2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数定向训练练习题(含详解).docx

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数定向训练 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、ABC中，tanA1，cosB，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D锐角三角形2、在中，C=90°，A、B、C的对边分别为、，则下列式子一定成立的是（ ）ABCD3、如图，E是正方形ABCD边AB的中点，连接CE，过点B作BHCE于F，交AC于G，交AD于H，下列说法：； 点F是GB的中点；SAHG=SABC其中正确的结论的序号是（ ）ABCD4、在RtABC中，C90°，AC5，BC3，则sinA的值是（ ）ABCD5、已知在RtABC中，C=90°，A=60°，则 tanB的值为（ ）AB1CD26、如图，在中，点P为AC上一点，且，则的值为（ ）A3B2CD7、如图，在ABC中，C90°，BC1，AB，则下列三角函数值正确的是（）AsinABtanA2CcosB2DsinB8、请比较sin30°、cos45°、tan60°的大小关系（）Asin30°cos45°tan60°Bcos45°tan60°sin30°Ctan60°sin30°cos45°Dsin30°tan60°cos45°9、在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，BAC的位置如图所示，则sinBAC的值为（）ABCD10、如图，正方形ABCD中，AB6，E为AB的中点，将ADE沿DE翻折得到FDE，延长EF交BC于G，FHBC，垂足为H，连接BF、DG以下结论：BFED；DFGDCG；FHBEAD；tanGEB；其中正确的个数是（ ）A4B3C2D1第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在中，以BC为斜边作等腰，若，则BC边的长为_2、若x为锐角，且cos（x20°），则x_3、如图，ABC中，BDAB，BD、AC相交于点D，ADAC，AB2，ABC150°，则DBC的面积是_4、已知0°<a<90°，当a =_时，sina =；当a =_时，tana=5、如果斜坡的坡度为13，斜坡高为4米，则此斜坡的长为_米三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，ABC中，ADBC，垂足是D，若BC14，AD12，求：（1）AC的值（2）sinC的值2、将抛物线，与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D（1）求抛物线的表达式和点D的坐标；（2）ACB与ABD是否相等？请证明你的结论；（3）点P在抛物线的对称轴上，且CDP与ABC相似，求点P的坐标3、抛物线与 轴相交于两点 (点在点左侧), 与轴交于点, 其顶点的纵坐标为 4 （1）求该抛物线的表达式；（2）求 的正切值；（3）点在线段的延长线上, 且 , 求 的长4、如图，O是ABC的外接圆，点D在OC的延长线上，OD与AB相交于E，cosA，D30°（1）证明：BD是O的切线；（2）若ODAB，AC3，求BD的长5、如图，在ABCD中，过B作BECD于点E，连结AE，F为AE上一点，且AFBD（1）求证：ABFEAD（2）若，AD6，BAE30°，求BF的长-参考答案-一、单选题1、C【分析】先根据ABC中，tanA=1，cosB=求出A及B的度数，进而可得出结论【详解】解：ABC中，tanA=1，cosB=，A=45°，B=45°，C=90°，ABC是等腰直角三角形故选：C【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键2、B【分析】根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可【详解】解：由题意可得，如下图：，则，A选项错误，不符合题意；，则，B选项正确，符合题意；，则，C选项错误，不符合题意；，则，D选项错误，不符合题意；故选B，【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解3、D【分析】先证明ABHBCE，得AH=BE，则，即，再根据平行线分线段成比例定理得：即可判断；设BF=x，CF=2x，则BC=x，计算FG= 即可判断；根据等腰直角三角形得：AC=AB，根据中得：即可判断；根据，可得同高三角形面积的比，然后判断即可【详解】解：四边形ABCD是正方形，AB=BC，HAB=ABC=90°，CEBH，BFC=BCF+CBF=CBF+ABH=90°，BCF=ABH，ABHBCE，AH=BE，E是正方形ABCD边AB的中点，BE=AB，即AH/BC，故正确；设BF=x，CF=2x，则BC=x，AH=x，故不正确；四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=90°，AC=AB，故正确；，故正确故选D【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键4、A【分析】先根据银河股定理求出AB，根据正弦函数是对边比斜边，可得答案【详解】解：如图，C90°，AC5，BC3， ，故选：A【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键5、A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得，根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】C=90°，A=60°，又故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键6、A【分析】过点P作PDAB交BC于点D，因为，且，则tanPBD=tan45°=1，得出PB=PD，再有，进而得出tanAPB的值【详解】解：如图，过点作交于点，,，且，PBD=45°，又，故选A【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够正确作出辅助线进行求解7、D【分析】根据正弦、余弦及正切的定义直接进行排除选项【详解】解：在ABC中，C90°，BC1，AB，；故选D【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的求法是解题的关键8、A【分析】利用特殊角的三角函数值得到sin30°，cos45°，tan60°，从而可以比较三个三角函数大小【详解】解答：解：sin30°，cos45°，tan60°，而，sin30°cos45°tan60°故选：A【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，实数比大小，准确计算是解题的关键9、D【分析】先求出ABC的面积，以及利用勾股定理求出，利用面积法求出，进而求解即可【详解】解：如图所示，过点B作BDAC于D，由题意得：，故选D【点睛】本题主要考查了勾股定理和求正弦值，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造直角三角形10、A【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可【详解】解：正方形ABCD中，AB=6，E为AB的中点AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，A=C=ABC=90°ADE沿DE翻折得到FDEAED=FED，AD=FD=6，AE=EF=3，A=DFE=90°，BE=EF=3，DFG=C=90°，EBF=EFB，AED+FED=EBF+EFB，DEF=EFB，BFED，故结论正确；AD=DF=DC=6，DFG=C=90°，DG=DG，RtDFGRtDCG，结论正确；FHBC，ABC=90°ABFH，FHB=A=90°EBF=BFH=AED，FHBEAD，结论正确；RtDFGRtDCG，FG=CG，设FG=CG=x，则BG=6-x，EG=3+x，在RtBEG中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2，解得：x=2，BG=4，tanGEB=，故结论正确故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强二、填空题1、2【解析】【分析】根据题意作出图形，过点作于点，则，由是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据正切的定义求得，进而求得【详解】解：如图，过点作于点，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，即解得故答案为：2【点睛】本题考查了正切的定义，解直角三角形，根据题意作出图形是解题的关键2、50°【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，求得x-20°的值，即可求解【详解】解：cos(x-20°)=32，x-20°=30°，x=50°故答案为：50°【点睛】此题考查了根据三角函数值求角，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值3、3314#3143【解析】【分析】过点作，交延长线于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再解直角三角形可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式即可得【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，解得，又，在中，即，解得，解得，则的面积是，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键4、 30° 60°【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可以得解【详解】解：因为，故答案为30°；60°【点睛】本题考查三角函数的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键5、【解析】【分析】根据坡度比求出斜坡水平距离，最后利用勾股定理求出斜坡长即可【详解】解：根据坡度的定义可知，斜坡高：斜坡水平距离=1：3斜坡高为4米 斜坡水平距离为12米由勾股定理可得：斜坡长为米故答案为：【点睛】本题主要是考察了坡度的定义以及勾股定理求边长，熟练掌握坡度定义，求解斜坡水平距离是解决此类问题的关键三、解答题1、（1）13；（2）【解析】【分析】（1）首先根据的三角函数求出BD的长度，然后得出CD的长度，根据勾股定理求出AC的长度；（2）由，代值计算即可【详解】（1）在中，；（2）在中，【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键2、（1），；（2）相等，理由见解析；（3），【解析】【分析】（1）根据抛物线与轴交于点和点，将点和点代入，求出即可，再化为顶点式；（2）先由、两点的坐标，得出，再根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，则由正切函数的定义求出，在中，由正切函数的定义也求出，得出，则，即；（3）设点的坐标为，先由相似三角形的形状相同，得出是锐角三角形，则，再根据，得到与是对应点，所以分两种情况进行讨论：；根据相似三角形对应边的比相等列出关于的方程，解方程即可【详解】解：（1）将点和点代入，解得：，顶点的坐标为；（2）与相等，理由如下：如图，点时，即点坐标为，又，在中，在中，即； （3）点在平移后的抛物线的对称轴上，而的对称轴为，可设点的坐标为是锐角三角形，当与相似时，也是锐角三角形，即点只能在点的下方，又，与是对应点，分两种情况：如果，那么，即，解得，点的坐标为；如果，那么，即，解得，点的坐标为综上可知点的坐标为或【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有求抛物线的解析式，对称轴、顶点坐标的求法，勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中解题的关键是注意两个三角形相似没有明确对应顶点时要注意分析题意分情况讨论结果3、（1）抛物线的表达式为；（2）；（3）【解析】【分析】（1）点代入即可得出c的值，再根据点D的纵坐标得出a的值，由此得出点D的坐标；（2）过点B作，求出交点坐标，得出，；由面积公式列出方程计算出BE、EC的长度，即可得出 的正切值；（3）过点D作轴，过点A作，得出；证明，根据相似比得出NB、NA的长度，根据线段加减推论出CF的长度【详解】解：（1）把点代入得：当时，顶点的纵坐标为 4故抛物线的表达式为（2）过点B作交于E点，令则 故， （3）过点D作轴，过点A作， 当点F在CB延长线上，F只能在第四象限，故【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，解题关键是确定出抛物线解析式，是一道中等难度的中考常考题4、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OB，由cosA得A30°，则BOD2A60°，而D30°，可求得OBD90°，根据切线的判定定理即可证明；（2）由ODAB，根据垂径定理得BEAE，则BCAC3，再证明BOC是等边三角形，则OBBC3，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,可得OD2OB6，根据勾股定理即可求出BD的长【详解】（1）证明：如图，连接OB，cosA，且cos30°，A30°，ABOC，BOC2A60°，BOD60°，D30°，OBD180°60°30°90°，OB是O的半径，且BDOB，BD是O的切线（2）解：如图，ODAB，EBAE，BCAC3，OBOC，BOC60°，BOC是等边三角形，OBBC3，OBD90°，D30°，OD2OB6，BD3，BD的长为3【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值、切线的证明、垂径定理以及直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键5、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得，推，再根据，证三角形相似，用的是两角对应相等两个三角形相似；（2）先根据，推，在直角三角形中，用三角函数求出的长，再根据，得比例线段，把已知的线段代入计算即可【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，；（2）解：，解得：【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是熟练应用平行四边形的性质和相似三角形的判断，三角函数的应用与相似比例线段的结合