数学奥林匹克高中训练题.docx

数学奥林匹克高中训练题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1(训练题12)在数38 , 47 ,56 , 65 中，最大的一个是(B) (A) 38 (B)47 (C)56 (D)652(训练题12)设 z1 = 1+ i, z2 = 2 + i, z3 = 3 + i 则arg(-10 3 + z1z2 z3 ) 等于(D)pp2p5p(A)(B)(C)(D)63363(训练题12)甲命题：平面a 平面b ，平面 b 平面g ，则平面a /平面g 乙命题：平面a 上不共线的三点到平面 b 的距离相等，则平面a /平面b 则(D)(A) 甲是真命题，乙是真命题(B)甲是真命题，乙是假命题(C) 甲是假命题，乙是真命题(D)甲是假命题，乙是假命题4(训练题12)若a =3+ 17 nn =1,2,3, )，其中x 表示不超过 x 的最大整数，则是数列a (C)n() (n2(A) 各项均为奇数(B)各项均为偶数(C) 奇数项是奇数，偶数项是偶数(D)奇数项是偶数，偶数项是奇数5(训练题12)方程 x2 + x-1= xex2 -1 +(x2 -1)ex 的解集为 A (其中， e 是无理数，e = 2.71828)则A 中的所有元素的平方和等于(C)(A)0(B)1(C)2(D)46(训练题12)在平面直角坐标系中，由不等式 y100 +1y100£ x100 +1x100, x 2 + y 2 £ 100 所限定的图形的面积等于(A)(A) 50(B) 40(C) 30(D) 20二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1(训练题12)若a, b, c 均为整数，且使得= a + b sin C o 则 a + b =19 - 8sin 50oc22 ( 训练题12) 假如关于 x 的不等式 x-a < x + x+1 的解集为一切实数，那么 a 的取值范畴是-1 < a < 03(训练题12)已知棱长为1的正方体 ABCD - A1B1C1D1 ，则异面直线 AC1 与 B1C 之间的距离等于664(训练题12)数2x,1, y -1 按指出的顺序成等差数列，同时 y + 3, x +1 + x -1,cos(arccos x) 按指出的顺序成等比数列.则 x + y + xy = 35(训练题12)在年龄彼此不等的30个人中选出两组，第一组12个人,第二组15个人,使得第一组中年龄最长的人比第二组中年龄最小的人的年龄要小那么，选取方法数共有4060种xxxxx6(训练题12)若是实数，则方程= + + +L+x +x 的解集是0,4,5(其中x表示不超过 x 的最大整数)23419931994第二试一、(训练题12)(本题满分30分)设 f (x) = x2 - (4a - 2) x - 6a2 在区间0,1 上的最小值为m 试写出用 a 表示m 的表达式m = F(a) 并回答：当 a 为何值时， m 取得最大值？那个最大值是多少？(a = 0, m = 0)二、(训练题12)(本题满分30分)在三棱锥 A - BCD 中ÐDAB+ ÐBAC+ ÐDAC=90,ÐADB=ÐBDC=ÐADC=90.又知 DB = a, DC = b 试求在三棱锥 A - BCD 内所容体积最大的球的半径( r =ab)2(a + b)三、(训练题12)(本题满分30分) 已知集合 M = 2,3,4,5,6 L,1993,1994 证明： M 中任意取出15 个两两互素的元素，其中至少有一个是质数四、(训练题12)(本题满分30分)用m ´ n 个非负实数排成如下一个m 行n 列的矩形数表：a11 ,a21 ,a12 ,a22 ,a13 ,a23 ,，am1 ,am 2 ,am3 ,，a1n ,G1a2 n ,G1amn ,GmA1,A2 ,A3 ,，An分别写出各行诸数的集合平均数 G , G , G ，在写出各列诸数的算术平均值 A1 , A2 ,L, A .令12mn1A(G , G , G ) =(G + G + G ) ， G( A , A , A ) = n A × A ×× A 12mm12m12n12n求证: G( A1 , A2 ,L An ) ³ A(G1 , G2 ,L, Gm )