【精品】2022届新高考二轮复习第4讲转化与化归思想学案.docx
第4讲 转化与化归思想A 真题回放感悟真题体验高考（授课提示：见学生用书P7）1.（2020全国卷m）在平面内，A, B是两个定点，C是动点，假设亚或：=1,那么点C的 轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线解析:A 设AB = 2a（a>0）,以AB的中点为坐标原点建立如下图的平面直角坐标系，那么 A(a, 0), B(a, 0),设 C(x, y)» 可得AC = (x+a, y), BC = (xa, y),从而 AC 证=(x+a)(xa)+y2,结合题意可得(x+a)(xa)+y2= 1,整理可得x? + y2 = a2+l,即点C的轨迹是以AB的中点为圆心，正不为半径的圆.故 选A.2.(2020全国卷I)A为抛物线C： y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离 为12,到y轴的距离为9,那么p=()A. 2 B.3C.6 D.9解析：C 设抛物线的焦点为F, A的横坐标为xa,且xa20,由抛物线的定义知|AF|= xa+Q12,即 12=9+今 解得 p=6.应选 C.3.(2021全国乙卷)设 a=2ln 1.01, b=In 1.02, © = «551.那么()A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<a<b解析：B a=21n 1.01 = ln 1.012=ln(14-0.01)22)>ln 1.02=b,所以 b<a.下面比拟c与a, b的大小关系.记 f(x)=21n( 1 +x)-N 1 +4x+ 1,那么 f(0)=0,f，= 22_2 (l+4x-l-x)+x +4x(1 +x) 1 +4x由于 1 +4x(14-x)2=2xx2=x(2x),所以当 0<x<2 时，l+4x-(l+x)2>0,即M+4x>(1+x), f' (x)>0,所以f(x)在0, 2上单调递增,所以f(0.01)>阳)=0,即 21n 1.01>/l04-1, Hpa>c.令 g(x) = ln(l +2x)+4x+ I.那么 g(0)=0,222 C/l+4x-l 2x)°()"2x W+4x (1+x) W+4x由于 l+4x(l+2x)2 =4x?,在 x>0 时，l+4x-(l+2x)2<0,所以g'(x)vO,即函数g(x)在0, +8)上单调递减，所以 g(0.()l)vg(0)=0,即 In L02<VnS-l,即 b<c.综上，b<c<a,应选B.4.(2021全国乙卷)设函数f(x) = ln(ax),x=0是函数y=xf(x)的极值点. 求a：(2)设函数 g(x) = x*f(：；).证明:g(x)<l.解析：(1)由 f(x) = ln(a-x)=f' (x)=,x-ay = xf(x)=>y, =ln(a-x)+=7 xa又x=0是函数y = xf(x)的极值点,所以 y'(0)=lna=0,解得 a=L(2)证明：由(1)得 f(x) = ln(l-x),x<l 且 xWO._x+f (x) _x + ln (1-x)S(X)= xf (x) = xln (1-x). 八 .x + ln (1 -x)当 x£(。, 1)时'要证 g(x)=x-Lx)<1因为 x>0, In(lx)<0,所以 xln(l x)<0, 即证 x + ln(l x)>xln(l x), 化简得 x+( 1 x)ln( I x)>0.一，,x + ln ( I x)同理，当x-8, 0)时，要证g(x)=Q)因为 x0, ln(l x)>0,所以 xln(l x)0,即证 x + ln(l x)>xln(l x),化简得 x+( 1 x)ln(l x)>0.令 h(x) = x+(l x)ln(l x),再令 t=lx,那么 t£(0, 1)U(1, 4-oo), x=l-t,令 g=1t+Unt, g' (t)= i+lnt4-l=ln t,当l£(0, I)时，g' (t)<0, g单调递减，假设g(l)能取到，那么g(l)=O,故虱。>虱1)=0;当te(L +8)时,gz(t)>o, g(t)单调递增，假设g(l)能取到，那么g(l)=O,故鼠 =0.x In ( I x )综上所述，g(x)=-7-_VI 在 xW(-8, 0)U(0, 1)恒成立. xln (1x)0一考情提示1 .题型及分值：转化与化归思想在选择题、填空题与解答题中都会出现.分值在512 分.难度稍难.2 .热点知识考查：贯穿高考各个知识面点的考查.尤其是命题的四种形式、补集思想、 全称命题与特称命题的转化、不等式恒成立向函数的转化、抛物线的焦半径向定义转化、“数” 向“形”的转化、空间线与线、面与面的转化等是常考知识.3 .考前须知：转化与化归要做到等价性._3考点诠释 A_发散思维突破难点（授课提示：见学生用书P7）7 特殊与一般的转化把般问题特殊化，解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果，既准确又迅速.常 用的特例有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等，要注意恰当利 用所学知识、恰中选择特殊量.从特殊实例经过观察归纳得到一般性结论.（2021 山西太原模拟）设四边形ABCD为平行四边形，|魂| = 6, |AD|=4,假设点M,N满足血=3证，DN = 2NC,那么疝屈=（）A.20 B.15C.9 D.6解析：C （方法一：特例法） 假设四边形ABCD为矩形，建系如图.由加 1 = 3证，DN=2NC,知 M(6, 3), N(4, 4),所以八1=(6, 3), NM = (2, -1),AM-NM=6X2 + 3X（-1）=9.（方法二：常规法） 如下图，由题设知：-> 3 -AM = AB + BM = AB+»D, 4NM = NC-MC=AB-AD,.3 .1 .所以 AMNM = (AB+jADXAB-;AD) J=|AB|解析：(一§，1)由题意知，g(x) = 3x2ax+3a5, 令(p(a)=(3x)a+3x25(iWaWl).对一 IWaWL 版有 g(x)V0,即(p(a)VO,-|AD|2+|aBAD-|aBM)3164413=-X36j-X16316=9.那么,(P (1) V0，.0 (-1) <0，所以，3x2 x _2<0 >7,解得一 ：;VxVL3x2 + x-8<0，3(2021河南开封质检)函数f(x)=2 + 3axl, g(x)=f(x)-ax-5,其中F(x)是 f(x)的导函数.对满足一iWaWl的一切a的值，都有g(x)<0,那么实数x的取值范围为9故当x£(一/1)时，对满足一1 WaW 1的一切a的值，都有g(x)V0.1般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而到达成批处理问题的效果.2,正与反的转化否认性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可.(2020福建省龙岩市质检)假设对于任意 1, 2,函数g(x) = x3 +(T+2)x2 -2x在区间(3 3)上总不为单调函数，那么实数m的取值范围是()A(-5, -y) B.(-y，-5)C.(-5, -2) D.(5, +8)解析：B g,(x)=3x2+(m+4)x2,假设g(x)在区间(I, 3)上总为单调函数，那么或x)20在(t, 3)上恒成立，或g(x)WO在(t, 3)上恒成立.由得3x2+(m+4)x- 220,22即m+423x在x£(t, 3)上恒成立，所以m+423t恒成立，又t£1, 2, Xt2那么 m+42,一3X 1 = - 1,即 m25.7237由得m+4W二一3x在x£(t, 3)上恒成立，那么m+4W;9,即mWx3337所以函数g(x)在区间(3 3)上总不为单调函数，m的取值范围为ml-vmv-5.应选B.(2020江苏省扬州市调研)假设抛物线y=x?上的所有弦都不能被直线y=k(x-3)垂直平分，那么k的取值范围是() A(-8, i B.(-8, 3)C.(一；, +8)4-00)解析：D 设抛物线y = x?上两点A(xi, xi), B(X2，x3)关于直线y = k(x3)对称，ABS J X|+X2X?+x5 L E t XT x51X1+X21的中点为 p(xo，yo),那么 Xo=-, yo = -.由题设知=一1，所以一;=.22Xi xz k2 2k又AB的中点P(x(), yo)在直线y=k(x3)上， . xt+xi , X1+X2 .、6k+1所以二二k(二3) = ,.16k+1所以中点P(一五，一). ZK乙由于点P在y>x?的区域内，那么一)k： 1(一92, /2.K整理得(2k+l)(6k2-2k+l)<0,解得 k<.因此当kv3时，抛物线y = x之上存在两点关于直线y = k(x 3)对称， 于是当k23时，抛物线y = x?上不存在两点关于直线y=k(x 3)对称.所以实数k的取值范围是一；，+8).应选D.一般地，题目假设出现多种成立的情形，那么不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单.因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否认性命题情形的问题.3 k数与形的转化充分利用数形结合思想实现数与形的转化，即把形(数)转化为数(形)，数形互补、互换 获得问题的解题思路.(2021河北唐山二模)设复数z满足忆一2i|= I,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是()A.1 B.x/3cMd.3解析：D 设 z=x+yi(x, y£R),那么|x+(y2)i|= 1,所以,x?+ (y2) 2 = |,即 x? + (y 2)2 = 1,所以复数z对应的点的轨迹是以(0, 2)为圆心，1为半径的圆，所以|z扁x=2+l=3.所以复平面内z对应的点到原点距离的最大值是3.应选D.(2021江苏南通四模)在棱长为2的正方体ABCD- AiBiCiDi中N为BC的中点，当点M在平面DCGDi内运动时，有MN平面AID,那么线段MN的最小值为()A.I B 专解析：B由题意可知，如下图，取CD, DDi的中点分别为E, F,连接NE, EF, NF,易知平而NEF平而AiBD,所以点M在EF上.又NE=EF=L NF=&,所以NNFE=30° ,那么 NMnnn=NF=y.思维启迪缪形结合策略就是将数与形融为一体的考虑问题的策略，实质是将抽象的数学 语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息转换及其 优势互补与整合.目盅4"函数、方程、不等式的转化在函数、不等式等问题中常将一个更杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或 熟悉的函数、方程、不等式等.一般可将函数的零点与方程的根相互转化，将不等式关系转 化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.(2021四川资阳二诊淀义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2) = N12+f (x),那么f(2021) = ()C.3 D.4解析：D 由 f(x+2)=J12 + f(X),得 f(一x+2)=/12 + f (-x) =22 + f (x) =f(x + 2),那么f(x)的图象关于直线x=2对称，于是f(x+4) = f(x) = f(x),故氏x)的一个周期为4.由 f(x + 2)=N12 + f (x) , 令 x = - l 得 f(l) = f(一l+2)="/12+f ( 1) =-12+f (1) X),那么f(l)F-f- 12=0,解得f(l)=4或一3(负值舍去)，所以 f(2021)=f(l)=4.应选D.©3(2021湖北武汉市质检)设函数f(x)=2sin(ox+(p)1(3>0),假设对于任意实数cp, f(x)在区间4上至少有2个零点，至多有3个零点，那么co的取值范围是()A ,8 16* 16、H)B.4, )CM争呜?)解析：B 令 f(x)=0,那么 sin®x+(p)=5.令 t=(ox+(p,那么 sin (=5,那么问题转化为y = sin t在区间咛co+(p,+(p上至少有两个，至多有三个3使得 sin l=J,求的取值范围.作出y = sin t和y=g的图象，观察交点个数,可知使得sint=；的最短区间长度为2n,最长长度为2n由题意得 2 n W（彳-3 +（p）（-co 4-（p）2 n 4-,解得 4W 3竽.应选B.函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助.因此借助函数、方程、不等式进行转化 与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值问题，从而求出参变量的范围.
