2023届高考数学专项练习立体几何中的压轴小题含答案1.pdf

学科网（北京）股份有限公司 2023届高考数学专项练习专题2023届高考数学专项练习专题 23 立体几何中的压轴小题立体几何中的压轴小题【题型归纳题型归纳目录】目录】题型一：题型一：球与截面面积问题球与截面面积问题 题型二：题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题体积、面积、周长、角度、距离定值问题 题型三：题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题体积、面积、周长、距离最值与范围问题 题型四：题型四：立体几何中的交线问题立体几何中的交线问题 题型五：题型五：空间线段以及线段之和最值问题空间线段以及线段之和最值问题 题型六：题型六：空间角问题空间角问题 题型七：立体几何装液体问题题型七：立体几何装液体问题【典例例题】【典例例题】题型一：球与截面面积问题题型一：球与截面面积问题 例例 1（2022河南安阳模拟预测（文）已知球 O 的体积为1256，高为 1 的圆锥内接于球 O，经过圆锥顶点的平面截球 O 和圆锥所得的截面面积分别为12,S S，若1258S=，则2S=（）A2 B5C6D2 2 例例 2（2022广西南宁二中高三阶段练习（理）已知正四棱柱1111ABCDABC D中，122CCAB=，E 为1CC的中点，P 为棱1AA上的动点，平面过 B，E，P 三点，有如下四个命题：平面平面11AB E；平面与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形；当 P 与 A 重合时，截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118；存在点 P，使得 AD 与平面所成角的大小为3 则正确的命题个数为（）A1 B2 C3 D4 例例3（2022四川资阳高二期末（理）如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，2BD=，1DE=，点 P 在线段 EF 上给出下列命题：学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 存在点 P，使得直线/DP平面 ACF；存在点 P，使得直线DP 平面 ACF；直线 DP 与平面 ABCD 所成角的正弦值的取值范围是5,15；三棱锥ACDE的外接球被平面 ACF 所截得的截面面积是98 其中所有真命题的序号（）A B C D 例例 4（2022全国高三专题练习）如图所示，圆锥的轴截面PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，2PA=，C为PA中点若底面O所在平面上有一个动点M，且始终保持0MA MP=，过点O作PM的垂线，垂足为H当点M运动时，点H在空间形成的轨迹为圆三棱锥OHBC的体积最大值为112AHHO+的最大值为 2 BH与平面PAB所成角的正切值的最大值为55上述结论中正确的序号为（）A B C D 例例 5（2022安徽省舒城中学一模（理）已知正三棱锥ABCD的高为 3，侧棱AB与底面BCD所成的角为3，E为棱BD上一点，且12BE=，过点E作正三棱锥ABCD的外接球的截面，则截面面积S的最小值为（）学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A54 B34 C4 D4 例例 6（2022全国高三专题练习）已知三棱锥PABC的各个顶点都在球O的表面上，PA底面ABC，ABAC，6AB=，8AC=，D是线段AB上一点，且2ADDB=过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25，则球O的表面积为（）A128 B132 C144 D156 例例 7（2022全国高三专题练习）已知直四棱柱1111ABCDABC D，其底面ABCD是平行四边形，外接球体积为36，若1ACBD，则其外接球被平面11AB D截得图形面积的最小值为（）A8 B24310 C8110 D6 例例 8（2022全国高三专题练习（文）已知正三棱锥ABCD的外接球是球 O，正三棱锥底边3BC=，侧棱2 3AB=，点 E 在线段BD上，且BEDE=，过点 E 作球 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A9,34 B2,3 C11,44 D9,44 例例 9（2022浙江省江山中学模拟预测）如图，在单位正方体1111ABCDABC D中，点 P 是线段1AD上的动点，给出以下四个命题：异面直线1PC与直线1BC所成角的大小为定值；二面角1PBCD的大小为定值；若 Q 是对角线1AC上一点，则PQQC+长度的最小值为43；若 R 是线段BD上一动点，则直线PR与直线1AC不可能平行 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 其中真命题有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 例例 10（2022北京人大附中模拟预测）已知正方体1111,ABCDABC D O为对角线1AC上一点（不与点1,A C重合），过点O作垂直于直线1AC的平面，平面与正方体表面相交形成的多边形记为M，下列结论不正确的是（）AM只可能为三角形或六边形 B平面ABCD与平面的夹角为定值 C当且仅当O为对角线1AC中点时，M的周长最大 D当且仅当O为对角线1AC中点时，M的面积最大 例例 11（2022河南省实验中学高一期中）如图，在正方体1111ABCDABC D中，2AB=，M，N分别为11AD，11BC的中点，E，F分别为棱AB，CD上的动点，则三棱锥MNEF的体积（）A存在最大值，最大值为83 B存在最小值，最小值为23 C为定值43 D不确定，与E，F的位置有关 例例 12（2022山西运城模拟预测（文）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，线段1CD上有两个动点E，F，且12EF=，点 P，Q 分别为111ABBB，的中点，G 在侧面11CDDC上运动，且满足1BG平面1CD PQ，以下命题错误的是（）学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A1ABEF B多面体1AEFB的体积为定值 C侧面11CDDC上存在点 G，使得1BGCD D直线1BG与直线 BC 所成的角可能为6 例例 13（2022全国高三专题练习）如图所示，在正方体1111ABCDABC D中，过对角线1BD的一个平面交1AA于 E，交1CC于 F，给出下面几个命题：四边形1BFD E一定是平行四边形；四边形1BFD E有可能是正方形；平面1BFD E有可能垂直于平面1BB D；设1D F与 DC 的延长线交于 M，1D E与 DA 的延长线交于 N，则 MNB 三点共线；四棱锥11BBFD E的体积为定值 以上命题中真命题的个数为（）A2 B3 C4 D5 例例 14（2022陕西西北工业大学附属中学模拟预测（理）如图，棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点P为线段1AC上的动点，点,M N分别为线段111,AC CC的中点，则下列说法错误的是（）学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A11APAB B三棱锥1MB NP的体积为定值 C160,120APD D1APD P+的最小值为23 例例 15（2022全国高三专题练习）如图，在正方体1111ABCDABC D中，点 P 为线段11AC上的动点（点P与1A，1C不重合），则下列说法不正确的是（）ABDCP B三棱锥CBPD的体积为定值 C过P，C，1D三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 DDP 与平面1111DCBA所成角的正弦值最大为13 例例 16（2022全国高三专题练习）已知正方体1111ABCDABC D内切球的表面积为，P是空间中任意一点：若点P在线段1AD上运动，则始终有11C PCB；若M是棱11C D中点，则直线AM与1CC是相交直线；若点P在线段1AD上运动，三棱锥1DBPC体积为定值；E为AD中点，过点1B，且与平面1ABE平行的正方体的截面面积为62；以上命题为真命题的个数为（）A2 B3 C4 D5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 例例 17（2022江西南昌三模（理）已知长方体1111ABCDABC D中，2AB=，2 2BC=，13AA=，P为矩形1111DCBA内一动点，设二面角PADC为，直线PB与平面ABCD所成的角为，若=，则三棱锥11PABC体积的最小值是（）A2 B3 21 C22 D3 22 例例 18（2022浙江高三阶段练习）如图，在四棱锥QEFGH中，底面是边长为2 2的正方形，4QEQFQGQH=，M为QG的中点过EM作截面将此四棱锥分成上下两部分，记上下两部分的体积分别为1V，2V，则12VV的最小值为（）A12 B13 C14 D15 例例 19（2022四川省内江市第六中学高二期中（理）已知四面体ABCD的所有棱长均为2，,M N分别为棱,AD BC的中点，F为棱AB上异于,A B的动点有下列结论：线段MN的长度为1；点C到面MFN的距离范围为20,2；FMN周长的最小值为21+；MFN的余弦值的取值范围为30,3 其中正确结论的个数为（）A1 B2 C3 D4 例例 20（2022河南省实验中学高一期中）如图，在正方体1111ABCDABC D中，2AB=，M，N分别为11AD，11BC的中点，E，F分别为棱AB，CD上的动点，则三棱锥MNEF的体积（）学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A存在最大值，最大值为83 B存在最小值，最小值为23 C为定值43 D不确定，与E，F的位置有关 例例 21（2022全国高三专题练习（理）已知某正四棱锥的体积是23，该几何体的表面积最小值是1S，我们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是2S，则1S和2S的值分别是（）A3；24 B4；12 C4；24 D3；12 例例 22（2022全国高三专题练习）已知棱长为2的正方体1111ABCDABC D，棱1DD中点为M，动点P、Q、R分别满足：点P到异面直线BC、11C D的距离相等，点Q使得异面直线1AQ、BC所成角正弦值为定值2121，点R使得134ARB=当动点P、Q两点恰好在正方体侧面11CDDC内时，则多面体1RMPCQ体积最小值为（）A5 212 B24 C22 D26 例例 23（2022全国高三专题练习）在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点M是对角线1AC上的点（点M与1AC、不重合），有以下四个结论：学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 存在点M，使得平面1ADM 平面1BC D；存在点M，使得/DM平面11B DC；若1ADM的周长为 L，则 L 的最小值为4 66 23+；若1ADM的面积为S，则2 3,2 33S 则正确的结论为（）A B C D 例例 24（2022河南模拟预测（文）已知四面体ABCD的所有棱长均为2，M、N分别为棱AD、BC的中点，F为棱AB上异于A、B的动点有下列结论：线段MN的长度为1；存在点F，满足CD 平面FMN；MFN的余弦值的取值范围为50,5；FMN周长的最小值为21+其中所有正确结论的编号为（）A B C D 例例 25（2022全国高三专题练习）在棱长为1的正方体1111ABCDABC D中，P是线段1BC上的点，过1A的平面与直线PD垂直，当P在线段1BC上运动时，平面截正方体1111ABCDABC D所得的截面面积的最小值是（）A1 B54 C62 D2 例例 26（2022四川省成都市新都一中高二期中（文）如图，正方形EFGH的中心为正方形ABCD的中心，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 2AB=，截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥PEFGH（A，B，C，D四点重合于点P），则此四棱锥的体积的最大值为（）A128 6375 B128 5375 C43 D153 例例 27（2022青海大通回族土族自治县教学研究室二模（理）在棱长为 3 的正方体1111ABCDABC D中，P 为1ACD内一点，若1PB D的面积为3 32，则四面体1DD AP体积的最大值为（）A363+B363+C362+D362+例例 28（2022四川省宜宾市第四中学校三模（理）函数()sin2sin20e2xxf xx=，设球 O 的半径为()cos4f xx，则（）A球 O 的表面积随 x 增大而增大 B球 O 的体积随 x 增大而减小 C球 O 的表面积最小值为24e D球 O 的体积最大值为343e 题型四：立体几何中的交线问题题型四：立体几何中的交线问题 例例 29（2022全国高三专题练习（理）已知正方体ABCDA B C D 的棱长为4，E，F分别为BB，C D的中点，点P在平面ABB A 中，2 5=PF，点N在线段AE上，则下列结论正确的个数是（）学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点P的轨迹长度为2；线段FP的轨迹与平面ABCD的交线为圆弧；NP的最小值为6 5105；过A、E、F作正方体的截面，则该截面的周长为104132 533+A4 B3 C2 D1 例例 30（2022全国高三专题练习）在正四棱锥PABCD中，已知2PAAB=，O为底面ABCD的中心，以点O为球心作一个半径为2 33的球，则该球的球面与侧面PCD的交线长度为（）A66 B64 C63 D62 例例 31（2022全国高三专题练习）已知正四面体的中心与球心 O 重合，正四面体的棱长为2 6，球的半径为5，则正四面体表面与球面的交线的总长度为 A4 B8 2 C12 2 D12 例例 32（2022四川成都模拟预测（理）如图，ABC 为等腰直角三角形，斜边上的中线 AD3，E 为线段 BD 中点，将ABC 沿 AD 折成大小为2的二面角，连接 BC，形成四面体 CABD，若 P 是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（）A点 P 落在三棱锥 EABC 内部的概率为12 B若直线 PE 与平面 ABC 没有交点，则点 P 的轨迹与平面 ADC 的交线长度为3 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C若点P在平面ACD上，且满足 PA2PD，则点 P 的轨迹长度为23 D若点P在平面ACD上，且满足 PA2PD，则线段PB长度为定值 例例33（2022江苏徐州高二期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点（不含端点），将ABE沿AE翻折，使得二面角BAED为直二面角，得到图 2 所示的四棱锥BAECD，点F为线段BD上的动点（不含端点），则在四棱锥BAECD中，下列说法正确的是（）ABECF四点一定共面 B存在点F，使得CF平面BAE C侧面BEC与侧面BAD的交线与直线AD相交 D三棱锥BADC的体积为定值 例例 34（2022河南模拟预测（理）已知正方体1111ABCDABC D的棱长是 2，E，F 分别是棱11BC和1CC的中点，点 P 在正方形11BCC B（包括边界）内，当/AP平面1AEF时，AP长度的最大值为 a以 A 为球心，a 为半径的球面与底面1111DCBA的交线长为（）A2 B C52 D5 例例 35（2022湖南临澧县第一中学高二阶段练习）已知正四棱柱1111ABCDABC D中，122CCAB=，E为1CC的中点，P为棱1AA上的动点，平面过B，E，P三点，则（）A平面平面11AB E B平面与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形 C当P与 A 重合时，截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118 D存在点P，使得AD与平面所成角的大小为3 例例 36（2022江苏南京师大附中模拟预测）如图，圆柱的底面半径和高均为 1，线段AB是圆柱下底面的直 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 径，点O是下底面的圆心线段EF是圆柱的一条母线，且EOAB已知平面经过A，B，F三点，将平面截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”记平面与圆柱侧面的交线为曲线C则（）A曲线C是椭圆的一部分 B曲线C是抛物线的一部分 C二面角FABE的大小为4 D马蹄体的体积为V满足134V 例例 37（2022江苏南京外国语学校模拟预测）如图，正方形 ABCD-A1B1C1D1边长为 1，P 是1AD上的一个动点，下列结论中正确的是（）ABP 的最小值为62 BPAPC+的最小值为22 C当 P 在直线1AD上运动时，三棱锥1AB PC 的体积不变 D以点 B 为球心，22为半径的球面与面1ABC 的交线长为63 例例 38（2022全国高三专题练习）已知正四棱柱1111ABCDABC D的底面边为 1，侧棱长为 a，M 是1CC的中点，则（）A任意0a，1AMBD B存在0a，直线11AC与直线 BM 相交 C平面1ABM与底面1111DCBA交线长为定值52 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 D当2a=时，三棱锥11BABM外接球表面积为3 题型五：空间线段以及线段之和最值问题题型五：空间线段以及线段之和最值问题 例例 39（2022山东高一阶段练习）已知三棱锥PABC三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且6PAPBPC=，MN分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN的长度的最小值为（）A2 33 B4 36 C62 3 D2 3 例例 40（2022全国高三专题练习）已知正三棱锥SABC的底面边长为2，外接球表面积为3，2SA，点 M，N 分别是线段 AB，AC 的中点，点 P，Q 分别是线段 SN 和平面 SCM 上的动点，则APPQ+的最小值为（）A2 624 B624+C3 24 D22 例例 41（2022全国高三专题练习）在棱长为 3 的正方体1111ABCDABC D中，点E满足112AEEB=，点F在平面1BC D内，则1AFEF+的最小值为（）A29 B6 C41 D7 例例 42（2022全国高一专题练习）如图所示，在直三棱柱111ABCABC中，11AA=，3ABBC=，1cos3ABC=，P 是1AB上的一动点，则1APPC+的最小值为（）A5 B7 C13+D3 例例 43（2022湖北高一阶段练习）已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，E 为线段1AA的中点，APABAD=+uuu ruuu ruuu r，其中,0,1，则下列选项正确的是（）A12=时，11APED B14=时，1B PPD+的最小值为13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C1+=时，直线1AP与面11B D E的交点轨迹长度为22 D1+=时，正方体被平面1PAD截的图形最大面积是4 2 例例 44（2022湖南岳阳三模）如图，在直棱柱1111ABCDABC D中，各棱长均为 2，3ABC=，则下列说法正确的是（）A三棱锥1AABC外接球的体积为28 2127 B异面直线1AB与1BC所成角的正弦值为32 C当点 M 在棱1BB上运动时，1MDMA+最小值为2 52 3+DN 是ABCD所在平面上一动点，若 N 到直线1AA与BC的距离相等，则 N 的轨迹为抛物线 例例 45（2022全国高三专题练习）在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点P满足1DPDDDA=+uuu ruuuruuu r，0,1，0,1，则以下说法正确的是（）A当=时，/BP平面11CB D B当12=时，存在唯一点P使得DP与直线1CB的夹角为3 C当1+=时，CP长度的最小值为62 D当1+=时，CP与平面11BCC B所成的角不可能为3 例例 46（2022全国模拟预测）如图，点 M 是棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中的侧面11ADD A上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A存在无数个点 M 满足1CMAD B当点 M 在棱1DD上运动时，1|MAMB+的最小值为31+C在线段1AD上存在点 M，使异面直线1B M与CD所成的角是30 D满足1|2MDMD=的点 M 的轨迹是一段圆弧 例例 47（2022浙江绍兴模拟预测）如图，斜三棱柱111ABCABC中，底面ABC是正三角形，,E F G分别是侧棱111,AA BB CC上的点，且AECGBF，设直线,CA CB与平面EFG所成的角分别为,，平面EFG与底面ABC所成的锐二面角为，则（）Asinsinsin,coscoscos+Bsinsinsin,coscoscos+Csinsinsin,coscoscos+Dsinsinsin,coscoscos+例例 48（2022浙江高三专题练习）在三棱锥PABC中，顶点 P 在底面的射影为ABC的垂心 O（O 在ABC内部），且 PO 中点为 M，过 AM 作平行于 BC 的截面，过 BM 作平行于 AC 的截面，记，与底面ABC 所成的锐二面角分别为1，2，若PAMPBM=，则下列说法错误的是（）A若12=，则ACBC=B若12，则121tantan2=学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C可能值为6 D当取值最大时，12=例例 49（2022全国高三专题练习）在三棱台111BCDBC D中，1CC底面 BCD，BCCD，12BCCDCC=，111BC=若 A 是 BD 中点，点 P 在侧面11BDD B内，则直线1DC与 AP 夹角的正弦值的最小值是（）A16 B26 C36 D66 例例 50（2022浙江台州高三期末）已知在正方体1111ABCDABC D中，点E为棱BC的中点，直线l在平面1111DCBA内若二面角AlE 的平面角为，则cos的最小值为（）A34 B1121 C33 D35 例例 51（2021全国高二课时练习）已知正方体ABCDA B C D 的棱长为 3，E为棱AB上的靠近点B的三等分点，点P在侧面CC D D 上运动，当平面BEP与平面ABCD和平面CC D D 所成的角相等时，则D P的最小值为（）A3 105 B3 1010 C9 1010 D7 1010 例例 52（2021浙江瑞安中学模拟预测）已知点 P 是正方体ABCDA B C D 上底面A B C D 上的一个动点，记面 ADP 与面 BCP 所成的锐二面角为，面 ABP 与面 CDP 所成的锐二面角为，若，则下列叙述正确的是（）AAPCBPD BAPCBPD Cmax,max,APDBPCAPBCPD Dmin,min,APDBPCAPBCPD 例例 53（2022全国高三专题练习）如图，将矩形纸片ABCD折起一角落()EAF得到EA F，记二面角AEFD的大小为04，直线AE，A F与平面BCD所成角分别为，则（）学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A+B+C2+D2+例例 54（2022全国高三专题练习）如图，在正方体ABCDEFGH中，P在棱BC上，BPx=，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为AlP 为，已知初始状态下0 x=，0d=，则（）A当x增大时，先增大后减小 B当x增大时，先减小后增大 C当d增大时，先增大后减小 D当d增大时，先减小后增大 题型七：立体几何装液体问题题型七：立体几何装液体问题 例例 55（2022全国高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为 4 的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDDC上有一个小孔E，E点到CD的距离为 3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDDC与桌面所成角的正切值为（）学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A55 B12 C2 55 D2 例例 56（2022全国高一课时练习）一个封闭的正三棱柱容器，高为 3，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点11,E F F E分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为（）A32 B74 C2 D94 例例 57（2022湖北宜昌一模（文）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱111ABCABC容器，如图 1，ABC为正三角形，2AB=，13AA=，里面装有体积为2 3的液体，现将该棱柱绕BC旋转至图 2在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（）学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 液面刚好同时经过A，1B，1C三点；当平面ABC与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为31；当液面与水平桌面的距离为32时，AB与液面所成角的正弦值为34 A0 B1 C2 D3 例例 58（2022全国高一课时练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（）A1 5,6 6 B1 5,6 6 C1 2,6 3 D1 2,6 3 例例 59（2022全国高一课时练习）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（）A202,3 B4 17,33 C172,3 D4 20,33 例例 60（2022重庆高二期末（文）已知某圆柱形容器的轴截面是边长为 2 的正方形，容器中装满液体，现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为（）A3 B23 C D43 例例 61（2022福建厦门高一期末）如图（1）平行六面体容器1111ABCDABC D盛有高度为h的水，12ABADAA=，1A AB=160A ADBAD=固定容器底而一边BC于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过A，1B，1C，D四点，则h的值为（）学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A33 B63 C2 33 D2 63 例例 62（2022福建厦门市湖滨中学高一期中）如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCDABC D内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题是（）A水面EFGH所在四边形的面积为定值 B随着容器倾斜度的不同，11AC始终与水面所在平面平行 C没有水的部分有时呈棱柱形有时呈棱锥形 D当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH为定值 例例 63（2022山东高三专题练习）一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：正三角形直角三形正方形梯形，其中正确的个数有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题专题 23 立体几何中的立体几何中的压轴小题压轴小题【题型归纳题型归纳目录】目录】题型一：题型一：球与截面面积问题球与截面面积问题 题型二：题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题体积、面积、周长、角度、距离定值问题 题型三：题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题体积、面积、周长、距离最值与范围问题 题型四：题型四：立体几何中的交线问题立体几何中的交线问题 题型五：题型五：空间线段以及线段之和最值问题空间线段以及线段之和最值问题 题型六：题型六：空间角问题空间角问题 题型七：立体几何装液体问题题型七：立体几何装液体问题【典例例题】【典例例题】题型一：球与截面面积问题题型一：球与截面面积问题 例例 1（2022河南安阳模拟预测（文）已知球 O 的体积为1256，高为 1 的圆锥内接于球 O，经过圆锥顶点的平面截球 O 和圆锥所得的截面面积分别为12,S S，若1258S=，则2S=（）A2 B5 C6 D2 2【解析】球 O 半径为 R，由3412536R=得52R=，平面截球 O 所得截面小圆半径1r，由211285Sr=得152 2r=，因此，球心 O 到平面的距离221152 2dRrr=，而球心 O 在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为45，因圆锥的高为 1，则球心 O 到圆锥底面圆的距离为132d=，于是得圆锥底面圆半径2222153()()222rRd=，令平面截圆锥所得截面为等腰PAB，线段 AB 为圆锥底面圆1O的弦，点 C 为弦 AB 中点，如图，依题意，145CPO=，111COPO=，2PC=，弦22122 3ABrOC=，所以2162ABSPC=学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故选：C 例例 2（2022广西南宁二中高三阶段练习（理）已知正四棱柱1111ABCDABC D中，122CCAB=，E 为1CC的中点，P 为棱1AA上的动点，平面过 B，E，P 三点，有如下四个命题：平面平面11AB E；平面与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形；当 P 与 A 重合时，截此四棱柱的外接球所得的截面面积为118；存在点 P，使得 AD 与平面所成角的大小为3 则正确的命题个数为（）A1 B2 C3 D4【解析】由题意可知，12BEB E=，112CCBB=，所以22211BEB EBB+=，所以1BEB E，又因为11AB 平面11BCC B，且BE 平面11BCC B，所以11ABBE，因为1111ABB EB=，11AB，1B E 平面11AB E，所以BE 平面11AB E，又BE 平面，所以平面平面11AB E，故正确；对于，当1PAPA时，可延长 BP 交11B A的延长线于点 M，延长 BE 交11BC的延长线于点 N，连结 MN，分别交11AD，11DC于点 R，Q，连结 PR，EQ，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则截面为五边形 BPRQE，故错误；对于，当 P 与 A 重合时，可取1DD的中点为点 F，截面为图示中的矩形 ABEF，则四棱柱的外接球半径为222112622R+=，设点1O为平面11ADD A的中心，过1O作1OGAF于G，连接1O F，则可得1OGAB，1OG 平面ABEF，所以点1O到平面 ABEM 的距离12sin44dO F=，所以截此四棱柱的外接球所得的截面圆的半径226211248r=，所以截此四棱柱的外接球所得的截面的面积为2118Sr=，故正确；对于，AD 与平面所成角的大小，即为 BC 与平面所成角，可设为，作CHBE于点 H，设点 C 到平面的距离为 h，则22hCH=，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所以23sin22hhCHBC=，则3，故错误 综上，正确的命题个数为 2 故选：B 例例3（2022四川资阳高二期末（理）如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，2BD=，1DE=，点 P 在线段 EF 上给出下列命题：存在点 P，使得直线/DP平面 ACF；存在点 P，使得直线DP 平面 ACF；直线 DP 与平面 ABCD 所成角的正弦值的取值范围是5,15；三棱锥ACDE的外接球被平面 ACF 所截得的截面面积是98 其中所有真命题的序号（）A B C D【解析】取 EF 中点 G，连 DG，令ACBDO=，连 FO，如图，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在正方形 ABCD 中，O 为 BD 中点，而 BDEF 是矩形，则/DOGF且DOGF=，即四边形 DGFO 是平行四边形，即有/DGFO，而FO 平面 ACF，DG 平面 ACF，于是得/DG平面 ACF，当点 P 与 G 重合时，直线/DP平面 ACF，正确；假定存在点 P，使得直线DP 平面 ACF，而FO 平面 ACF，则DPFO，又/DGFO，从而有DPDG，在RtDEF中，90DEF=，DG 是直角边 EF 上的中线，显然在线段 EF 上不存在点与 D 连线垂直于 DG，因此，假设是错的，即不正确；因平面BDEF 平面ABCD，平面BDEF 平面ABCDBD=，则线段 EF 上的动点 P 在平面ABCD上的射影在直线 BD 上，于是得PDB是直线 DP 与平面 ABCD 所成角的，在矩形 BDEF 中，当 P 与 E 不重合时，PDBDPE=，22211sinsin1DEPDBDPEDPDEEPEP=+，而02EP，则5sin15PDB，当 P 与 E 重合时，2PDB=，sin1PDB=，因此，5sin15PDB，正确；因平面BDEF 平面ABCD，平面BDEF 平面ABCDBD=，BFBD，BF 平面BDEF，则BF 平面ABCD，2BC=，在ACF中，223AFCFBCBF=+=，显然有FOAC，222sin3FOBOBFFACAFAF+=，由正弦定理得ACF外接圆直径32sin2CFRFAC=，32 2R=，三棱锥ACDE的外接球被平面 ACF 所截得的截面是ACF的外接圆，其面积为298R=，正确，所以所给命题中正确命题的序号是 故选：D 例例 4（2022全国高三专题练习）如图所示，圆锥的轴截面PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，2PA=，C为PA中点若底面O所在平面上有一个动点M，且始终保持0MA MP=，过点O作PM的垂线，垂足为H当点M运动时，点H在空间形成的轨迹为圆 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 三棱锥OHBC的体积最大值为112 AHHO+的最大值为 2 BH与平面PAB所成角的正切值的最大值为55 上述结论中正确的序号为（）A B C D【解析】建系如图，PAB为等腰直角三角形，2,2,2 2PAPOAB=()()2,0,0,0,0,2AP M在O所在圆上，设(),0M x y，()()0,2,0,2MA MPMAxyMPxy=，2220 xxy+=，则 M 的轨迹为圆222122xy+=，M是以 OA 为直径在 xoy 面上的圆 又OHPM随着 M 运动，H 轨迹是以 OC 为直径的圆，故正确 由图可得，B 到面 COH 的距离为 1，()max1111224CHOS=，()()maxmax11113412O HBCB CHOVV=故正确；设0,1OHx=，则21CHx=，22AOx=，2222222AOOHxxxx+=+=，当1x=时等号成立，即当 H 运动到点 C 时，()max2AHHO+=，故正确；由知 H 在以 OC 为直径的圆上，且该圆所在的平面与平面 PAB 垂直，由对称性，只考虑 C 在上半圆，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 如图，过 H 作1HHCO，过 B 作1BBCO，则 BH 与平面 PAB 所成的角为1HBH，又145BOB=，22112BOBBOB=+=111111522tan522 2COHHHBHBHBO=，故错误 综上所述，正确的序号为 故选：D 例例 5（2022安徽省舒城中学一模（理）已知正三棱锥ABCD的高为 3，侧棱AB与底面BCD所成的角为3，E为棱BD上一点，且12BE=，过点E作正三棱锥ABCD的外接球的截面，则截面面积S的最小值为（）A54 B34 C4 D4【解析】如图，三棱锥ABCD为正三棱锥，顶点A在底面的射影H为BCD的中心，连接AH，则三棱锥外接球的球心O在AH上，连接BH，OE，EH 显然过点E作球O的截面中，面积最小的是垂直于OE的截面，正三棱锥ABCD的高为3，即3AH=，侧棱AB与底面BCD所成的角为3，在RtAHB中，可解得2 3AB=，3BH=BCD是正三角形，3BC=设正三棱锥的外接球半径为R，则()22233RR+=，解得2R=，如图，在BEH中，12BE=，3BH=，由余弦定理得22211313672cos30323422444EHBHBEBH BE=+=+=，222711144OEEHOH=+=+=，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 垂直于OE的截面半径r满足222115444rROE=，254rS=，即截面最小面积为54 故选：A 例例 6（2022全国高三专题练习）已知三棱锥PABC的各个顶点都在球O的表面上，PA底面ABC，ABAC，6AB=，8AC=，D是线段AB上一点，且2ADDB=过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25，则球O的表面积为（）A128 B132 C144 D156【解析】PA平面ABC，ABAC，将三棱