【精品】2022届二轮复习专题四第1讲空间几何体的结构体积与表面积学案.docx

专题四立体几何高频考点梳理三年考题统计命题角度再思考1.空间几何体的结构、体积 与外表积(2019全国I ,理12) (2019全国II,理 16)(2019全国m,理16) (2020全国I ,理 3)(2020全国I ,理10) (2020全国II，理 7)(2020 全国 II,理 10) (2020 全国III,理 8)(2020 全国HI,理 15) (2021 全国 甲，理6)(2021全国甲，理11) (2021全国 乙，理16)1 .球与几何体的切接问题2 .空间几何体的结构及有关棱长、斜高等 几何元素的计算3 .求空间几何体的体积或外表积（侧面积）4 .球的截面性质5 .求球的外表积或体积6 .求三视图或根据三视图判断点的位置关 系7 .根据三视图求几何体的外表积或体积2.空间位置关系(2019 全国 I ,理 18(1) (2019 全 国II，理7)(2019 全国 II,理 17(1) (2019 全国in,理8)(2019 全国m,理 19(1) (2020 全 国 I ,理 18(1)(2020全国H,理16) (2020全国II,理20)(2020 全国III,理 19(1) (2021 全 国甲，理19(1)(2021全国乙，理18(1)1 .证明线线、线面、面面平行2 .判断空间点、线、面的位置关系3 .证明线线、线面、面面垂直4 .证明点、线、面的位置关系5 .根据点、线、面的位置关系求线段的长 度3.空间角与距离的计算(2019 全国 I ,理 18(2) (2019 全国 H,理 17(2) (2019 全国HI,理 19(2) (2020 全国 I ,理 18(2) (2020 全国 H,理 2(X2) (2020 全国m,理 19(2) (2021全国甲，理19(2) (2021全国乙，理5) (2021全国乙，理18(2)1 .求二面角的大小（或某个三角函数值）2 .求直线与平面所成的角（或某个三角函 数值）3 .求点到平面的距离4 .利用函数知识求二面角正弦值的最小值5 .求异面直线所成的角（或余弦值）第1讲 空间几何体的结构、体积与外表积区必备知识精要梳理L空间几何体的外表积与体积由正方体的特点可知,MN1 BD,MNA_DDt,又BOCOOi =。,所以MNJL平面 E 11BDDO,贝U Vo-pmn= Vm-opq+Vn-opq=cSaopqMN,Jc er c 1/ /77 , 3V2 c 1 B 1 t 3V25V2SaopQ二S梯形/oqo Saoo/.Saoo尸二,(或+迎一xlx- =,故 Vo-PMN=W xx V2 = g.应选 B.34o【对点练3】A 解析AC,8cAe=BC=1,设Oi为AB的中点，连接C0i,00i,贝COi二孝,由题意 乙00平面ABCRtAOOiC中,0。二行2?连=那么三棱锥0-A3C的体积 乙u 1 1 1 1 V2 V2 为一X x IXIX. /73 22 12【例4】(1)A (2)D 解析由题意知。的半径片2.由正弦定理知黑=2匕，001 =4-60。=2VX.球O的半径R二卜 + 100/2=4.球。的外表积为471H2=64兀(2)设 PA=PB=PC=2x.丁及尸分别为P4AB的中点,：.EF/PB,A EF=gPB=x. 乙ABC为边长为2的等边三角形,:CF=«.又/CEF=9。,CE=y/3-x2,AE=PA =x.在AEC中,由余弦定理可知cosZEAC=cosZEAC=%2+4-(3-%2)-2x2%作 PDLAC 于点 D/：PA=PC.为AC的中点,cosNE4C=黑=1/1 ZX x2+4-3+x2 _ 1- 4x = 2x'2X2+1=2. x2 x=乎. 乙乙:.PA=PB=PC他又 AB=BC=AC=2,：.PA 1PB± PC. ：. 2R=y/2 + 2 + 2 =瓜:飞空.，=遥兀.应选 D.【对点练4】(1)B (2)C解析将三棱锥P-ABC放入长方体中，如图，三棱锥P-ABC的外接球就是长方体的外接球.因为PA=AB=2.AC=AABC 为直角三角形，所以3C=28.设外接球的半径为瓦依题意可得(2)2=4+4+12=20,故炉=5,那么球0的外表积 为5=4兀R2=20兀.应选B.(2)设等边三角形ABC的边长为球O的半径为RZVLBC的外接圆的半径为匕贝U &A3C=字之二季,§球o=4兀穴2=16兀，解得=3,R=2.故r=| x劣二b.设O到平面 44o ZABC的距离为d,那么辟十於二R?,故d=7R2-丫2 = ,4-3 = 1 .应选C.【例5】|解析如图,设正三棱锥内切球的半径为为内切球与侧面PAB的切 点，。为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为r.*. ABC 为等边三角形,CD=，BC2/£)2 =6,CHqCD 聋,DH=±CD 筌, DDD。PH=y/PC2-CH2 = 113-同=乎, 793 a dca/o a dfilj °” P° 日口 R PH-R APOMs APDH,.而=而，即忑=前.T又 PD=y/PB2-BD2 = 7131 =2V3,Di吗=，解得公留. TV sin ZMOQ=sinZPDH= =演，r=MQ=Rsin ZMOQ-R.由正三棱锥的定义知，内切圆与三个侧面相切，切点构成的三角形为等边三角 形，故NMQN=120。,由余弦定理可得 W2=+A2cosl20°=3r=3x|f x 1r 二 |,3o 21 3oo【对点练5】与 解析（方法一）由题意可知圆锥轴截面为底边长为2,腰长为3的 等腰三角形，其内切圆为该球的大圆.如图,S3=3乃C=l,SC=y/SB2-BC2=2V2.设该球内切于母线S注切点为点0.令。=0。=氏由SOOsSBC得穿=誓，即。=驾£解得R萼. DC DD 1DZ因此因球鼻尺3=.俘）=亨.（方法二）由题意可知该圆锥的轴截面为底边长为2,腰长为3的等腰三角形, 其内切圆为该球的大圆.该三角形的周长为8,面积为2企，由于三角形面积S,周长。和内切圆半径R的关系为5=竽，即R号=噌故该球的体积为V球留神加传丫 =等 乙C/4OkJ /O外表积=侧面积+底面积几何体侧面积外表积体积圆柱S（vj=2nr/S衣二2兀4+/）V=S 底 h=n 产 h圆锥S =nrlS表二兀4厂+/）V=1s 底圆台S 侧=兀（7+/S表=兀（户+V=1（S 上+S 下+小卜 S下）=（产+r/2+）/z几何 体侧面积外表积体积直棱 柱5侧二。2（。为底面周长）S表=5矶+S上+S下（棱锥的S ±=0）V= S 底/2正棱 锥S侧=。2'（/2'指斜高）V=f底力正棱 台S侧=#C+CM'（CC分别是上、下 底面周长”指斜高）V=#S上+S下+Js上S下）球S=4nR2V 二,R3误区警示锥体的体积v=1s底h,不要漏掉系数最2.几个常用结论（1）斜二测画法直观图面积为原图形面积的9倍.（2）长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为。力c那么其体对角线即外接球直径为 Va2 + b2 + c2.（3）各棱长相等（都为）的三棱锥的几个结论：高为名;外表积为四。2,体积为祟3；侧棱和底面所成角的正弦值为器相邻两个 OJL 4。面所成二面角的余弦值为玄内切球半径为条，外接球半径为平。，其比值为1 : 3.31Z4（4）正方体与球的几个结论：设正方体的棱长为。，那么其外接球半径宠二手。，内切球半径一与与各棱相切的球（棱切球） 半径为温;设球的半径为民那么球的外切正方体的边长为2尺内接正方体的边长为寻R名师点析借助图形记结论，客观题中直接用区关键能力学案突破突破点空间几何体的三视图例1（1）（2021全国甲，理6）在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,£G.该正 方体截去三棱锥4EEG后，所得多面体的三视图中，正视图如下图，那么相应的侧视图是正视图正视图ABCD（2）（2021四川一模）如图是某四棱锥的三视图，那么该四棱锥的高为（）俯视图B.2C.竿D.警JJ规律方法画三视图的三个规那么:画法规那么:“长对正、宽相等、高平齐（2）摆放规那么:侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方.实虚线的画法规那么:可见轮廓线和棱用实线画出，不可见的线和棱用虚线画出.对点练1如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一 平面将一圆柱截去一局部后所得，那么该几何体的体积为（）B.63HA.90 兀C.42ttD.36 兀（2）（2021全国乙，理16）以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视 图，组成某个三棱锥的三视图，那么所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要 求的一组答案即可）.突破点二 空间几何体的外表积和体积考向1空间几何体的侧面积和外表积例2（2020全国HI,理8）右图为某几何体的三视图，那么该几何体的外表积是（）A.6+4V2B.4+4V2C.6+2V3D.4+2V3（2）（2021全国甲，文14）一个圆锥的底面半径为6,其体积为30兀，那么该圆锥的侧面积 为.规律方法求几何体的外表积的方法求外表积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这 是解决立体几何的主要出发点；（2）求不规那么几何体的外表积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体、球,先求这些柱、 锥、台体、球的外表积，再通过求和或作差求得所给几何体的外表积.对点练2（2021黑龙江大庆一模）四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，点P在平面ABCD上的射影为AO的中点。,假设A3=2,AQ=6,PO=4,那么四棱锥P-ABCD的外表积等于（）A.34+6V5B.34+4V3C.6+6V5+4V3 D.6+6V3+4V13考向2空间几何体的体积例3（1）（2021陕西宝鸡二模）如图是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为（）A.8-71A.8-718-ttB,T8-2n.丁俯视图（2）在棱长为2的正方体中,0为正方形AiSGOi的中心,P,M,N分别为DDxAB.BC的中点，那么四面体0PMN的体积为（）A 5A适B-I规律方法求空间几何体的体积的常用方法公式 法 等积 法 前 法对于规那么的几何体的体积，可直接利用体积公式求解等积法也称等积转化或等积变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决锥 体的体积,特别是三棱锥的体积求不规那么几何体的体积，常用分割或补形的思想,将不规那么几何体转化为规那么几何体，以易于求解对点练3（2021全国甲，理11）人民。是半径为1的球。的球面上的三个点，且AC_L 8cAe=BC=1,那么三棱锥0-A3C的体积为（）A呸R渔C巫D遗A.。B12C，4Dy突破点三球与几何体的切、接问题考向1外接球例4（1）（2020全国I ,理10）A,8,C为球O的球面上的三个点,OO|为工ABC的外接 圆.假设。1的面积为4兀,A5=3C=AC=0。,那么球O的外表积为（）A.64 兀B.48 兀C.36 兀D.32 兀（2）（2019全国I ,理12）三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,是边长为2的正三角形,&F分别是PA.AB的中点,NCEb=90。，那么球。 的体积为（）A.8V671 B.4a/6tiC.2巡兀_规律方法求多面体的外接球半径的技巧利用球的性质:几何体的不同面中，任意直角所对的棱必然是球的大圆直径，也即球的 直径；补形法:侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱相等，或线面垂直的模型，可以还原到正 方体或长方体模型中去求解；利用定义确定球心:到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心,方法是先确定有特殊 底面的外接圆的圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，那么球心一定在此垂线上，最后根据其他顶 点确定球心的准确位置,列关系求解.对点练4（1）（2021山西晋中二模）九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖朦 假设三棱锥P-ABC为鳖臊,24,平面A6CPA=A3=2,AC=4,三棱锥P-ABC的四个顶点都在球0 的球面上，那么球O的外表积为（）A.12兀B.20 兀C.24 兀D.32 兀（2）（2020全国H,理10）A3C是面积为竽的等边三角形，且其顶点都在球。的球面 4上.假设球O的外表积为16兀,那么O到平面ABC的距离为（）A.V3B.|C.lD.当考向2内切球例5（2021山东烟台一模）正三棱锥P-A5C的底面边长为2,侧棱长为旧，其内切球 与两侧面PAB,PBC分别切于点MN,那么MN的长度为.对点练5(202。全国in,理15)圆锥的底面半径为1,母线长为3,那么该圆锥内半径最大的球的体 积为.专题四立体几何第1讲 空间几何体的结构、体积与外表积关键能力.学案突破【例。(1)D (2)D解析(1)由题意还原该正方体的直观图如下图，该多面体的三视图 中，相应的侧视图为D.(2)根据三视图，在正方体中截取出符合题意的立体图形如图,PA8是棱长为 2的正方体的顶点,CQ是所在棱的中点./ 研J上I,I /R在四棱锥P-ABCD中过尸作PEJLAD在正方体中有CDJ_平面PAD,PEu平 面P4D,所以。_1_2笈又4）门。=，4。,。（=平面A3CO,所以尸平面ABCD.所以四棱锥的高为PE,由三视图可知AB=CD=2,AD=PD=显,因为PE4=2x2,所 以尸8=塔，故四棱锥的高为华.应选D.JJ【对点练1】B （2）或解析方法一（害寸补法）由几何体的三视图可知，该几何体 是一个圆柱截去上面虚线局部所得，如下图.将圆柱补全,并将圆柱从点A处水平分成上下两局部,由图可知，该几何体的体积等于下局部圆柱的体积加上上局部圆柱体积的所以该几何体的体积V=7ix32><4+71x32x6x5=63兀.应选 B.1方法二（估值法）由题意知与丫圆柱V几何体V 圆柱，又V圆柱二71x32x10=90兀，/. 乙45兀丫几何体90兀观察选项可知只有63兀符合.应选B.（2）根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，侧视图只能是或.假设侧视图为，如图，平面P8CJ_平面A8CA48C为等腰三角形（8C为底 边）,俯视图为；假设侧视图为，如图（2）,PB J_平面A5CA8=8C俯视图为.(1)(2)p/2If【例2】(1)C (2)3971解析(1)由三视图可知，该几何体为三棱锥，是棱长为2的正方体一角，其外表积为 3x1x2x2 +1x2V2x2V2xsin60°=6+2/ 乙乙(2)设圆锥的高为父母线长为/,那么，x62./z=30兀，解得力二朱贝I 1=462 + h2 =苧,所以圆锥的侧面积为 O乙乙13兀*6乂亏=39兀.【对点练2】A 解析连接。3。,因为POJ_平面ABCDAOu平面A5CD,所以PO_L4O,同理 P0J_CZ),P0J_03,P0_L0C,P0J_43，又 CO,4O,AOCPO=O,AO,POu平面 PAD, 所以era平面PA。,而PZ)u平面PA。,所以CZ)J_PQ,同理A8LPA,11,因此 S-31。/0岩心4=12/。=，42 + 32=5, 乙乙5apcd=-C£>-PD=-x2x5 =5,Spab=5.S 矩形abcd=2x6=Y2,PC=TCD? + PD2= 乙乙V22 + 52 = 回，同理。8=同,4243是等腰三角形，所以底边上的高为 h-JpC2-(与)2 &二2遍,5*8。二36乂2遥=6函，所以所求外表积5=12+5+5 + 12+6辰34+6西,应选 A.【例3】(1)B (2)B解析(1)由三视图可得，该几何体为一个四棱锥(其底面是边 长为2的正方形，高为2)去掉半个圆锥(其底面半径为1,高为2),如图，所以该几何体的体积V=x2x2x2jx 兀xpx2二等.应选B.(2)如下图，连接BD交于点Q,连接PQQQQDi,