2023届高考数学专项练习直线与圆的综合应用含答案.pdf

2023届高考数学专项 练习直线与圆的综合应用2023届高考数学专项 练习直线与圆的综合应用【题型归纳目录】题型一：距离的创新定义题型二：切比雪夫距离题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题题型四：圆的包络线问题题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题题型六：圆中的垂直问题题型七：圆的存在性问题【典例例题】题型一：距离的创新定义例1.【题型归纳目录】题型一：距离的创新定义题型二：切比雪夫距离题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题题型四：圆的包络线问题题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题题型六：圆中的垂直问题题型七：圆的存在性问题【典例例题】题型一：距离的创新定义例1.(2022(2022全国全国 高三专题练习高三专题练习)数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与x-a2+y-b2相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程x2+6x+10-x2-6x+10=4的解是()A.3010B.305C.2 305D.4 305例2.例2.(2022(2022安徽阜阳安徽阜阳 高三期末高三期末(理理)闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为A=a1,a2,an和B=b1,b2,bn，这两组数据间的闵氏距离定义为 dAB(q)=nk=1ak-bkq1q，其中q表示阶数.现有下列四个命题：若A=(1,2,3,4),B=(0,3,4,5)，则dAB(1)=4；若A=(a,a+1),B=(b-1,b)，其中a,bR R，则dAB(1)=dAB(2)；若A=(a,b),B=(c,d)，其中a,b,c,dR R，则dAB(1)dAB(2)；若A=a,a2,B=(b,b-1)，其中a,bR R，则dAB(2)的最小值为3 28.其中所有真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4例3.例3.(2022(2022全国全国 高三专题练习高三专题练习(文文)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120.根据以上性质，已知A(-2,0)，B(2,0)，C(0,4)，P为ABC内一点，记 f P=PA+PB+PC，则 f P的最小值为()A.2 3B.4+2 3C.4+3D.2+3例例4.4.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A x1,y1，B x2,y2，记 dpA,B=x1-x2p+y1-y2p，其中p为正整数，称dpA,B为点A，B间的M距离下列说法正确的是()A.若d1O,A=1，则点A的轨迹是正方形B.若d1A,B=d2A,B，则A与B重合C.d1A,B2d2A,BD.d2A,Bd1A,B例例5.5.(20222022 北京北京 牛栏山一中高三期中牛栏山一中高三期中)如图，平面内两条直线l1和l2相交于点O，构成的四个角中的锐角为60.对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对 p,q是点M的“距离坐标”，给出下列四个命题：1,0点有且仅有两个；2,3点有且仅有4个；若p=2q，则点M的轨迹是两条过O点的直线；满足p2+q2=1的所有点 p,q位于一个圆周上.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4例例6.6.(多选题多选题)()(20222022 河北廊坊河北廊坊 高三阶段练习高三阶段练习)闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义设两组数据分别为 A=a1,a2,an和 B=b1,b2,bn，这两组数据间的闵氏距离定义为 dABq=nk=1ak-bkq1q，其中q表示阶数下列命题中为真命题的是()A.若A=1,2,3,4，B=0,3,4,5，则dAB1=4B.若A=a,a+1，B=b-1,b，其中a，bR，则dAB1=dAB2C.若A=a,b，B=c,d，其中a，b，c，dR，则dAB1dAB2D.若A=a,a2，B=b,b-1，其中a，bR，则dAB2的最小值为3 28例例7.7.(多选题多选题)()(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)定义点 P x0,y0到直线 l:Ax+By+C=0 A2+B20的有向距离为 d=Ax0+By0+CA2+B2.已知点 P1，P2到直线 l 的有向距离分别是 d1，d2，给出以下命题，其中是假命题的是()A.若d1-d2=0，则直线P1P2与直线l平行B.若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l平行C.若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l垂直D.若d1d20)到点P(a,a)的距离为3 22，则实数a的值为_例例11.11.(20222022 上海上海 模拟预测模拟预测)记=ax0+by0+ca2+b2到点P x0,y0与直线l：ax+by+c=0的“有向距离”(1)分别求点A-1,2与B 2,3到直线l：2x-y+1=0的“有向距离”，由此说明直线l与两点A、B的位置关系(2)求证：到两条相交定直线bxay=0(a，b不同时为零)的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线(3)利用上述(2)结论证明：曲线4x2-3xy+3=0为双曲线，并求其虚轴长题型二：切比雪夫距离题型二：切比雪夫距离例例12.12.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(文文)在平面直角坐标系中，定义 d A,B=maxx1-x2,y1-y2为两点A x1,y1、B x2,y2的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d P,Q的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d P,l，给出四个命题，正确的是_.对任意三点A、B、C，都有d C,A+d C,Bd A,B；到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；已知点P 3,1和直线l:2x-y-1=0，则d P,l=43；定点F1-c,0、F2c,0，动点P x,y满足 d P,F1-d P,F2=2a 2c2a0，则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点.例例13.13.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(文文)在平面直角坐标系中，定义 d(A,B)=max|x1-x2|,|y1-y2|为两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任一点Q，称d(P,Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P,l).(1)求证：对任意三点A、B、C，都有d(A,C)+d(C,B)d(A,B)；(2)已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0，求d(P,l)；(3)定点C(x0,y0)，动点P(x,y)满足d(C,P)=r(r0)，请求出点P所在的曲线所围成图形的面积.例例14.14.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(文文)在平面直角坐标系中，定义 d(A,B)=max|x1-x2|,|y1-y2|为两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q，称d(P,Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P,l)，给出下列三个命题：对任意三点A、B、C，都有d(C,A)+d(C,B)d(A,B)；已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0，则d(P,l)=43；定点F1(-c,0)、F2(c,0)，动点P(x,y)满足|d(P,F1)-d(P,F2)|=2a(2c2a0)，则点P的轨迹与直线y=k(k为常数)有且仅有2个公共点；其中真命题的个数是A.0B.1C.2D.3例例15.15.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(文文)在平面直角坐标系中，定义d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|为两点A(x1,y1)、B(x2,y2)的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称d(P,Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d(P,l)，给出下列三个命题：对任意三点A、B、C，都有d(C,A)+d(C,B)d(A,B)；已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0，则d(P,l)=43；定义O(0,0)，动点P(x,y)满足d(P,O)=1，则动点P的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数()A.0B.1C.2D.3例例16.16.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(文文)在平面直角坐标系中,定义 d A,B=maxx1-x2，y1-y2 为两点A x1,y1、B x2,y2的“切比雪夫距离”，又设点P及l上任意一点Q,称d P,Q的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”记作d P,l，给出下列四个命题:对任意三点A,B,C，都有d C,A+d C,Bd A,B；已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0，则d P，l=43；到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形；其中真命题的是()A.B.C.D.题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题例例17.17.(多选题多选题)()(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)“出租车几何”或“曼哈顿距离”(Manhattan Distance)是由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语在平面直角坐标系xOy内，对于任意两点 A x1,y1、B x2,y2，定义它们之间的“欧几里得距离”AB=x1-x22+y1-y22，“曼哈顿距离”为 AB=x1-x2+y1-y2，则下列说法正确的是()A.若点P为线段x+y=3 x,y0上任意一点，则 OP为定值B.对于平面上任意一点P，若 OP=2，则动点P的轨迹长度为4C.对于平面上任意三点A、B、C，都有 AB AC+BCD.若A、B为椭圆x2+4y2=4上的两个动点，则 AB最大值为2 3例例18.18.(多选题多选题)()(20222022 山东省实验中学模拟预测山东省实验中学模拟预测)对于平面直角坐标系内的任意两点 P x1,y1，Q x2,y2，定义它们之间的一种“距离”为PQ=x1-x2+y1-y2已知不同三点 A，B，C满足AC+BC=AB，则下列结论正确的是()A.A，B，C三点可能共线B.A，B，C三点可能构成锐角三角形C.A，B，C三点可能构成直角三角形D.A，B，C三点可能构成钝角三角形例例19.19.(多选题多选题)()(20222022 江苏江苏 金陵中学高三阶段练习金陵中学高三阶段练习)对于直角坐标平面内的任意两点A x1,y1，B x2,y2，定义它们之间的一种“距离”：AB=x1-x2+y1-y2，则下列说法正确的是()A.若点C是线段AB的中点，则AB=2ACB.在ABC中，若C=90，则AC2+CB2=AB2C.在ABC中，AC+CBABD.在正方形ABCD中，有AB=BC例例20.20.(多选题多选题)()(20222022 湖北湖北 十堰市教育科学研究院高三期末十堰市教育科学研究院高三期末)“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语在平面直角坐标系中，点 P x1,y1，Q x2,y2的曼哈顿距离为LPQ=x1-x2+y1-y2若点P-2,1，Q是圆M:x-12+y-12=1上任意一点，则 LPQ的取值可能为()A.4B.3C.2D.1例例21.21.(多选题多选题)()(20222022 江苏无锡江苏无锡 高三期末高三期末)已知平面直角坐标系中两点 A(x1,y1)和 B(x2,y2)，用以下方式度量A,B两点距离：d(A,B)=x1-x2+y1-y2，则下列说法正确的是()A.在平面直角坐标系中，A(-3,0)，N(2,0)，满足d(A,N)=d(A,C)+d(N,C)的点C的横坐标范围为-3,2B.在平面直角坐标系中，任意取三点A,B,C，d(A,B)d(A,C)+d(B,C)恒成立C.在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，则满足d(O,P)=1的点P(x,y)所形成的图形是圆D.在平面直角坐标系中，点M在y2=4x上，N(2,0)，则满足d(M,N)=3的点M共有4个例例22.22.(多选题多选题)()(20222022 江苏苏州江苏苏州 高三阶段练习高三阶段练习)在平面直角坐标系中，已知点A x1,y1B x2,y2，定义d(A,B)=x1-x2+y1-y2为两点A，B的“折线距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称d(P,Q)的最小值为点P到直线l的“折线距离”，记作d(P,l)，下列说法正确的是()A.对任意的两点A，B，都有d(A,B)|AB|B.对任意三点ABC，都有d(A,C)+d(B,C)d(A,B)C.已知点P(3,1)和直线l:2x-y-1=0，则d(P,l)=4 55D.已知点O(0,0)，动点P(x,y)满足d(P,O)=1，则动点P的轨迹围成平面图形的面积是2例例23.23.(20222022 全国全国 模拟预测模拟预测(文文)设点P x1,y1是C：x2+y2=1上的动点，点Q x2,y2是直线l：2x+3y-6=0上的动点，记LPQ=x1-x2+y1-y2，则LPQ的最小值是_例例24.24.(20222022 江苏南通江苏南通 一模一模(文文)在平面直角坐标系中有两点A x1,y1、B x2,y2，现定义由点A到点B的折线距离(A,B)=x2-x1+y2-y1，若已知点B(1,0)，点M为直线x-2y+2=0上的动点，则(B,M)取最小值时点M的坐标是_例例25.25.(20222022 重庆八中高三阶段练习重庆八中高三阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，定义P x1,y1，Q x2,y2两点间的直角距离为d(P,Q)=x1-x2+y1-y2，将曲线C:(x-1)2+y2=1(x1)依次以原点O为中心逆时针旋转 90三次，得到由四段圆弧构成的曲线 E.若点P为曲线 E上任意一点，则 d(O,P)的取值范围为_.例例26.26.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(文文)在平面直角坐标系中，定义 P x1,y1、Q x2,y2两点间的直角距离为d P,Q=x1-x2+y1-y2，如图，BC是圆A:x-12+y2=1当x32时的一段弧，D是BC与x轴的交点，将BC依次以原点O为中心逆时针旋转60五次，得到由六段圆弧构成的曲线则d C,D=_若点P为曲线上任一点，则 d O,P的最大值为_例例27.27.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，定义A(x1,y1)，B(x2,y2)两点的折线距离d(A,B)=x1-x2+y1-y2.设点P(m2,n2)，Q(m,n)，O(0,0)，C(2,0)，若d(P,O)=1，则d(Q,C)的取值范围 _.例例28.28.(20222022 上海上海 复旦附中模拟预测复旦附中模拟预测)在平面直角坐标系中，两点 P1x1,y1,P2x2,y2间的“L-距离”定义为P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于F1F2的点的轨迹可以是()A.B.C.D.例例29.29.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是 19世纪德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若A x1,y1，B x2,y2，则A，B两点的“曼哈顿距离”为 x2-x1+y2-y1，下列直角梯形中的虚线可以作为A，B两点的“曼哈顿距离”是()A.B.C.D.题型四：圆的包络线问题题型四：圆的包络线问题例例30.30.(20222022 重庆月考重庆月考)设直线系M:xcos+(y-2)sin=1(02)，则下列命题中是真命题的个数是()存在一个直线与所有直线相交；M中所有直线均经过一个定点；对于任意实数n(n3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；M中的直线所能围成的正三角形面积都相等A.0B.1C.2D.3例例31.31.(20222022春春 鹤岗校级期末鹤岗校级期末)设直线系M:xcos+(y-2)sin=1(02)，对于下列四个结论：(1)当直线垂直于y轴时，=0或；(2)当=6时，直线倾斜角为120；(3)M中所有直线均经过一个定点；(4)存在定点P不在M中任意一条直线上其中正确的是()A.B.C.D.例例32.32.(20222022春春 朝阳区校级期末朝阳区校级期末)设直线系M:xcos+(y-2)sin=1(000)相交，则r的取值范围是()A.0r1B.0r1例例35.35.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(kN*)下列四个命题中真命题的是()A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原点例例36.36.(多选题多选题)()(20222022 思明区校级月考思明区校级月考)已知圆M:(x-1-cos)2+(y-2-sin)2=1，直线l:kx-y-k+2=0，下面五个命题，其中正确的是()A.对任意实数k与，直线l和圆M有公共点B.对任意实数k与，直线l与圆M都相离C.存在实数k与，直线l和圆M相离D.对任意实数k，必存在实数，使得直线l与圆M相切E.对任意实数，必存在实数k，使得直线l与圆M相切例例37.37.(20222022 启东市校级模拟启东市校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，对任意的实数 m，集合 A 中的点(x,y)都不在直线2mx+(1-m2)y-4m-2=0上，则集合A所对应的平面图形面积的最大值为题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题例例38.38.(20222022 赣州期末赣州期末)如图，在等腰梯形 ABCD 中，CD=2AB=2EF=2a，E，F分别是底边 AB，CD的中点，把四边形 BEFC 沿直线 EF 折起，使得平面 BEFC 平面 ADFE若动点 P 平面 ADFE，设 PB，PC 与平面ADFE 所成的角分别为 1，2(1，2均不为 0)若 1=2，则动点P的轨迹围成的图形的面积为()A.14a2B.49a2C.14a2D.49a2例例39.39.(20222022 青羊区校级月考青羊区校级月考)阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k0,k1)的点的轨迹是圆，后人将该圆称为波罗圆若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足|PA|PB|=2，当P、A、B不共线时，三角形PAB面积的最大值是()A.2 2B.2C.2 23D.23例例40.40.(20222022 沙坪坝区校级期中沙坪坝区校级期中)古希腊数学家波罗尼斯(约公元前262-190年)的著作 圆锥曲线论 是古代世界光辉的科学成果他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k(k0且k1)的点的轨迹是圆，后人将这个园称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，设 A(-3,0)，B(3,0)，动点 M 满足|MA|MB|=2，则动点M的轨迹围成的面积为()A.64B.16C.4D.2例例41.41.(20222022 七模拟七模拟)阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262190年)的著作 圆锥曲线论 是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数 k(k0,k1)的点的轨迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆已知定点A(-2,0)，B(2,0)，动点C满足|AC|=2|BC|，则动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆 P，已知点 D 在圆 P 上(点 D 在第一象限)，AD 交圆 P 于点 E，连接 EB并延长交圆P于点F，连接DF，当DFE=30时，直线AD的斜率为()A.3913B.2613C.34D.134例例42.42.(20222022 余姚市校级模拟余姚市校级模拟)如图，已知平面 ，=l，A、B是直线 l上的两点，C、D是平面 内的两点，且 DAl，CB l，AD=3，AB=6，CB=6，P是平面 上的一动点，且直线 PD、PC与平面 所成角相等，则二面角P-BC-D的余弦值的最小值是()A.15B.12C.32D.1例例43.43.(20222022 双流区校级一模双流区校级一模)已知三棱锥A-BCD中，底面BCD为等边三角形，AB=AC=AD=3，BC=2 3，点 E为CD的中点，点F为BE的中点若点 M、N是空间中的两动点，且MBMF=NBNF=2，MN=2，则AM AN=()A.3B.4C.6D.8例例44.44.(20222022 春春 宝山区校级期末宝山区校级期末)阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k0,k1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知P、Q分别是圆C:(x-4)2+y2=8，圆D:x2+(y-4)2=1上的动点，O是坐标原点，则|PQ|+22|PO|的最小值是 2 5-1例例45.45.(20222022 春春 新华区校级期末新华区校级期末)阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k0,k1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆若平面内两定点 A、B间的距离为2，动点P满足|PA|PB|=2，则PA2+PB2的最小值36-24 2 例例46.46.已知O是边长为2的正方形ABCD的内切圆，P是O上任意一点，则AP+2BP的最小值为5例例47.47.(20222022 温州期末温州期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作 圆锥曲线 一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A、B的距离之比为(0,1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆下面，我们来研究与此相关的一个问题已知圆：x2+y2=1和点A-12,0，点B(1,1)，M为圆O上动点，则2|MA|+|MB|的最小值为10 例例48.48.(20222022春春 锡山区校级期中锡山区校级期中)点P为圆A:(x-4)2+y2=4上一动点，Q为圆B:(x-6)2+(y-4)2=1上一动点，O为坐标原点，则|PO|+|PQ|+|PB|的最小值为例例49.49.(20222022 成都模拟成都模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，AD=2,AA1=3，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且QC=2QP，则线段BQ的长度的最大值为例例50.50.(20222022 浙江二模浙江二模)棱长为 36 的正四面体 A-BCD 的内切球球面上有一动点 M，则 MB+13MC 的最小值为例例51.51.(20222022春春 诸暨市月考诸暨市月考)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=3 3，点 E，F在线段DB1上，且DE=EF=FB1，点M是正方体表面上的一动点，点 P，Q是空间两动点，若|PE|PF|=|QE|QF|=2且|PQ|=4，则MP MQ 的最小值为题型六：圆中的垂直问题题型六：圆中的垂直问题例例52.52.(20222022 蓟县一模蓟县一模)已知圆 T:(x-4)2+(y-3)2=25，过圆 T 内定点 P(2,1)作两条相互垂直的弦 AC 和BD，那么四边形ABCD面积最大值为()A.21B.21 3C.212D.42例例53.53.(20222022 湖北模拟湖北模拟)过圆x2+y2=25内一点P(15，0)作倾斜角互补的直线AC和BD，分别与圆交于A、C和B、D，则四边形ABCD面积的最大值为()A.40 3B.80 33C.40 2D.80 23例例54.54.(20222022 西湖区校级模拟西湖区校级模拟)过坐标原点 O 在圆 x2+y2-4x-5=0 内作两条互相垂直的弦 AB，CD，则2|AB|+|CD|的最大值例例55.55.(20222022 武汉模拟武汉模拟)过圆T:x2+y2=4外一点P(2,1)作两条互相垂直的直线AB和CD分别交圆T于A，B和C，D点，则四边形ABCD面积的最大值为例例56.56.过点P(0,3)作两条相互垂直的直线分别交圆x2+y2=16于A、C和B、D两点，则四边形ABCD面积的最大值为例例57.57.过定点M(1,2)作两条相互垂直的直线l1、l2，设原点到直线l1、l2的距离分别为d1、d2，则d1+d2的最大值是例例58.58.(20222022春春 永顺县校级期末永顺县校级期末)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r0)关于直线x+y+2=0对称(1)求圆C的方程；(2)直线l过点Q(1,0.5)，截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程；(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由题型七：圆的存在性问题题型七：圆的存在性问题例例59.59.(20222022 安徽安徽 高二月考高二月考)已知圆C:x-42+y-2 22=6和两点A-a,0，B a,0a0，若圆C上存在点P，使得APB=90，则实数a的取值范围是()A.6,2 6B.1,3C.0,2 6D.6,3 6例例60.60.(20222022 福建省南安市侨光中学高二月考福建省南安市侨光中学高二月考)已知圆C：x2+y-52=4和两点A-a,0，B a,0a0，若圆C上存在点M，满足MAMB，则实数a的取值范围是()A.3,5B.3,5C.3,7D.4,7例例61.61.(20222022 四川四川 阆中中学高二月考阆中中学高二月考(理理)已知圆C：(x-3)2+(y-6)2=1和两点A(-t,0),B(t,0),(t0)，若圆C上存在点P，使得APB=90，则t的最小值为()A.1B.2C.3D.4例例62.62.(20222022 江西江西 上高二中高二月考上高二中高二月考(理理)已知点A(1，0)，B(1，6)，圆Cx2+y2-10 x-12y+m=0，若在圆C上存在唯一的点P使APB=90，则m=()A.-3或3B.57C.-3或57D.3或57例例63.63.(20222022 黑龙江黑龙江 哈尔滨三中高二月考哈尔滨三中高二月考)如果圆C:x-a2+y-a2=8上总存在两个点到原点的距离均为2，则实数a的取值范围是()A.-3,-1 1,3B.-3,-3C.-1,1D.-3,-1 1,3例例64.64.(20222022 四川成都四川成都 高二月考高二月考(文文)已知圆C:x-12+y-22=9上存在四个点到直线l:x-y+b=0的距离等于2，则实数b范围是()A.(-,1-5 2)1+5 2,+B.1-5 2,1+5 2C.(-,1-2)1+2,+D.1-2,1+2例例65.65.(20222022 四川省武胜烈面中学校高二月考四川省武胜烈面中学校高二月考(理理)设点 M x0,1，若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N，使得OMN=45，则x0的取值范围是()A.-22,22 B.-,-1 1,+C.-2,2D.-1,1例例66.66.(20222022 黑龙江黑龙江 哈尔滨三中高二月考哈尔滨三中高二月考)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x-22+y2=9，E,F是直线l:y=x+2上的两点，若对线段 EF上任意一点P，圆C上均存在两点A,B，使得cosAPB0，则线段EF长度的最大值为()A.2B.14C.2 10D.4例例67.67.(20222022 重庆重庆 高二期中高二期中)已知 EF 是圆 C:x2+y2-2x-4y+3=0 的一条弦，且 CE CF，P 是 EF 的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线l:x-y-3=0上存在两点A,B，使得APB2恒成立，则线段AB长度的最小值是()A.3 2+1B.4 2+2C.4 3+1D.4 3+2例例68.68.(20222022 江西江西 南昌大学附属中学高二月考南昌大学附属中学高二月考)在平面直角坐标系中，已知点A(-1,0),B(2,0)，圆C:(x-2)2+(y-m)2=14(m0)，在圆上存在点P满足|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是A.22,62 B.54,212 C.0,212 D.52,212 例例69.69.(20222022 全国全国 高二课时练习高二课时练习)设点 M(3,4)在圆 x2+y2=r2(r 0)外，若圆 O 上存在点 N，使得 OMN=3，则实数r的取值范围是()A.52,+B.5 32,+C.5 32,5 D.52,5例例70.70.(20222022 江西江西 余干县第三中学高一月考余干县第三中学高一月考)已知点P(3,a)，若圆O:x2+y2=4上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是()A.(-3 3,3 3)B.-3 3,3 3C.(-,-3 3)(3 3,+)D.(-,-3 33 3,+)例例71.71.(多选题多选题)()(20222022 江苏江苏 苏州中学高二苏州中学高二)已知二次函数y=x2-2x+m m0交x轴于A,B两点(A,B不重合)，交y轴于点C圆M过A,B,C三点下列说法正确的是()A.圆心M在直线x=1上B.m的取值范围是 0,1C.圆M半径的最小值为1D.存在定点N，使得圆M恒过点N例例72.72.(多选题多选题)()(20222022 江苏南京江苏南京 高二月考高二月考)若直线x+y+m=0上存在点P，过点P可作圆O：x2+y2=3的两条切线PA，PB，切点为A，B，且APB=120，则实数m的取值可以为()A.-2 2B.0C.2 2D.3例例73.73.(多选题多选题)()(20222022 辽宁辽宁 渤海大学附属高级中学高二月考渤海大学附属高级中学高二月考)设圆 O：x2+y2=r2rN*，点 A 3,4，若圆 O上存在两点到A的距离为2，则r的可能取值为()A.3B.4C.5D.6例例74.74.(20222022 上海奉贤区致远高级中学高二月考上海奉贤区致远高级中学高二月考)在矩形 ABCD 中，AB=1,BC=a a0，PA 平面ABCD，且PA=1若边BC上存在两个不同的点Q1、Q2，使得PQ1DQ1,PQ2DQ2，则a的取值范围是_例例75.75.(20222022 江西江西 九江一中高二月考九江一中高二月考(理理)ABC 中 AB=AC=2，ABC 所在平面内存在点 P 使得 PB2+PC2=4，PA2=1，则ABC的面积最大值为_例例76.76.(20222022 江苏江苏 泰州中学高二月考泰州中学高二月考)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C：x+12+y2=2，点A 2,0，若圆C上存在点M，满足MA2+MO20，所以x=2 305，即方程x2+6x+10-x2-6x+10=4的解是x=2 305，故选：C.例例2.2.(20222022 安徽阜阳安徽阜阳 高三期末高三期末(理理)闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为A=a1,a2,an和B=b1,b2,bn，这两组数据间的闵氏距离定义为 dAB(q)=nk=1ak-bkq1q，其中q表示阶数.现有下列四个命题：若A=(1,2,3,4),B=(0,3,4,5)，则dAB(1)=4；若A=(a,a+1),B=(b-1,b)，其中a,bR R，则dAB(1)=dAB(2)；若A=(a,b),B=(c,d)，其中a,b,c,dR R，则dAB(1)dAB(2)；若A=a,a2,B=(b,b-1)，其中a,bR R，则dAB(2)的最小值为3 28.其中所有真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】对于：dAB(1)=|1-0|+|2-3|+|3-4|+|4-5|=4，故正确.对于：dAB(1)=2|a-b+1|,dAB(2)=2|a-b+1|，故错误.对于：dAB(1)=|a-c|+|b-d|,dAB(2)=(a-c)2+(b-d)2，不妨设|a-c|=M,|b-d|=N，M+N2M2+N22，且M,N均为非负数，所以M+NM2+N2故正确.对于：构造函数 f(x)=x2,g(x)=x-1，则dAB(2)=x1-x22+y1-y22，dAB(2)的最小值即两曲线动点间的最小距离，设 f(x)=x2与直线g(x)=x-1平行的切线方程为y=x+b，联立y=x2y=x+b 得：x2-x-b=0，令=1+4b=0得，b=-14，所以切线方程为y=x-14：g(x)=x-1与y=x+14之间的距离d=342=3 28，所以最小值为3 28，故正确.故选C.例例3.3.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习(文文)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120.根据以上性质，已知A(-2,0)，B(2,0)，C(0,4)，P为ABC内一点，记 f P=PA+PB+PC，则 f P的最小值为()A.2 3B.4+2 3C.4+3D.2+3【答案】B【解析】设O(0,0)为坐标原点，由A(-2,0)，B(2,0)，C(0,4)，知|AC|=|BC|=2 5,且ABC为锐角三角形，因此，费马点M在线段OC上，设M(0,h)，如图，则MAB为顶角是120的等腰三角形，故h=|OB|tan30=2 33，所以 f(P)f(M)=|MA|+|MB|+|MC|=4h+4-h=4+2 3，则 f P的最小值为4+2 3.故选：B例例4.4.(20222022 全国全国 高三专题练习高三专题练习)在直角坐标系 xOy 中，已知点 A x1,y1，B x2,y2，记 dpA,B=x1-x2p+y1-y2p，其中p为正整数，称dpA,B为点A，B间的M距离下列说法正确的是()A.若d1O,A=1，则点A的轨迹是正方形B.若d1A,B=d2A,B，则A与B重合C.d1A,B2d2A,BD.d2A,Bd1A,B【答案】A【解析】由d1O,A=1得 x1+y1=1，所以点A的轨迹是以O为中心的正方形，故A正确；记m=x1-x2，n=y1-y2，则m0，n0，若d1A,B=d2A,B，则m+n=m2+n2，显然有m=0，n=1满足此等式，可取点A 1,1，B 1,2，显然A与B不重合，故B错误；取点A 0,1，B12,1，d1A,B=12，d2A,B=14，则2d2A,B=24，此时d1A,B2d2A,B，故C错误，也可得D错误故选：A.例例5.5.(20222022 北京北京 牛栏山一中高三期中牛栏山一中高三期中)如图，平面内两条直线l1和l2相交于点O，构成的四个角中的锐角为60.对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对 p,q是点M的“距离坐标”，给出下列四个命题：1,0点有且仅有两个；2,3点有且仅有4个；若p=2q，则点M的轨迹是两条过O点的直线；满足p2+q2=1的所有点 p,q位于一个圆周上.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】命题，如图，有且只有两个点的距离坐标为 1,0，即命题正确.命题，如图，虚线分别为到两条直线的距离为2和3的平行直线，四条虚线总共4个交点，故 2,3点有且仅有4个，即命题正确；命题，如图，点M的轨迹是两条过O点的直线l3和l4，即命题正确；命题，如图，M(0,1)和M(1,0)分别在直线l1和l2上，易得|OM|=1sin60=2