【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题17 几何证明选讲 理.doc

【备战2013】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题17 几何证明选讲 理【2012高考真题精选】（2012·辽宁卷）如图18，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交O于点E.证明：(1)AC·BDAD·AB；(2)ACAE.（2012·江苏卷如图17，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC，AE，DE.求证：EC.图17【答案】A.证明：如图，连结OD，因为BDDC，O为AB的中点，（2012·湖北卷如图16所示，点D在O的弦AB上移动，AB4，连结OD，过点D作OD的垂线交O于点C，则CD的最大值为_（2012·全国卷）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AEBF.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()A16 B14C12 D10（2012·北京卷）如图13，ACB90°，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()ACE·CBAD·DBBCE·CBAD·ABCAD·ABCD2DCE·EBCD2（2012·广东卷如图13，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足ABC30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA_.（2012·湖南卷）如图13，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_（2012·课标全国卷如图16，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.（2012·陕西卷如图15，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DF·DB_.（2012·天津卷）如图13所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_图13【2011高考真题精选】（2011·北京卷）如图12，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.图12给出下列三个结论：ADAEABBCCA；AF·AGAD·AE；AFBADG.其中正确结论的序号是()A BC D图12（2011·广东卷)如图12，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB7，C是圆上一点使得BC5，BACAPB，则AB_.（2011·广东卷)如图13，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，图13E、F分别为AD、BC上点，且EF3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为_（2011·湖南卷）如图12，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为_【答案】 【解析】 连结AO与AB，因为A，E是半圆上的三等分点，所以ABO60°，EBO30°.因为OAOB2，所以ABO为等边三角形又因为EBO30°，BAD30°，所以F为ABO的中心，易得AF.（2011·辽宁卷）选修41：几何证明选讲图111 如图111，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，ECED.(1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆（2011·辽宁卷） 如图110，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线图110与BC的延长线交于E点，且ECED.(1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆（2011·课标全国卷）如图110，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合图110已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90°，且m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径图111【解答】 (1)证明：连结DE，根据题意在ADE和ACB中，AD×ABmnAE×AC， (几何证明选做题)如图15，BD，AEBC，ACD90°，且AB6，AC4，AD12，则BE_.【答案】4【解析】 在RtADC中，CD8；在RtADC与RtABE中，BD，所以ADCABE，故，BE×CD4.【2010高考真题精选】1(2010年高考天津卷理科14)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若，则的值为 。 【答案】【解析】因为ABCD四点共圆，所以PCB，CDA=PBC，因为P为公共角，所以，所以，设PC=x，PB=y，则有，即，所以=。2. (2010年高考湖南卷理科10)如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A，B两点，已知PA2，点P到O的切线长PT 4，则弦AB的长为_.3（2010年高考广东卷理科14）（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，OAP=30°，则CP_.【答案】【解析】因为点P是AB的中点，由垂径定理知，.在中，.由相交线定理知，即，所以4（2010年高考陕西卷理科15）(几何证明选做题)如图,已知的两条直角边的长分别为,以为直径的圆与交于点,则. ABCDO【解析】（方法一）易知，又由切割线定理得，.于是，.故所求.（方法二）连，易知是斜边上的高，由射影定理得，.故所求.5（2010年高考北京卷理科12）如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BDAE，AB4, BC2, AD3,则DE ；CE 。6（2010年高考江苏卷试题21）选修4-1：几何证明选讲AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。【解析】 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。（方法一）证明：连结OD，则：ODDC， 又OA=OD，DA=DC，所以DAO=ODA=DCO， DOC=DAO+ODA=2DCO，所以DCO=300，DOC=600，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）证明：连结OD、BD。因为AB是圆O的直径，所以ADB=900，AB=2 OB。因为DC 是圆O的切线，所以CDO=900。又因为DA=DC，所以DAC=DCA，于是ADBCDO，从而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。7. (2010年全国高考宁夏卷22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：（）ACE=BCD；（）BC2=BF×CD。【2009年高考真题精选】1（2009广东几何证明选讲选做题15）如图4，点A，B，C是圆O上的点，且，则圆O的面积等于 . 13【解析】解法一：连结、，则，则；解法二：，则.2.（2009海南宁夏22）如图，已知的两条角平分线AD和CE相交于H，F在AC上，且AE=AF。 （I）证明：B，D，H，E四点共圆； （）证明：3（2009辽宁22） 已知ABC中，AB=AC，D是ABC外接圆劣弧AC的点（不与点A，C重合），延长BD至E。 （I）求证：AD的延长线平分CDE； （II）若BAC=30°，ABC中BC边上的高为，求ABC外接圆的面积。【2008年高考真题精选】1（2008广东，15）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= 。【答案】 【解析】作出图如下。 由切割线定理得PA2=PB·PC，PC=4，故填3（2008江苏，21A，10分）如图，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点D。 求证：ED2=EC·EB。4（2008宁夏、海南，22，10分）（选修41：几何证明选讲）如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P。 （1）证明：OM·OP=OA2； （2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点的切线交直线ON于K。证明：OKM=90°。 又NOP=MOK，所以ONPOMK，故OKM=OPN=90°5.（2008海南宁夏22）选修14：几何证明选讲如图 ，过圆O外一点M作它的一条切线，切点A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.（）证明：OM·OP=OA2；（）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K.证明：OKM=90°【最新模拟】1如图1，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB45°，则圆O的半径R_. 解析：如图2所示，连接OA、OB，则AOB90°，AB4，OAOB，OA2，即R2.答案：2图32如图3，AB、CD是圆O内的两条平行弦，BFAC，BF交CD于点E，交圆O于点F，过A点的切线交DC的延长线于点P，若PCED1，PA2，则AC的长为_3如图4，已知圆O的半径为3，PAB和PCD为圆O的两条割线，且O在线段AB上，若PB10，PD8，则线段CD_；CBD_.图4解析：因为PA102OA4，PC·PDPA·PB40，所以PC5，CDPDPC3，连接OC，OD，则OCD为正三角形，所以COD60°，则CBD30°.答案：330°图54如图5，ABC的外角EAC的平分线AD交BC的延长线于点D，若AB是ABC外接圆的直径，且EAC120°，BC6，则线段AD的长为_解析：因为AB为直径，所以ACB90°，又EAC120°，所以BAC60°，又BC6，得AC2，又ACD90°，CAD60°，则在RtACD中可得AD4.答案：4图65如图6，已知点C在O的直径BE的延长线上，CA切O于点A，若ABAC，则_.6如图7，O与P相交于A、B两点，圆心P在O上，O的弦BC切P于点B，CP及其延长线交P于D，E两点，过点E作EFCE，交CB的延长线于点F.若CD2，CB2，则由B、P、E、F四点所确定的圆的直径为_则在RtFEP中，PF，即由B、P、E、F四点确定的圆的直径为.答案：图87如图8，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD2，AC2，则AB_.8如图9所示，圆的内接三角形ABC的角平分线BD与AC交于点D，与圆交于点E，连接AE，已知ED3，BD6，则线段AE的长_.9如图10，正ABC的边长为2，点M，N分别是边AB，AC的中点，直线MN与ABC的外接圆的交点为P，Q，则线段PM_.解析：设PMx，则QNx，由相交弦定理可得PM·MQBM·MA，即x·(x1)1，解得x.答案：10如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC4，BE10，且BCAD，则DE_.11如图，过圆外一点P作O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若AEB30°，则PCE_.解析：由切割线性质得：PE2PB·PA，即，PBEPEA，PEBPAE，又PEA的内角和为2(CPAPAE)30°180°，所以CPAPAE75°，即PCE75°.答案：75°12.如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，CBAB，ABADa，CD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF_.13如图，已知ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，B60°，F在AC上，且AEAF.(1)求证：B，D，H，E四点共圆；(2)求证：CE平分DEF. (2)连接BH，则BH为ABC的平分线，所以HBD30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以CEDHBD30°.又AHEEBD60°，由已知可得EFAD，可得CEF30°，所以CE平分DEF.14如图所示，O为ABC的外接圆，且ABAC，过点A的直线交O于D，交BC的延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD.(1)求证：EDFCDF；(2)求证：AB2AF·AD.15如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECED.(1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆证明：(1)因为ECED，所以EDCECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA，故ECDEBA.所以CDAB.(2)由(1)知，AEBE，因为EFEG，故EFDEGC，从而FEDGEC.连接AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE.又CDAB，EDCECD，所以FABGBA，所以AFGGBA180°，故A，B，G，F四点共圆16已知，如图，AB是O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作O的切线，切点为H.求证：即GC·GDGE·GF.GH为圆的切线，GCD为割线，GH2GC·GD，GH2GE·GF.17.已知四边形PQRS是圆内接四边形，PSR90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QTTS.证明：(1)PHQPKQ90°，Q、H、K、P四点共圆(2)Q、H、K、P四点共圆，HKSHQP， PSR90°，PR为圆的直径，PQR90°，QRHHQP， 而QSPQRH， 由得，QSPHKS，TSTK，又SKQ90°，SQKTKQ，QTTK，QTTS.18如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB、FC.(1)求证：FBFC；(2)求证：FB2FA·FD；(3)若AB是ABC外接圆的直径，EAC120°，BC6 cm，求AD的长