2012-2022高考真题分类汇编及详解7.向量含答案.pdf

12012-2022 高考真题分类汇编及详解高考真题分类汇编及详解向量向量20222022 题组题组1（甲卷）设向量a，b的夹角的余弦值为13，且1a，3b，则2abb【答案】11【解析】代入展开即可2.（乙卷）已知向量,a b满足1a，3b，23ab，则a b A2B1BC1D2解析：由题设，23ab，得22449aa bb，代入1a，3b，有44a b，故1a b.选择 C3（新高考 1 卷）在ABC中，点D在边AB上，2BDDA记CAm，CDn，则CB A32mnB23mnC32mnD23mn【答案】B【解析】因为3CBCAABCAAD ，又因为ADCDCA ，所以23CBCACD ，即23CBmn 故选 B4（新高考 2 卷）已知(3,4)a，(1,0)b，catb，,a cb c ，则t A6B5C5D6【答案】C【解析】由已知有(3,4)ct，cos,cos,a cb c ，故93163|5|1ttcc，解得5t.故选 C.2012-20212012-2021 题组题组一、选择题一、选择题1(2020 年高考数学课标卷理科)已知向量 a，b 满足|5a，|6b，6a b，则cos,=a ab()2A3135B1935C1735D19352(2019 年高考数学课标全国卷理科)已知2,3AB ，3,ACt，1BC ，则AB BC ()A3B2C2D33(2019 年高考数学课标全国卷理科)已知非零向量a，b满足2ab，且abb，则a与b的夹角为()A6B3C23D564(2019 年高考数学课标全国卷理科)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512(510.6182，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能是()A165cmB175cmC185cmD190cm5(2018 年高考数学课标卷（理）)已知向量a，b满足|1a，1 a b，则(2)aab()A4B3C2D06(2018 年高考数学课标卷（理）)在ABC中,AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB ()A3144ABAC B1344ABAC C3144ABAC D1344ABAC 7(2017 年高考数学课标卷理科)在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若APABAD ，则的最大值为()A3B2 2C5D28(2017 年高考数学课标卷理科)已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC 的最小值是()3A2B32C43D19(2016 高考数学课标卷理科)已知向量13(,)22BA ,3 1(,)22BC ,则ABC()A30B45C60D12010(2016 高考数学课标卷理科)已知向量(1,)(3,2)am b，=，且()abb+，则m()A8B6C6D811(2015 高考数学新课标 1 理科)设 D 为 ABC 所在平面内一点3BCCD ，则()A1433ADABAC B1433ADABAC C4133ADABAC D4133ADABAC 12(2014 高考数学课标 2 理科)设向量 a,b 满足|a+b|=10，|a-b|=6，则 ab=()A1B2C3D5二、填空题二、填空题13(2021 年高考全国甲卷理科)已知向量3,1,1,0,abcakb若ac，则k _14(2021 年高考全国乙卷理科)已知向量1,3,3,4ab，若()abb，则_15(2020 年高考数学课标卷理科)设,a b为单位向量，且|1ab，则|ab_16(2020年高考数学课标卷理科)已知单位向量a,b的夹角为45，k ab与a垂直，则k=_17(2019 年高考数学课标卷理科)已知a，b为单位向量，且=0ab，若25cab，则cos,a c _18(2018 年高考数学课标卷（理）)已知向量1,2a，2,2b，1,c，若/2cab，则19 (2017 年 高 考 数 学 新 课 标 卷 理 科)已 知 向 量a,b的 夹 角 为60,2a,1b,则2ab_20(2016 高考数学课标卷理科)设向量,1am，1,2b，且222abab，则m21(2015 高考数学新课标 2 理科)设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_422(2014 高考数学课标 1 理科)已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若1()2AOABAC,则AB 与AC的夹角为_23(2013 高考数学新课标 2 理科)已知正方形ABCD的边长为 2，E为CD的中点，则AEBD _24(2013 高考数学新课标 1 理科)已知两个单位向量,a b 的夹角为 60，(1)ctat b，若0b c ，则 t=_向量向量一、选择题一、选择题1(2020 年高考数学课标卷理科)已知向量 a，b 满足|5a，|6b，6a b，则cos,=a ab()A3135B1935C1735D1935【答案】【答案】D解析：5a，6b，6a b ，225619aabaa b 2222252 6367ababaa bb ，因此，1919cos,5 735aaba abaab 故选：D2(2019 年高考数学课标全国卷理科)已知2,3AB ，3,ACt，1BC ，则AB BC ()A3B2C2D3【答案】【答案】C【解析【解析】2,3AB ，3,ACt，1,3BCACABt ,22131BCt，解得3t，即1,0BC ，则AB BC 2,31,02 1 3 02 3(2019 年高考数学课标全国卷理科)已知非零向量a，b满足2ab，且abb，则a与b的夹角为()A6B3C23D565【答案】【答案】B解析：222,0,abbabba bba bbb ，所以221cos,22ba ba babb ，所以,3a b4(2019 年高考数学课标全国卷理科)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为512(510.6182，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，则其身高可能是()A165cmB175cmC185cmD190cm【答案】【答案】B解析：如图，0.618,0.618,0.618caab cddb，26c，则42.070.618cd，68.07acd，110.150.618ab，所以身高178.22hab，又105b，所以0.61864.89ab，身高64.89 105169.89hab，故(169.89,178.22)h，故选 B5(2018 年高考数学课标卷（理）)已知向量a，b满足|1a，1 a b，则(2)aab()A4B3C2D0【答案】【答案】B解析：2(2)2|213 aabaa b，故选 B6(2018 年高考数学课标卷（理）)在ABC中,AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB ()A3144ABAC B1344ABAC C3144ABAC D1344ABAC 6【答案】【答案】A解 析：在ABC中，AD为BC边 上 的 中 线，E为AD的 中 点，11312244EBABAEABADABABACABAC ，故选 A7(2017 年高考数学课标卷理科)在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若APABAD ，则的最大值为()A3B2 2C5D2【答案】【答案】A【解析】【解析】法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如下图则0,0A，1,0B，0,2D，1,2C，连结BD，过点C作CEBD于点E在Rt BDC中，有225BDABAD1122ACDSBCCDBD CE即112 51 25225CECE 所以圆C的方程为224125xy可设2 52 51cos,2sin55P由APABAD 可得2 52 51cos,2sin,2557所以2 51cos551sin5 ，所以2 552cossin552sin其中2 5sin5，5cos5所以的最大值为3，故选 A法二：通过点C作CEBD于E点，由1AB，2AD，可求得22125BD 又由1122ACDSCD CBBD CE，可求得2 55CE 由等和线定理可知，当点P的切线（即FH）与DB平行时，取得最大值又点A到BD的距离与点C到直线BD的距离相等，均为2 55而此时点A到直线FH的距离为2 52 52 56 5225555r 8所以6 5532 55AFAB，所以的最大值为3，故选 A另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当P点在如图所示位置时，最大，且此时若AGxAByAD，则有xy，由三角形全等可得2ADDFFG，知3,0 xy，所以选 A法三：如图，建立平面直角坐标系设0,1,0,0,2,1,ABDP x y根据等面积公式可得圆的半径是25，即圆的方程是22425xy,1,0,1,2,0APx yABAD ，若满足APABAD 即21xy ，,12xy，所以12xy，设12xzy，即102xyz，9点,P x y在圆22425xy上，所以圆心到直线的距离dr，即221514z，解得13z，所以z的最大值是3，即的最大值是3，故选 A法四：由题意，画出右图设BD与C切于点E，连接CE以A为原点，AD为x轴正半轴，AB为y轴正半轴建立直角坐标系则C点坐标为(2,1)|1CD，|2BC 22125BD BD切C于点ECEBDCE是RtBCD中斜边BD上的高12|2222|5|55BCDBCCDSECBDBD即C的半径为255P在C上P点的轨迹方程为224(2)(1)5xy设P点坐标00(,)xy，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：00225cos5215sin5xy 而00(,)APxy，(0,1)AB ，(2,0)AD(0,1)(2,0)(2,)APABAD 0151cos25x，0215sin5y 两式相加得：10222515sin1cos552 552()()sin()552sin()3 (其中5sin5，2 5cos5)当且仅当2 2k，kZ时，取得最大值 38(2017 年高考数学课标卷理科)已知ABC是边长为 2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC 的最小值是()A2B32C43D1【答案】【答案】B【命题意图命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析解析】解法一：建系法解法一：建系法连接OP，0,3OA ，1,0OB ，1,0OC 2PCPBPO ，,3PO PAxyxy 222233324PO PAxyyxy 34PO PA ，322PAPCPBPO PA 最小值为32解法二：均值法解法二：均值法2PCPBPO ，2PAPCPBPO PA 由上图可知：OAPAPO ；两边平方可得2232PAPOPA PO 222PAPOPA PO ，322PO PA 322PAPCPBPO PA ，最小值为32解法三：配凑法解法三：配凑法112PCPBPO 222232222POPAPOPAPOPAAOPAPCPBPO PA 最小值为329(2016 高考数学课标卷理科)已知向量13(,)22BA ,3 1(,)22BC ,则ABC()A30B45C60D120【答案】【答案】A【解析】由题意,得133132222cos1 12BA BCABCBABC ,所以30ABC,故选 A.10(2016 高考数学课标卷理科)已知向量(1,)(3,2)am b，=，且()abb+，则m()A8B6C6D8【答案】【答案】D【解析】由()abb+可得：()0ab b，所以20a bb+=，又(1,)(3,2)am b，=所以2232+(3(2)0m，所以8m=，故选 D11(2015 高考数学新课标 1 理科)设 D 为 ABC 所在平面内一点3BCCD ，则()A1433ADABAC B1433ADABAC C4133ADABAC D4133ADABAC 【答案】【答案】A解析：由题知11()33ADACCDACBCACACAB =1433ABAC，故选 A考点：平面向量的线性运算12(2014 高考数学课标 2 理科)设向量 a,b 满足|a+b|=10，|a-b|=6，则 ab=()A1B2C3D5【答案】【答案】A解析：因为222|()210,abababa brrrrrrr r222|()26,abababa brrrrrrr r12两式相加得：228,abrr所以1a br r，故选 A二、填空题二、填空题13(2021 年高考全国甲卷理科)已知向量3,1,1,0,abcakb若ac，则k _【答案】【答案】103解析：3,1,1,0,3,1abcakbk,3 31 10aca ck ，解得103k ,故答案为：10314(2021 年高考全国乙卷理科)已知向量1,3,3,4ab，若()abb，则_【答案】【答案】35解析：因为1,33,41 3,34ab，所以由abb可得，3 1 34 340，解得35故答案为：3515(2020 年高考数学课标卷理科)设,a b为单位向量，且|1ab，则|ab_【答案】【答案】3【解析】因为,a b 为单位向量，所以1abrr所以2222221ababaa bba b 解得：21a b 所以22223ababaa bb 故答案为：316(2020年高考数学课标卷理科)已知单位向量a,b的夹角为45，k ab与a垂直，则k=_【答案】【答案】2213解析：由题意可得：21 1 cos452a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a ba，即：2202kaa bk ，解得：22k 故答案为：2217(2019 年高考数学课标卷理科)已知a，b为单位向量，且=0ab，若25cab，则cos,a c _【答案】23【解析】因为25cab，=0ab，所以225=2a caa b ，222|4|4 55|9caa bb ，所以|3c，所以cos,a c 221 33a ca c 18(2018 年高考数学课标卷（理）)已知向量1,2a，2,2b，1,c，若/2cab，则【答案】【答案】12解析：依题意可得 22,42,24,2ab，又1,c，/2cab所以42 10 ，解得1219 (2017 年 高 考 数 学 新 课 标 卷 理 科)已 知 向 量a,b的 夹 角 为60,2a,1b,则2ab_【答案】【答案】2 3【解析】法一:222|2|44|44 2 1 cos60412abaa bb 所以|2|2 3ab法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出2ab的模长是以2为边长的菱形对角线的长度,则为142 3法三:坐标法依题意,可设2,0a,13,22b,所以 22,01,33,3ab所以222332 3ab20(2016 高考数学课标卷理科)设向量,1am，1,2b，且222abab，则m【答案】【答案】2m 【解析】由已知得：1,3abm22222222213112ababmm，解得2m 21(2015 高考数学新课标 2 理科)设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_【答案】【答案】12解析：因为向量ab与2ab平行，所以2abk ab（），则12,kk，所以1222(2014 高考数学课标 1 理科)已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若1()2AOABAC,则AB 与AC的夹角为_【答案】【答案】090解析:1()2AOABAC,O 为线段 BC 中点,故 BC 为O的直径,090BAC,AB 与AC的夹角为09023(2013 高考数学新课标 2 理科)已知正方形ABCD的边长为 2，E为CD的中点，则AEBD _【答案】【答案】2解析：由题意知：2211402222AEBDADADABAB 1524(2013 高考数学新课标 1 理科)已知两个单位向量,a b 的夹角为 60，(1)ctat b，若0b c ，则 t=_【答案】【答案】2解析：b c=(1)ttbab=2(1)tta bb=112tt=112t=0，解得t=2