2021陕西考研数学三真题及答案.doc

祝您考上理想学校 加油！2021陕西考研数学三真题及答案一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）好好学习 天天向上xt 32(1)当 x ® 0 时， ò0 (e-1)dt 是 x7 的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C.é x2t 3ù¢x67x2t 37【详解】因为当 x ® 0 时， êëò0 (e -1)dtúû确答案为 C.= 2x(e-1) : x，所以ò0 (e -1)dt 是 x 高阶无穷小，正ì ex - 1í(2)函数 f (x)= ïx, x ¹ 0 ,在 x = 0 处îï1, x = 0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为 0.(D)可导且导数不为 0.【答案】D.【详解】因为lim f (x)= limex - 1=1 = f (0) ，故 f (x) 在 x = 0 处连续；x®0x®0xf (x) - f (0)ex - 1-1xe x -1 - x1¢1因为lim= lim=lim=，故 f (0) =，正确答案为 D.x®0x - 0x®0x - 0x®0x 222(3)设函数 f (x) = ax - b ln x (a > 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是a(A) (e, +¥) .(B) (0, e) .(C) (0, 1 ) .(D) ( 1 , +¥) .ee【答案】A.【详解】令 f (x) = ax - b ln x = 0 ， f ¢(x) = a - b ，令 f ¢(x) = 0 有驻点 x = b ， f æ b ö = a × b - b × ln b < 0 ，x从而ln b > 1，可得 b > e ，正确答案为 A.ç ÷aaè øaaaa(4)设函数 f (x, y) 可微， f (x +1, ex ) = x(x +1) 2 ， f (x, x2 ) = 2x2 ln x ，则 df (1,1) =(A) dx + dy .(B) dx - dy .(C) dy .(D) -dy .【答案】C.12【详解】 f ¢(x +1, ex ) + ex f ¢(x +1, ex ) = (x +1) 2 + 2x(x +1)12f ¢(x, x2 ) + 2xf ¢(x, x2 ) = 4x ln x + 2xìx = 0ìx = 1分别将í y = 0 ， í y = 1 带入式有îîf1¢(1,1) + f2¢(1,1) = 1 ， f1¢(1,1) + 2 f2¢(1,1) = 2联立可得 f1¢(1,1) = 0 ， f2¢(1,1) = 1 ， df (1,1) = f1¢(1,1)dx + f2¢(1,1)dy = dy ，故正确答案为 C.(5) 二次型 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 的正惯性指数与负惯性指数依次为123122331(A) 2, 0 .(B)1,1 .(C) 2,1 .(D)1, 2 .【答案】B.【详解】 f (x , x , x ) = (x + x )2 + (x + x )2 - (x - x )2 = 2x 2 + 2x x + 2x x + 2x x12312233121 22 31 3æ 011 öç÷所以 A = ç 121 ÷ ，故特征多项式为èøç 110 ÷l-1| lE - A |= -1-2-1-1-1-1 = (l+1)(l- 3)ll令上式等于零，故特征值为-1， 3 ， 0 ，故该二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 1.故应选 B.æaT öæ1öç 1 ÷ç ÷(6) 设 A = (a,a ,a,a ) 为 4 阶正交矩阵，若矩阵 B = aT ， b= 1 ， k 表示任意常数，1234ç 2 ÷ç ÷çaT ÷ç1÷è 3 øè ø则线性方程组 Bx = b的通解 x =(A)a2 +a3 +a4 + ka1 .(B)a1 +a3 +a4 + ka2 .(C)a1 +a2 +a4 + ka3 .(D)a1 +a2 +a3 + ka4 .【答案】D.【解析】因为 A = (a1,a2 ,a3 ,a4 ) 为 4 阶正交矩阵，所以向量组a1 ,a2 ,a3 ,a4 是一组标准正交向量æaT öç 1 ÷组， 则 r(B) = 3 ， 又 Ba = a T a = 0 ， 所以齐次线性方程组 Bx = 0 的通解为 ka . 而4ç 2 ÷ 44çaT ÷è 3 øæaT öæ1öç 1 ÷ç ÷B(a +a +a ) = a T (a +a +a ) = 1= b ， 故 线 性 方 程 组Bx = b的 通 解123ç 2 ÷123ç ÷çaT ÷ç1÷è 3 øè øx = a1 +a2 +a3 + ka4 ，其中 k 为任意常数.故应选 D.æ 10-1ö(7) 已知矩阵 A = ç 2-11 ÷ ，若下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵Q ，使 PAQ 为对角ç÷ç -12-5÷èø矩阵，则 P ， Q 可以分别取æ 100 öæ 101öæ 100 öæ 100 ö(A) ç 010 ÷ ， ç 013÷ .(B) ç 2-10 ÷ ， ç 010 ÷ .ç÷èøç 001 ÷ç÷èøç 001÷ç÷èøç -321 ÷ç÷èøç 001 ÷æ 100 öæ 101öæ 100 öæ 12-3ö(C) ç 2-10 ÷ ， ç 013÷ .(D) ç 010 ÷ ， ç 0-12 ÷ .ç÷èøç -321 ÷【答案】C.【解析】ç÷èøç 001÷ç÷èøç 131 ÷ç÷èøç 001 ÷æ 10-1100 öæ 10-1100 öæ 10-1100 ö( A, E) = ç 2-11010 ÷ ® ç 0-13-210 ÷ ® ç 01-32-10 ÷ç÷ç÷ç÷ç -12-5001 ÷ç 02-6101 ÷ç 000-321 ÷èøèøèøæ 100 ö= (F , P) ,则 P = ç 2-10 ÷ ;æ 10ç 01ç÷èøç -321 ÷-1öæ 100 ö-3÷ç 010 ÷ç÷ç÷æ 101öæ F öç 000 ÷ ® ç 000 ÷ = æ ö ，则Q = ç 013÷ .故应选 C.èøç÷ç÷Qèøç E ÷ç 100 ÷ç 101 ÷ç÷ç 010 ÷ç 013÷èøèøç 001 ÷ç 001 ÷ç÷èøç 001÷(8) 设 A ， B 为随机事件，且0 < P(B) < 1，下列命题中不成立的是(A) 若 P( A | B) = P( A) ，则 P( A | B) = P( A) .(B) 若 P( A | B) > P( A) ，则 P( A | B) > P( A)(C) 若 P( A | B) > P( A | B) ，则 P( A | B) > P( A) .(D) 若 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，则 P( A) > P(B) .【答案】D.=P( A( A U B)【详解】 P( A | A U B)P( A U B)P( A)P( A) + P(B) - P( AB)P( A | A U B) = P( A( A U B) =P( A U B)P( AB) =P( A U B)P(B) -P( AB)P( A) + P(B) - P( AB)因为 P( A | A U B) > P( A | A U B) ，固有 P( A) > P(B) - P( AB) ，故正确答案为 D.(9)设( X ,Y ) ，( X,Y ) ，L，( X,Y ) 为来自总体 N (m,m;s2 ,s 2;r) 的简单随机样本，令1 122nn1 n 1 n1212q= m1 - m2 ， X = n å X i ， Y = n åYi ，q= X - Y 则i=1i=1s2 +s 2(A) E(q) =q， D(q) = 12 .n 121 2s2 +s 2 - 2rss(B) E(q) =q， D(q) =.ns +s22(C) E(q) ¹q， D(q) = 12 .n 121 2s2 +s 2 - 2rss(D) E(q) ¹q， D(q) =.n【答案】 B【详解】因为 X ,Y 是二维正态分布，所以 X 与Y 也服从二维正态分布，则 X - Y 也服从二维正态分布，即 E(q) = E( X - Y ) = E( X ) - E(Y ) = m1 - m2 =q，qs2 +s 2 - 2rssD( ) = D( X - Y ) = D( X ) + D(Y ) - cov( X ,Y ) = 121 2 ，故正确答案为 B.n1-q1+q(10) 设总体 X 的概率分布为 PX = 1 =， PX = 2 = PX = 3 =，利用来自总体24的样本值 1，3，2，2，1，3，1，2，可得q的最大似然估计值为(A) 1 .3(B) .(C) 1 .(D) 5 .4822【答案】 A .) ()【详解】似然函数 L(q) = (1-q 3 1+q 5 ，241-q1+q取对数ln L(q) = 3ln() + 5 ln() ；24d ln L(q)351求导=+= 0 ，得q=.故正确答案为 A. dq1-q 1+q4二、填空题（本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案写在答题纸指定位置上.）dydx(11) 若 y = cos e- x ，则=.sin 1【答案】 e .2ex=1 dydxsin 1-2 x【详解】 dy = -sin e- x (e- x ×1 )dxx =1 =e .2e5(12) ò 5【答案】6 .xdx =.x2 - 9ò323x5x-1 3d (9 - x 2 )15 d (x 2 - 9)x2 - 9【详解】 ò 5dx +9 - xdx =x2 - 92 ò 59 - x2+ 2 ò3= 6 .(13) 设平面区域 D 由曲线 y =体积为 .【答案】p.4x × sinpx (0 £ x £ 1) 与 x 轴围成，则 D 绕 x 轴旋转所成旋转体的1ò1pp【详解】V = pò ( x sinpx)2 dx = pò x sin 2 pxdx = px = t 1sin 2 tdt =.002 04(14) 差分方程 Dyt = t 的通解为 .【答案】 y = y* + y = 1 t 2 - 1 t + C ， C 为任意常数.22【详解】 y = C , y* = 1 (at +b) ， (t + 1)(a(t + 1) + b) - t(at + 1) = t ， 2at + a + b = t ， a = 1 , b = - 1 ，2y = y* + y = 1 t 2 - 1 t + C , C 为任意常数.xx12x1x2-121x12-11x22(15) 多项式 f (x) =22中 x3 项的系数为 .【答案】-5.【详解】xx12xx2-112-11x-11x21x2-1f (x) = x 1x1 - x 2x1 - 211- 2x 21x21x1-11x21x3-1x2-112-11x所以展开式中含 x3 项的有-x3 , -4x3 ，即 x3 项的系数为-5.(16) 甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中， 再从乙盒中任取一球.令 X , Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与Y 的相关系数 .1【答案】.5æ (0, 0)(0,1)(1, 0)(1,1) öæ 01 öæ 01 ö【解答】联合分布率( X ,Y ) : ç3113÷ , X : ç 11 ÷ Y : ç 11 ÷ç÷ç ÷ç ÷è 105510 øè 22 øè 22 ø1111cov( X ,Y ) = 20 ， DX = 4 , DY = 4 ,即rXY = 5 .三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本小题满分 10 分)11已知limaarctanx®01 1+ (1 + x )x 存在，求a的值.x【答案】a= p( e - e).【详解】.要想极限存在，则左右极限相等；é1又由于 lim êaarctanx®0+ ëx+ (1 +1 ùx ) x ú =ûpa+ e;2é1lim êaarctanx®0- ëx+ (1 +1 ùp1x ) x ú = -a+ ;û2epp11 1从而a+ e = -22a+，即a=ep( e- e).(18)(本小题满分 12 分)(x -1)2 + y2求函数 f (x, y) = 2 ln x +的极值.2x21【答案】(-1, 0) 处取极小值 2； ( , 0) 处取极小值 122- 2 ln 2 .【详解】ì '2x2 + x -1 - y2ï fx =x3= 0ì2x2 + x -1 - y2 = 0（1） íy即íy = 0ï f ' = 0îîï yx21得驻点(-1, 0) ， ( , 0)=2fì''ïxxï(4x +1) x - 3(2x2 + x -1- y2 ) x4ï（2） íï'' = -2 yfxyx3xï f '' = 1ï yy2î（3）驻点(-1, 0) 处，A=3，B=0，C=1， AC - B2 = 3 > 0 ， A > 0故 f (x, y) 在(-1, 0) 处取极小值 2；驻点( 1 , 0) 处，A=24，B=0，C=4， AC - B2 = 3 > 0 ， A > 0211故 f (x, y) 在( , 0) 处取极小值22(19)(本小题满分 12 分)- 2 ln 2 .设有界区域 D 是 x2 + y2 = 1 和直线 y = x 以及 x 轴在第一象限围城的部分，计算二重积分òò e( x+ y )2 (x2 - y2 )dxdy.D【答案】 1 e 2 - 1 e + 1 .848p211 221 p1 22òò e( x + y ) (x2 - y2 )ds=ò 4 cos 2qdqò er (cos q+sin q) r 2 dr 2=ò 4 cos 2qdqò er (cosq+sinq) r 2dr 22D002 00òòp12= 4 cos 2qdq eu (cosq+sinq) udu001 ueu (cosq+sinq)2 du =11 (cosq+ sinq)2 ueu (cosq+sinq)2 du (cosq+ sinq)2ò0=1(cosq+ sinq)=1(cosq+ sinq)4 ò0òte dt(cosq+sinq)2 t4 0e(cosq+sinq)2 -1e(cosq+sinq)2 - 1(cosq+ sinq)2(cosq+ sinq)4qpp上式= 14 cosq- sinq (cosq+sinq)2 dq- 1 4 cosq- sinq e(cosq+sinq)2 - 1dq2 ò0cosq+ sin e2 ò0(cosq+ sinq) 3= 1 ò 2 1eu2 du - 1 ò 2eu2 -12 1 udu2 1u 32222 u2其中1eu2 du=-21 u21u221 u2-31 21eò1 uò1 u d ( e) =e2u21 - ò1 (2 e)(-2u)du =e4- 2 e + ò1u3 du2e2e12 - 111原式=-+ ò u 3du =e 2- e +.842 1848(20)(本小题满分 12 分) 设n 为正整数， y = yn(x) 是微分方程 xy¢ - (n +1) y = 0 满足条件 yn(1) =1n(n +1)的解.¥(1) 求 yn (x) ；(2) 求级数å yn (x) 的收敛域及和函数.n=11n+1ì(1- x) ln(1- x) + x, x Î(-1,1)【答案】(1) yn (x) = n(n +1) x(n +1) y;(2)收敛域-1,1 ， S (x) = íîò n+1dx11, x = 1.1(1)y¢ -= 0 得xy = Ce x= Cxn+1 ， 将yn (1) =n(n +1)带 入 ， 有C = n(n +1) ，yn (x) =1n(n +1)x n+1 ；1¥n+1n=1(2) å n(n +1) x的收敛域为-1,11¥n+1¥ xn+1¥ xn+1n=1设 S (x) = å n(n +1) x=ånn=1-å=(1- x) ln(1- x) + x, x Î(-1,1)n +1n=1又因为 S (x) 在-1,1 连续，所以 S (1) = lim S (x) = 1 ，x®1-所以 S(x) = ì(1- x) ln(1- x) + x, x Î-1,1) .îí1, x = 1(21)(本小题满分 12 分)æ 210 öç÷设矩阵 A= ç 120 ÷ 仅有两个不同的特征值. 若 A 相似于对角矩阵，求 a ， b 的值，并求可ç 1ab ÷èø逆矩阵 P ，使 P-1 AP 为对角矩阵.l- 2【详解】由 lE - A =-1-10l- 20= (l- b)(l- 3)(l- 1) = 0-1-al- b当 b = 3 时，由 A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则æ 1-10 öç÷(3E - A) = ç-110 ÷ 知， a = -1 ，ç -1-a0 ÷èøæ 1 öæ 0 ö此时，l = l = 3 所对应特征向量为a = ç 1 ÷ ,a = ç 0 ÷ ，01121ç ÷2ç ÷æ -1öç ÷ç ÷è øè øæ 3öl = 1所对应的特征向量为a = ç 1 ÷ ，则 P-1 AP = ç3÷33ç÷ç÷ç 1 ÷ç1÷èøèø当 b = 1 时，由 A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则æ -1 (E - A) = ç-1-10ö-10 ÷ ，知 a = 1 ，ç÷ç -1-a0÷èøæ -1öæ 0 ö此时，l = l = 1所对应特征向量为b = ç 1 ÷ ,b = ç 0 ÷ ，01121ç÷2ç ÷æ1öç÷ç ÷èøè øæ 1öl = 3 所对应的特征向量为a = ç1÷ ，则 P-1 AP = ç1÷ .33ç ÷ç÷ç1÷ç3÷è øèø(22)(本小题满分 12 分)Y在区间(0, 2) 上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为 X ,较长的一段长度记为Y ,令 Z =.X(1) 求 X 的概率密度；(2) 求 Z 的概率密度.ç Y ÷(3) 求 E æ X ö .èøì1, 0 < x < 1ì2, z ³ 1【答案】(1)x : f (x) = íî0, 其他；(2)fZ (z) = (FZ(z)¢ = ï(z +1)2.(3)-1+ 2 ln 2 .【详解】(1)由题知： x :íf (x) = ì1, 0 < x < 1 ；îï0, 其他îí 0, 其他2 - X(2) 由 y = 2 - x ，即 Z =，先求 Z 的分布函数：XF (z) = P Z £ z = P ì 2 - X £ z ü = P ì 2 -1 £ z üZíXýí Xýîþîþ当 z < 1 时， FZ (z) = 0 ； 当 z ³ 1 时，ì 2üì2 ü 22FZ (z) = P í-1 £ z ý = 1 - P íX £ý = 1 - ò z +11dx =1 -；î Xþîì2, z ³ 1z +1þ0z +1íï2fZ (z) = (FZ (z)¢ =(z +1)；îï0, 其他(3) E æ X ö = E æXö = 1 x× 1dx = -1+ 2 ln 2 .Y2 - Xç÷ç÷èøèøò0 2 - x