2021_2022学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升含解析新人教A版选修2_1.docx
第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若实数k满足0<k<9,则曲线x225-y29-k=1与曲线x225-k-y29=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等解析由于0<k<9,则9-k>0,即曲线x225-y29-k=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±34-k,0);25-k>0,即曲线x225-k-y29=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±34-k,0),故两曲线的焦距相同,故答案为A.答案A2.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=22x,且与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为()A.x28-y24=1B.x25-y24=1C.x24-y22=1D.x26-y23=1解析由椭圆x212+y23=1的焦点为(±3,0),可得双曲线的c=3,即a2+b2=9,由双曲线的渐近线方程为y=±bax,可得ba=22,解得a2=6,b2=3,则双曲线的方程为x26-y23=1.故选D.答案D3.已知双曲线C:x2-y2b2=1(b>0)的一个焦点为(-2,0),则双曲线C的一条渐近线方程为()A.x+3y=0B.3x+y=0C.x+3y-3=0D.3x+y-3=0解析由题意知,a=1,c=2,又c2=a2+b2,解得b=3.所以双曲线C的一条渐近线方程为y=-bax=-3x,即3x+y=0.故选B.答案B4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x25-y220=1B.x220-y25=1C.3x225-3y2100=1D.3x2100-3y225=1解析由题意知,双曲线的渐近线为y=±bax,则ba=2.因为双曲线的左焦点(-c,0)在直线l上,所以0=-2c+10,故c=5.又因为a2+b2=c2,所以a2=5,b2=20,故双曲线的方程为x25-y220=1.答案A5.两正数a,b的等差中项为52,等比中项为6,且a>b,则双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e为()A.13B.53C.53D.133解析因为两正数a,b的等差中项为52,等比中项为6,所以a+b=5,ab=6,解得a=3,b=2或a=2,b=3,因为a>b,所以a=3,b=2,所以e=ca=a2+b2a2=133.故选D.答案D6.双曲线x24-y212=1的焦点到渐近线的距离为. 解析双曲线x24-y212=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),渐近线方程为y=±3x,故焦点(4,0)到渐近线y=3x的距离d=433+1=23.答案237.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2m-y2m2+4=1的离心率为5,则m的值为. 解析由题意得m>0,所以a=m,b=m2+4,c=m2+m+4.由e=ca=5,得m2+m+4m=5,解得m=2.答案28.若一条双曲线与x28-y2=1有共同渐近线,且与椭圆x220+y22=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为. 解析由椭圆方程为x220+y22=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=32,即椭圆的焦距为62,设与双曲线x28-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为x28-y2=(0),所求双曲线的焦点在x轴上,则>0,双曲线方程化为x28-y2=1,根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8+=18,解得=2,故所求双曲线的方程为x216-y22=1.答案x216-y22=19.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为53;(2)与双曲线x29-y216=1有共同的渐近线,且过点(-3,23).解(1)设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则由题可得2b=8,e=ca=53,从而b=4,c=53a,代入c2=a2+b2,得a2=9,故双曲线的标准方程为x29-y216=1.(2)设所求双曲线方程为x29-y216=(0),将点(-3,23)代入得=14,所以双曲线方程为x29-y216=14,即4x29-y24=1.10.已知双曲线C的方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),离心率e=52,顶点到渐近线的距离为255,求双曲线C的方程.解依题意,双曲线焦点在y轴上,一个顶点坐标为(0,a),渐近线方程为y=±abx,即ax±by=0,所以aba2+b2=abc=255.又e=ca=52,所以b=1,即c2-a2=1,52a2-a2=1,解得a2=4,故双曲线方程为y24-x2=1.能力提升1.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若MAN=60°,则C的离心率为()A.2B.233C.5D.52解析因为MAN=60°,而AM=AN=b,所以AMN是等边三角形,A到直线MN的距离为32b,又A(a,0),渐近线方程取y=bax,即bx-ay=0,所以|ab|a2+b2=32b,化简得e=ca=23=233.故选B.答案B2.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+3y+25=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x22-y218=1B.x218-y22=1C.x220-y25=1D.x225-y2100=1解析因为双曲线的渐近线为y=±bax,其中一条渐近线与直线l平行,则有-ba=-13,所以a2=9b2,又因为双曲线的焦点在x轴上,而其中一个焦点在直线l上,则直线l与x轴焦点(-25,0)为双曲线焦点,即c=25,又因为c2=a2+b2,得20=10b2,则b2=2,a2=18,所以双曲线方程为x218-y22=1,答案为B.答案B3.若在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(2,+)B.(1,2)C.(2,+)D.(1,2)解析到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=c2.依题意,在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,所以直线x=c2与右支有两个交点,故应满足c2>a,即ca>2,得e>2,故选C.答案C4.已知双曲线y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为. 解析依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=34b,于是双曲线渐近线方程为y=±abx=±34x.答案y=±34x5.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则双曲线的方程为. 解析由题意得c=5,ba=2,c2=a2+b2,解得a=1,b=2.则双曲线的方程为x2-y24=1.答案x2-y24=16.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于. 解析令x=-c,得y2=b4a2,则|MN|=2b2a.由题意得a+c=b2a,即a2+ac=c2-a2,ca2-ca-2=0,ca=2或ca=-1(舍去),即离心率为2.答案27.已知双曲线C与椭圆x225+y29=1有相同的焦点,且它们的离心率之和为145,求双曲线的标准方程、渐近线方程、实轴长和虚轴长.解由x225+y29=1可知椭圆中a12=25,b12=9,所以c2=a12-b12=16,解得c=4,所以椭圆的焦点坐标为(-4,0)和(4,0),离心率为e1=45,不妨设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则其离心率e=ca=145-45=2,由c=4,可知a=2,所以b2=c2-a2=42-22=12,b=23,故所求双曲线的标准方程为x24-y212=1,渐近线方程为y=±bax,y=±3x,实轴长为2a=4,虚轴长为2b=43.8.已知双曲线与椭圆x225+y29=1有相同焦点,且经过点(4,6).(1)求双曲线方程;(2)若双曲线的左、右焦点分别是F1,F2,试问在双曲线上是否存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.解(1)椭圆x225+y29=1的焦点在x轴上,且c=25-9=4,即焦点为(±4,0),于是可设双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则有a2+b2=16,16a2-36b2=1,解得a2=4,b2=12,故双曲线方程为x24-y212=1.(2)假设在双曲线上存在点P,使得|PF1|=5|PF2|,则点P只能在右支上.由于在双曲线x24-y212=1中,由双曲线定义知,|PF1|-|PF2|=2a=4,于是得|PF1|=5,|PF2|=1.但当点P在双曲线右支上时,点P到左焦点F1的距离的最小值应为a+c=6,故不可能有|PF1|=5,即在双曲线上不存在点P,使得|PF1|=5|PF2|.5
