专题16 动点最值之瓜豆模型（讲+练）（含答案） -2022年中考数学几何模型专项复习与训练.pdf

2022 年中考数学几何模型专项复习与训练年中考数学几何模型专项复习与训练专题专题 16动点最值之瓜豆模型动点最值之瓜豆模型模型一、运动轨迹为直线模型一、运动轨迹为直线问题问题 1：如图，P 是直线 BC 上一动点，连接 AP，取 AP 中点 Q，当点 P 在 BC 上运动时，Q 点轨迹是？解析：当 P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线理由：分别过 A、Q 向 BC 作垂线，垂足分别为 M、N，在运动过程中，因为 AP=2AQ，所以 QN 始终为 AM 的一半，即 Q 点到 BC 的距离是定值，故 Q 点轨迹是一条直线问题问题 2：如图，点 C 为定点，点 P、Q 为动点，CP=CQ，且PCQ 为定值，当点 P 在直线 AB 上运动，Q 的运动轨迹是？解析：当 CP 与 CQ 夹角固定，且 AP=AQ 时，P、Q 轨迹是同一种图形，且 PP1=QQ1理由：易知CPP1CPP1，则CPP1=CQQ1，故可知 Q 点轨迹为一条直线.模型总结：模型总结：条件：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量结论：结论：主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；例 1.如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），点 B 是 y 轴正半轴上一动点，点 C、D 在 x 正半轴上，以 AB 为边在 AB 的下方作等边ABP，点 B 在 y 轴上运动时，求 OP 的最小值例 2.如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为的一个定点，ACx 轴于点 M，交直线 yx 于点 N，若点 P 是线段 ON 上的一个动点，APB30，BAPA，则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是_【变式训练 1】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边EFG，连接 CG，求 CG 的最小值是多少？【变式训练 2】如图，ABC 是边长为 6 的等边三角形，点 E 在 AB 上，点 D 为 BC 的中点，EDM 为等边三角形若点 E 从点 B 运动到点 A，则 M 点所经历的路径长为【变式训练 3】如图，在矩形 ABCD 中，AB4，DCA30，点 F 是对角线 AC 上的一个动点，连接 DF，以 DF 为斜边作DFE30的直角三角形 DEF，使点 E 和点 A 位于 DF 两侧，点 F 从点 A 到点 C 的运动过程中，点 E 的运动路径长是【变式训练 4】如图，已知线段 AB12，点 C 在线段 AB 上，且ACD 是边长为 4 的等边三角形，以 CD 为边的右侧作矩形 CDEF，连接 DF，点 M 是 DF 的中点，连接 MB，则线段 MB 的最小值为.模型二、运动轨迹为圆模型二、运动轨迹为圆问题问题 1.如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，Q 为 AP 中点当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？解析：Q 点轨迹是一个圆理由：Q 点始终为 AP 中点，连接 AO，取 AO 中点 M，则 M 点即为 Q 点轨迹圆圆心，半径 MQ 是 OP 一半，任意时刻，均有AMQAOP，1=2QMAQPOAP问题问题 2.如图，APQ 是直角三角形，PAQ=90且 AP=2AQ，当 P 在圆 O 运动时，Q 点轨迹是？解析：Q 点轨迹是一个圆理由：APAQ，Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AMAO；又AP：AQ=2：1，Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AO：AM=2：1即可确定圆 M 位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为 2模型总结模型总结：条件：条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）结论结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比例 1.如图，点 P（3，4），圆 P 半径为 2，A（2.8，0），B（5.6，0），点 M 是圆 P 上的动点，点 C 是 MB 的中点，则 AC 的最小值是_例 2.如图，A 是B 上任意一点，点 C 在B 外，已知 AB2，BC4，ACD 是等边三角形，则BCD的面积的最大值为（）A434B4C438D6例 3.如图，正方形 ABCD 中，2 5AB，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE=2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得 DF，连接 AE、CF求线段 OF 长的最小值【变式训练 1】如图，在等腰 RtABC 中，ACBC，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点，当半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长为_【变式训练 2】如图，AB 为O的直径，C 为O上一点，其中6AB，120AOC，P 为O上的动点，连 AP，取 AP 中点 Q，连 CQ，则线段 CQ 的最大值为（）A3 7B32 72C23 7D33722【变式训练 3】如图，ABC中，,6,ABAC BCADBC于点,4,D ADP是半径为 2 的A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（）A3B3.5C4D4.5课后训练课后训练1.如图，在ABC 中，ACB90，A30，BC2，D 是 AB 上一动点，以 DC 为斜边向右侧作等腰 RtDCE，使CED90，连接 BE，则线段 BE 的最小值为.3.如图，6AB，点 O 在线段AB上，2AO，O的半径为 1，点 P 是O上一动点，以BP为一边作等边BPQV，则AQ的最小值为_4.点 A 是双曲线在第一象限上的一个动点，连接 AO 并延长交另一交令一分支点 B，以 AB 为斜边作等腰 RtABC，点 C 在第二象限，随着点 A 的运动，点 C 的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为.7如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中 AB2，AOC120，P 为O 上的动点，连 AP，取AP 中点 Q，连 CQ，则线段 CQ 的最大值为_8.如图，已知点 M（0，4），N（4，0），开始时，ABC 的三个顶点 A、B、C 分别与点 M、N、O 重合，点A 在 y 轴上从点 M 开始向点 O 滑动，到达点 O 结束运动，同时点 B 沿着 x 轴向右滑动，则在此运动过程中，点 C 的运动路径长49.如图，已知在扇形 AOB 中，OA3，AOB120，C 是在上的动点，以 BC 为边作正方形 BCDE，当点C 从点 A 移动至点 B 时，求点 D 运动的路径长？专题专题 16 动点最值之瓜豆模型动点最值之瓜豆模型模型一、运动轨迹为直线模型一、运动轨迹为直线问题问题 1：如图，P 是直线 BC 上一动点，连接 AP，取 AP 中点 Q，当点 P 在 BC 上运动时，Q 点轨迹是？解析：当 P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线理由：分别过 A、Q 向 BC 作垂线，垂足分别为 M、N，在运动过程中，因为 AP=2AQ，所以 QN 始终为 AM 的一半，即 Q 点到 BC 的距离是定值，故 Q 点轨迹是一条直线问题问题 2：如图，点 C 为定点，点 P、Q 为动点，CP=CQ，且PCQ 为定值，当点 P 在直线 AB 上运动，Q 的运动轨迹是？解析：当 CP 与 CQ 夹角固定，且 AP=AQ 时，P、Q 轨迹是同一种图形，且 PP1=QQ1理由：易知CPP1CPP1，则CPP1=CQQ1，故可知 Q 点轨迹为一条直线.模型总结：模型总结：条件：条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量结论：结论：主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形；主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长；例 1.如图，在平面直角坐标系中，A（3，0），点 B 是 y 轴正半轴上一动点，点 C、D 在 x 正半轴上，以 AB 为边在 AB 的下方作等边ABP，点 B 在 y 轴上运动时，求 OP 的最小值【答案】【解析】求 OP 最小值需先作出 P 点轨迹，根据ABP 是等边三角形且 B 点在直线上运动，故可知P 点轨迹也是直线取两特殊时刻：（1）当点 B 与点 O 重合时，作出 P 点位置 P1；（2）当点 B 在 x 轴上方且 AB 与 x轴夹角为 60时，作出 P 点位置 P2连接 P1P2，即为 P 点轨迹根据ABP60，可知：与 y 轴夹角为 60，作 OP，所得 OP 长度即为最小值，OP2OA3，所以例 2.如图，已知点 A 是第一象限内横坐标为的一个定点，ACx 轴于点 M，交直线 yx 于点 N，若点 P 是线段 ON 上的一个动点，APB30，BAPA，则点 P 在线段 ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动求当点 P 从点 O 运动到点 N 时，点 B 运动的路径长是_答案答】【分析】PAB90，APB30，可得：AP:AB，故 B 点轨迹也是线段，且 P 点轨迹路径长与 B 点轨迹路径长之比也为，P 点轨迹长 ON 为，故 B 点轨迹长为【变式训练 1】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且 BE1，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，以 EF 为边向右侧作等边EFG，连接 CG，求 CG 的最小值是多少？【答案】【解析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求 CG 最小值，可以将 F 点看成是由点 B 向点 A 运动，由此作出 G 点轨迹：考虑到 F 点轨迹是线段，故 G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻 G 点在位置，最终 G 点在位置（不一定在 CD 边），即为 G 点运动轨迹CG 最小值即当 CG的时候取到，作 CH于点 H，CH 即为所求的最小值根据模型可知：与 AB 夹角为 60，故过点 E 作 EFCH 于点 F，则 HF1，所以，因此 CG 的最小值为【变式训练 2】如图，ABC 是边长为 6 的等边三角形，点 E 在 AB 上，点 D 为 BC 的中点，EDM 为等边三角形若点 E 从点 B 运动到点 A，则 M 点所经历的路径长为6【解答】解：当点 E 在 B 时，M 在 AB 的中点 N 处，当点 E 与 A 重合时，M 的位置如图所示，所以点 E 从点 B 运动到点 A，则 M 点所经历的路径为 MN 的长，ABC 是等边三角形，D 是 BC 的中点，ADBC，BAD30，AB6，AD3，EDM 是等边三角形，AMAD3，DAM60，NAM30+6090，ANAB3，在 RtNAM 中，由勾股定理得：MN6，则 M 点所经历的路径长为 6，故答案为：6【变式训练 3】如图，在矩形 ABCD 中，AB4，DCA30，点 F 是对角线 AC 上的一个动点，连接 DF，以 DF 为斜边作DFE30的直角三角形 DEF，使点 E 和点 A 位于 DF 两侧，点 F 从点 A 到点 C 的运动过程中，点 E 的运动路径长是【解答】解：E 的运动路径是线段 EE的长；AB4，DCA30，BC，当 F 与 A 点重合时，在 RtADE中，AD，DAE30，ADE60，DE，CDE30，当 F 与 C 重合时，EDC60，EDE90，DEE30，在 RtDEE中，EE；故答案为【变式训练 4】如图，已知线段 AB12，点 C 在线段 AB 上，且ACD 是边长为 4 的等边三角形，以 CD 为边的右侧作矩形 CDEF，连接 DF，点 M 是 DF 的中点，连接 MB，则线段 MB 的最小值为.【答案】6【解析】如图所示，FCB30，F 的路径是定射线 DF，又点 M 是 DF 的中点，D 点为定点，F 点为主动点，M 点为从动点，由瓜豆原理内容可知 M 点的路径亦是一条射线，取 CD 的中点 N，连接 NM 并延长，则射线 NM 就是 M 点的路径，且 NMCF，作 BGNM 于点 G，交 CF 于点 H，则 BGCF，故 BGBHHGBHCN426，线段 BM 的最小值即为 BG，最小值为 6.模型二、运动轨迹为圆模型二、运动轨迹为圆问题问题 1.如图，P 是圆 O 上一个动点，A 为定点，连接 AP，Q 为 AP 中点当点 P 在圆 O 上运动时，Q 点轨迹是？解析：Q 点轨迹是一个圆理由：Q 点始终为 AP 中点，连接 AO，取 AO 中点 M，则 M 点即为 Q 点轨迹圆圆心，半径 MQ 是 OP 一半，任意时刻，均有AMQAOP，1=2QMAQPOAP问题问题 2.如图，APQ 是直角三角形，PAQ=90且 AP=2AQ，当 P 在圆 O 运动时，Q 点轨迹是？解析：Q 点轨迹是一个圆理由：APAQ，Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AMAO；又AP：AQ=2：1，Q 点轨迹圆圆心 M 满足 AO：AM=2：1即可确定圆 M 位置，任意时刻均有APOAQM，且相似比为 2模型总结模型总结：条件：条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（PAQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）结论结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：PAQ=OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比例 1.如图，点 P（3，4），圆 P 半径为 2，A（2.8，0），B（5.6，0），点 M 是圆 P 上的动点，点 C 是 MB 的中点，则 AC 的最小值是_【答案】1.5【解析】由题意可知 M 点为主动点，C 点为从动点，B 点为定点C 是 BM 中点，可知 C 点轨迹为取 BP 中点 F，以 F 为圆心，FC 为半径作圆，即为点 C 轨迹，如图所示：由题中数据可知 OP5，又点 A、F 分别是 OB、BP 的中点，AF 是BPO 的中位线，AF2.5，当 M 运动到如图位置时，AC 的值最小，此时 A、C、O 三点共线，AC2.511.5.例 2.如图，A 是B 上任意一点，点 C 在B 外，已知 AB2，BC4，ACD 是等边三角形，则BCD的面积的最大值为（）A434B4C438D6【答案】A【详解】解：如图，以 BC 为边向上作等边三角形 BCM，连接 DM，60DCAMCB，DCAACMMCBACM，即DCMACB在DCM和ACB中，DCACDCMACBMCBC，DCMACB SAS，2DMAB，点 D 的运动轨迹是以点 M 为圆心，DM 长为半径的圆，要使BCD面积最大，则求出点 D 到线段 BC 的最大距离，BCM是边长为 4 的等边三角形，点 M 到 BC 的距离是2 3，点 D 到 BC 的最大距离是2 32，BCD的面积最大值是142 324 342 故选：A例 3.如图，正方形 ABCD 中，2 5AB，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE=2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90得 DF，连接 AE、CF求线段 OF 长的最小值【解析】E 是主动点，F 是从动点，D 是定点，E 点满足 EO=2，故 E 点轨迹是以 O 为圆心，2 为半径的圆考虑 DEDF 且 DE=DF，故作 DMDO 且 DM=DO，F 点轨迹是以点 M 为圆心，2 为半径的圆直接连接 OM，与圆 M 交点即为 F 点，此时 OF 最小可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得 OM，减去 MF 即可得到 OF 的最小值答案为5 2-2【变式训练 1】如图，在等腰 RtABC 中，ACBC，点 P 在以斜边 AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点，当半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 运动的路径长为_【答案】【解析】当点 P 位于弧 AB 的中点时，M 为 AB 的中点，设分别为 AC、BC 的中点，连接交 CP 于点 O，如图所示：，当点 P 沿半圆从点 A 运动至点 B 时，点 M 的运动路径是以 O 为圆心，1 为半径的半圆，如图蓝色半圆，点 M 的运动路径长为.【变式训练 2】如图，AB 为O的直径，C 为O上一点，其中6AB，120AOC，P 为O上的动点，连 AP，取 AP 中点 Q，连 CQ，则线段 CQ 的最大值为（）A3 7B32 72C23 7D33722【答案】D【详解】如图，连接 OQ，作 CHAB 于 HAQQP，OQPA，AQO90，点 Q 的运动轨迹为以 AO 为直径的K，连接 CK，当点 Q 在 CK 的延长线上时，CQ 的值最大,120AOCCOH60在 RtOCH 中，COH60，OC=12AB=3，OH12OC32，CH223 32OCOH，在 RtCKH 中，CK223 332372，CQ 的最大值为33722，故选：D【变式训练 3】如图，ABC中，,6,ABAC BCADBC于点,4,D ADP是半径为 2 的A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（）A3B3.5C4D4.5【答案】B【详解】解：如图，可知 P 在 BA 延长线与A的交点时此时DE长的最大，证明如下：连接 BP,6,ABAC BCADBC,BD=DC,E是PC的中点，DE/BP,12DEBP,所以当 BP 的长最大时，DE长的最大，由题意可知 P 在 BA 延长线与A的交点时 BP 的长最大此时DE长的最大，BC=6,AD=4,BD=DC=3,BA=5,A的半径为 2，即 AP=2,BP=5+2=7,13.52DEBP.故选：B.课后训练课后训练1.如图，在ABC 中，ACB90，A30，BC2，D 是 AB 上一动点，以 DC 为斜边向右侧作等腰 RtDCE，使CED90，连接 BE，则线段 BE 的最小值为.【解答】【解析】由题意可知 C 为定点，D 点为主动点，路径为线段 AB，点 E 为从动点，DCE 是等腰直角三角形，DCE45，结合瓜豆原理内容可知从动点 E 的路径为一条线段，可以看成是由线段 AB 先绕着定点 C 逆时针旋转 45，再以定点 C 为位似中心，以为位似比缩小来的，如图，将 BE 的最小距离转化为点到线的最小距离（点 B 到的最短距离），由旋转相似可得，在中，有，则，线段 BE 的最小值为.3.如图，6AB，点 O 在线段AB上，2AO，O的半径为 1，点 P 是O上一动点，以BP为一边作等边BPQV，则AQ的最小值为_【答案】2 71【详解】解：如图，在AB上方以OB为一边作等边OBC，连接,OP CQ AC，OBC和BPQV都是等边三角形，,60OBCB BPBQOBCPBQ，OBCPBCPBQPBC，即OBPCBQ，在OBP和CBQ中，OBCBOBPCBQBPBQ，()OBPCBQ SASVV，1CQOP，点Q在以点C为圆心，CQ长为半径的圆上，如图，设AC与C交于点D，过点C作CMAB于点M，则1CD，则当点Q与点D重合时，AQ取得最小值，最小值为AD，2,6AOABQ，4OBABAO，OBC是等边三角形，CMAB，14,22OCOBOMOB，222 3,4CMOCOMAMAOOM，在RtACM中，222 7ACAMCM，则2 71ADACCD，即AQ的最小值为2 71，故答案为：2 714.点 A 是双曲线在第一象限上的一个动点，连接 AO 并延长交另一交令一分支点 B，以 AB 为斜边作等腰 RtABC，点 C 在第二象限，随着点 A 的运动，点 C 的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为.【答案】【解析】连接 OC，作 CD轴于点 D，AE轴于点 E，如图所示：设点 A 的坐标为，A、B 两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点，点 A 与点 B 关于原点对称，OAOB，ABC 为等腰直角三角形，OCOA，OCOA，DOCAOE90，DOCDCO90，DCOAOE，在COD 与OAE 中，CODOAE（AAS），点 C 在反比例函数的图像上.7如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中 AB2，AOC120，P 为O 上的动点，连 AP，取AP 中点 Q，连 CQ，则线段 CQ 的最大值为_【答案】712【详解】解：如图，连接 OQ，作 CHAB 于 HAQ=QP，OQPA，AQO=90点 Q 的运动轨迹为以 AO 为直径的K，连接 CK当点 Q 在 CK 的延长线上时，CQ 的值最大，在RtOCH中，COH=60，OC=1，OH=1122OC，3CH2在RtCKH中，2237CK122，CQ 的最大值为712故答案为：7128.如图，已知点 M（0，4），N（4，0），开始时，ABC 的三个顶点 A、B、C 分别与点 M、N、O 重合，点A 在 y 轴上从点 M 开始向点 O 滑动，到达点 O 结束运动，同时点 B 沿着 x 轴向右滑动，则在此运动过程中，点 C 的运动路径长4【解答】解：过点 C作 CDx 轴，CEy 轴点 M（0，4），N（4，0），OMON，CAC+45EAB+MGB45+MGB，EACBGB，BGB+GBB45，GBB+DBC45，EACDBC，又ACBC，RtACERtBCD（HL），ECDC，C在第四象限的角平分线上，C 的运动轨迹是线段 AC，C 的运动路径长为 4；故答案为 4；9.如图，已知在扇形 AOB 中，OA3，AOB120，C 是在上的动点，以 BC 为边作正方形 BCDE，当点C 从点 A 移动至点 B 时，求点 D 运动的路径长？【答案】【解析】将圆 O 补充完整，延长 BO 交圆 O 于点 F，取的中点 H，连接 FH、HB、BD，如图所示：由题意可得FHB 是等腰直角三角形，HFHB，FHB90，FDB45FHB，点 D 在圆 H 上运动，轨迹如图中蓝色虚线，HFGHCF15，FHG150，CHB120，点 D 的运动路径长度为.