高一数学期末复习同步专题-解三角形的实际应用问题练习含解析.doc

解三角形的实际应用问题专练一、 选择题1从A处望B处的仰角为，从B处望A的俯角为，则与的关系为（ ）A B= C+=90° D+=180°【答案】B【解析】根据仰角和俯角的概念，根据平行线的性质得解.【详解】因为与为两平行线的内错角，所以=.故答案为：B【点睛】本题主要考查仰角和俯角的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长()A0.5 km B1 km C1.5 km D km【答案】B【解析】根据题意作图，设出相应参数，根据BAC=ABDC，求得BAC=C，判断出三角形ABC为等腰三角形，进而求得BC【详解】如图设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，ABD=20°，C=10°，BAC=20°10°=10°AB=BC，BC=1，即坡底要加长1km，故选：B【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题3如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 ()An mile/h Bn mile/hCn mile/h Dn mile/h【答案】B【解析】由题意可知：，与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，中利用正弦定理可得货轮的速度故选4要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得CAB45°，CBA75°，且AB120 m，由此可得河宽为(精确到1 cm)()A170 m B98 mC95 m D86 m【答案】C【解析】在ABC中，AB120，CAB45°，CBA75°，则ACB60°，由正弦定理，得BC.设ABC中，AB边上的高为h，则h即为河宽，所以hBC·sinCBA40 ×sin 75°95(m)故选C.【点睛】正弦定理对于任意三角形都成立，它指出三角形三条边与对应角的正弦之间的关系式，描述了任意三角形中边与角的数量关系，主要功能是实现三角形中边角的关系转化.本题的关键是根据正弦定理利用角大小来求出边长大小.5两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在C北偏东300，B在C南偏东600，则A、B之间相距：Aakm Bakm Cakm D2akm【答案】C【解析】如图，由题意可得，在中， ，。即则A、B之间相距为。选C。6如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD_m.A100 B100 C120 D200【答案】B【解析】中, ,又,由,得中, ,故选B.7在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在平行地面上前进后测仰角为原来的倍，继续在平行地面上前进后，测得山峰的仰角为原来的倍，则该山峰的高度为（）ABCD【答案】B【解析】画出图像，根据角度和边的对应关系，用余弦定理求得的值，进而求得的值，由此求得山高.【详解】画出图像如下图所示，由等角对等腰得，在三角形中，由余弦定理得 ，所以，.在直角三角形中，.故选B.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查解直角三角形，属于中档题.8在山脚A处测得该山峰仰角为，对着山峰在平行地面上前进600m后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为A200mB300mC400mD【答案】B【解析】先根据题意可知，进而根据余弦定理可求得的值进而求得，最后在直角三角形PCD中求解【详解】解：依题意可知，所以该山峰的高度故选：B【点睛】本题主要考查了余弦定理及给值求角问题，考查计算能力及转化能力，属于基础题。9如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意画出图形，由两角差的正切求出的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到和的长度,作差后可得结果.【详解】如图，在中，又，在中， ，河流的宽度等于，故选C.【点睛】本题主要考查两角差的正切公式、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数,意在考查综合应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.10已知船在灯塔北偏东且到的距离为， 船在灯塔西偏北且到的距离为，则两船的距离为ABCD【答案】C【解析】根据题意求得ACB150°，再利用余弦定理求得AB的值.【详解】由题意可得ACB（ 90°25°）+85°150°，又 AC2，BC，由余弦定理可得 AB2AC2+BC22ACBCcos150°13，AB，故选：C【点睛】本题考查余弦定理的应用，求得ACB150°，是解题的关键，属于简单题.11在一座50m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为( )A50(1) mB50(1) mC50() mD50() m【答案】B【解析】根据仰角与俯角概念列式求解.【详解】如图,由题意得这座塔的高为,选B.【点睛】本题考查仰角与俯角概念以及解三角形，考查基本求解能力，属基本题.12如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得ACB75°，BCD45°，ADC30°，ADB45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为( )km.ABCD2【答案】B【解析】由已知可求，由正弦定理可求的值，在中，由正弦定理可求的值，进而由余弦定理可求的值【详解】由已知，中，由正弦定理，所以，在中，由正弦定理，所以，在中，由余弦定理，解得：所以与的距离.故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题，今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象（如图所示），不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后（没有完全断开），树干与底面成角，折断部分与地面成角，树干底部与树尖着地处相距米，则大树原来的高度是_米（结果保留根号）【答案】 【解析】先设树干底部为，树尖着地处为，折断点为，得到三角形的三个角的大小，再由正弦定理即可求解.【详解】如图所示,设树干底部为，树尖着地处为，折断点为，则, 所以由正弦定理知,，所以(米)， (米)，(米)答案： 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，常用正弦定理和余弦定理等来解题，难度不大.14如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米【答案】【解析】首先求得OD,OC的长度，然后利用余弦定理求解该扇形的半径即可.【详解】依题意得，连接，易知 ，因此由余弦定理有 ，即 .即该扇形的半径为.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15某人从A处出发，沿北偏东60°行走 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为_km.【答案】7【解析】结合题意将问题转化在中进行求解，利用余弦定理可得所求【详解】结合题意可得，在中，由余弦定理得 ,，故A，C两地的距离为7km故答案为7【点睛】本题考查解三角形的实际应用，解题的关键是通过对题意的分析、画出适当的示意图，然后将问题转化为三角形的问题处理，其中正余弦定理是常用的工具16如图，飞机的航线和山顶在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为_【答案】【解析】如图，在等腰三角形中， ，故山顶的海拔高度为点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.三、解答题17如图，一人在地看到建筑物在正北方向，另一建筑物在北偏西方向，此人向北偏西方向前进到达处，看到在他的北偏东方向，在北偏东方向，试求这两座建筑物之间的距离.【答案】【解析】依题意得DC=，推出BDC30°，在BDC和ADC中，利用正弦定理求出BC、AC在ABC中，由余弦定理可得结果【详解】依题意得，DC=，ADBBCD30°BDC，DBC120°，ADC60°，DAC45°在BDC中，由正弦定理得， 在ADC中，由正弦定理得，在ABC中，由余弦定理得，AB2AC2+BC22ACBCcosACBAB5答：这两座建筑物之间的距离为5km【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用，选择正确的三角形以及合理的定理解答是解好题目的关键，考查计算能力18某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路距C 31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时CD间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城A?【答案】见解析【解析】根据题意设，则可以求出，在中，由正弦定理求得即可得到答案【详解】设ACD=，CDB=.在CBD中由余弦定理得cossin.而sinsin(60°)sincos60°sin60°cos··.在ACD中，AD15(千米)所以这人再走15千米才可到城A.【点睛】本题是解斜三角形的应用问题，关键是设角以及如何把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求结果，注意利用正弦定理和余弦定理合理的得到边角的关系式。19如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进10米后到达点B，又从点B测得斜度为，建筑物的高CD为5米（1）若，求AC的长；（2）若，求此山对于地平面的倾斜角的余弦值【答案】（1）（2）【解析】（1）在中利用正弦定理可求的长.（2）在中利用正弦定理可求的长，在利用正弦定理算出后可得的大小，从而可以得到的大小.【详解】（1）当时，所以，由余弦定理得：，故. （2）当，在中，由正弦定理有在中，又.20位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东的C处，在离观测站A的正南方某处E，. （1）求； （2）求该船的行驶速度v（海里/小时）.【答案】（1）；（2）【解析】（1） （2）利用余弦定理 该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，该船的行驶速度（海里/小时）21在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为 n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2 n mile的C处有一艘缉私艇奉命以n mile / h的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile / h的速度从B处向北偏东方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间。(本题解题过程中请不要使用计算器，以保证数据的相对准确和计算的方便)【答案】缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需小时【解析】设缉私艇追上走私船需t小时， 则BD=10 t n mile CD=t n mile BAC=45°+75°=120° 在ABC中，由余弦定理得即由正弦定理得ABC=45°，BC为东西走向CBD=120°在BCD中，由正弦定理得BCD=30°，BDC=30°即（小时）答：缉私艇沿北偏东60°方向行驶才能最快追上走私船，这需小时.