由函数2lnyxx在1,2上单调递增即可求解.【详解】若“1,2x，使得2ln0 xxa”为假命题，可得当1,2x时，2lnxxa恒成立，只需2minlnaxx.又函数2lnyxx在1,2上单调递增，所以1a.故答案为：,1【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.14.已知nS为数列 na的前 n 项和，数列 na满足12a ，且32nnSan，f x是定义在 R 上的奇函数，且满足 2fxf x，则2021f a_【答案】0【解析】【分析】利用数列通项公式与前 n 项和公式的关系求通项的递推关系，再构造等比数列求出 na通项公式.根据 2fxf x和f(x)是R上奇函数可得f(x)是周期为4的函数，且f(0)f(2)0.202120212021314 11a ，将20214 1用二项式定理展开，其中能被 4整除的部分在计算2021f a时即可“去掉”，由此即可求出答案.【详解】32nnSan，113122nnanSn，两式相减得，133122nnnaaa，即()1311nnaa-=-，1131nnaa，即数列1na 是以3为首项，3 为公比的等比数列，113 33nnna ，31nna.fx是定义在 R 上的奇函数，且满足 2fxf x，令2x，则 200ff，又 2fxf xf(x)，f(2x)f(x)，f(x4)f(x22)f(x2)f(x)f(x)，即 f(x4)f(x)，即 f x是以 4 为周期的周期函数.202120212021314 11a 0120202021020211202020201202102021202120212021C41C41C41C411 012020020211202020201202120212021C41C41C412 +其中012020020211202020201202120212021C41C41C41 +能被 4 整除，202120213120f aff.故答案为：0【点睛】本题综合考察了数列求通项公式的两个方法：利用通项公式和前 n 项和公式的关系，以及构造等比数列，考察了函数周期的求法，还考察了利用二项式定理处理整除问题，属于难题.15.已知实数 a，b，c 满足 a2b2c2，c0，则2bac的取值范围为_【答案】33,33【解析】【详解】由 a2b2c2可设 acsinx，bccosx，可以理解为点(2，0)与单位圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为，则的取值范围为.16.设函数 21241,12,1xxf xx xa x，若恰好存在互不相等的4个实数1234,x x x x，使得123412347f xf xf xf xxxxx，则a的取值范围为_.【答案】(6,18)【解析】【分析】由题意可得 f（x）=7x 有 4 个不同实根，讨论 x1 时，x1 时，由解方程和运用导数判断单调性和极值、最值，解不等式即可得到所求范围【详解】由11f xx=22fxx=33fxx=44fxx=7，可得 f（x）=7x 有 4 个不同实根，当 x1 时，f（x）=|12x4|+1=7x，解得 x=35或 x=519，故当 x1 时，f（x）=7x 有 2 个不同实根，设 g（x）=f（x）7x=x（x2）27x+a（x1），g（x）=（3x+1）（x3），当 1x3 时，g（x）0，g（x）递减；当 x3 时，g（x）0，g（x）递增则 g（x）min=g（3）=a18，又 g（1）=a6，由 a180，且 a60，解得 6a18故答案为：6,18【点睛】本题考查函数和方程的转化思想，考查分类讨论思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1721题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求考生根据要求作答作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17.由于 2020 年 1 月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活也逐步恢复正常李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地AOB进行改造如图所示，平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点 P 在弧AB上，点 M 和点 N 分别在线段OA和线段OB上，且90OA米，3AOB记POB（1）当4时，求OM ON ；（2）请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，S取得最大值【答案】（1）135031；（2）S2700 3sin 21350 36，03；当6时，S取得最大值.【解析】【分析】（1）在OPM中由正弦定理求得,PM OM，即可由数量积的定义求得结果；（2）在OPM中由正弦定理用表示,PM OM，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的.【小问 1 详解】根据题意，在OPM中，2,1234MOPPMOMPO，又90OP，故由正弦定理sinsinsinOPPMOMPMOMOPMPO可得：903622242PMOM解得64523PMON，30 6OM，故OM ON 61cos30 645213503132OMONAOB.即OM ON 135031.【小问 2 详解】由题可知，在PMO中，290,33OPPMOMPOMOP，则由正弦定理sinsinsinOPOMPMPMOMPOMOP，可得90sin3sin32OMPM，故可得60 3sin,60 3sin3OMPM，故13sin60 3sin60 3sin243PMOSPMOMPMO2312700 3sinsin2700 3sincossin3223112700 3sin2cos2444112700 3sin 22641350 3sin 2675 36.(0)3即22700 3sin 21350 3,(0)63PMOSS.当6时，sin 216，此时S取得最大值.18.如图 1，在边上为 4 的菱形ABCD中，60DAB，点M，N分别是边BC，CD的中点，1ACBDO，ACMNG沿MN将CMN翻折到PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图 2 所示的五棱锥PABMND（1）在翻折过程中是否总有平面PBD 平面PAG？证明你的结论；（2）当四棱锥PMNDB体积最大时，求直线PB和平面MNDB所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，在线段PA上是否存在一点Q，使得二面角QMNP余弦值的绝对值为1010？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）在翻折过程中总有平面PBD 平面PAG，证明见解析（2）3010（3）Q存在且Q为线段PA的中点【解析】【分析】（1）证明出BD 平面PAG，进而证明面面垂直；（2）找到当PG 平面MNDB时，四棱锥PMNDB体积最大，直线PB和平面MNDB所成角的为PBG，求出3PG，7BG，由勾股定理得：2210PBPGBG，从而求出PBG的正弦值；（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量和二面角的大小，列出方程，确定点Q的位置【小问 1 详解】在翻折过程中总有平面PBD 平面PAG，证明如下：点M，N分别是边CD，CB的中点，又60DAB，BDMN，且PMN是等边三角形，G是MN的中点，MNPG，菱形ABCD的对角线互相垂直，BDAC，MNAC，ACPGG，AC 平面PAG，PG 平面PAG，MN 平面PAG，BD 平面PAG，BD 平面PBD，平面PBD 平面PAG【小问 2 详解】由题意知，四边形MNDB为等腰梯形，且4DB，2MN，13OG，所以等腰梯形MNDB的面积2433 32S，要使得四棱锥PMNDB体积最大，只要点P到平面MNDB的距离最大即可，当PG 平面MNDB时，点P到平面MNDB的距离的最大值为3，此时四棱锥PMNDB体积的最大值为13 3333V，直线PB和平面MNDB所成角的为PBG，连接BG，在直角三角形PBG中，3PG，7BG，由勾股定理得：2210PBPGBG.330sin1010PGPBGPB【小问 3 详解】假设符合题意的点Q存在以G为坐标原点，GA，GM，GP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则3 3,0,0A，0,1,0M，0,1,0N，0,0,3P，由（2）知，AGPG，又AGMN，且MNPGG，MN 平面PMN，PG 平面PMN，AG 平面PMN，故平面PMN的一个法向量为11,0,0n u r，设AQAP（01），3 3,0,3AP ，3 3,0,3AQ，故3 3 1,0,3，0,2,0NM ，3 31,1,3QM，平面QMN的一个法向量为2222,nxy z，则20nNM ，20nQM ，即222220,3 3130,yxyz令21z，所以220,31yx211,0,1,0,313131n，则平面QMN的一个法向量,0,31n，设二面角QMNP的平面角为，则122110cos1091n nn n ，解得：12，故符合题意的点Q存在且Q为线段PA的中点19.新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验根据普遍规律志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力通过检测，用x表示注射疫苗后的天数y表示人体中抗体含量水平（单位：miu/mL，即：百万国际单位毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示：天数x123456抗体含量水平y510265096195根据以上数据，绘制了散点图（1）根据散点图判断，dxyc e与yabx（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第 10天的抗体含量水平值；（3）从这位志愿者的前 6 天的检测数据中随机抽取 4 天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于 50 的天数为X，求X的分布列与数学期望参考数据：xy6211ixx6211i61iiixx61iiixxyy8.3e3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中ln y参考公式：用最小二乘法求经过点11,u v，22,u v，33,u v，,iiu v的线性回归方程vbua的系数公式，1122211nniiiiiinniiiiuuvvu vnuvbunuuu，avbu【答案】（1）dxyce更适合（2）0.740.90 xye，4023.87miu/mL（3）分布列见解析；期望为43【解析】【分析】（1）根据散点图的特征即可选择相应的方程类型.（2）将非线性转化成线性关系，然后利用最小二乘法求出对应的线性回归方程，进而可得非线性方程，利用求出的方程代值求解.（3）根据超几何分步求概率，进而可得分步列.【小问 1 详解】根据散点图，点的分布呈现曲线状，所以dxyce更适合作为描述y与x关系的回归方程类型【小问 2 详解】设ln y，变换后可得lncdx，设lnpc，建立关于x的回归方程pdx，6126112.950.7417.50iiiiixxbxx，3.490.74 3.500.90pdx，所以关于x的回归方程为0.740.90 x，所以0.740.90 xye，当10 x 时，0.74 10 0.908.34023.87yee，即该志愿者在注射疫苗后的第 10 天的抗体含量水平值约为4023.87miu/mL【小问 3 详解】由表格数据可知，第 5，6 天的y值大于 50，故x的可能取值为 0，1，2，4446C10C15P X，314246C C81C15P X，224246C C22C5P X X的分布列为X012P115815251824012151553E X 20.F是抛物线2:2(0)C xpy p的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过,M F O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为34.（1）求抛物线C的方程；（2）若点M的横坐标为2，直线1:4l ymx与抛物线C有两个不同的交点,A B l与圆Q有两个不同的交点,D E，求当122m时，22ABDE的最小值.【答案】（1）22xy；（2）132.【解析】【分析】（1）由已知得0,2pF，设2000,(0),2xMxxQ a