2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷解析版）.doc

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷，解析版）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷1至2页，第卷第3至6页。第卷第21题为选考题，其他题为必考题。满分150分。注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。2. 第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：样本数据x1,x2,，xa的标准差 锥体体积公式 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高柱体体积公式 球的表面积，体积公式V=Sh 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 虚数单位，若集合S=，则A. B. C. D.2.若aR，则a=2是（a-1）（a-2）=0的A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件C.充要条件 C.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】：a=2（a-1）（a-2）=0 充分 反之（a-1）（a-2）=0 a=2不必要，故选A3.若tan=3，则的值等于A.2 B.3 C.4 D.6【答案】D 【解析】：。 故选D4.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自ABE内部的概率等于A. B. C. D.【答案】C 【解析】：矩形ABCD的面积，ABE的面积，点Q取自ABE内部的概率等于故选C5.（+2x）dx等于A.1 B.e-1 C.e D.e+17.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于A. B.或2 C.2 D.【答案】A 【解析】：设|PF1|=4k, |PF2|=2k, |F1F2|=3k,若圆锥曲线为椭圆时，即，于是；，若圆锥曲线为双曲线时，即，于是故选A8.已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是A.-1.0 B.0.1 C.0.2 D.-1.210.已知函数=，对于曲线y=上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：ABC一定是钝角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是A. B. C. D.【答案】B 【解析】：设A,B,C坐标分别为，则中点为，由横坐标成等差数列得，得中点P， ，由得，则，在上递增 ，即B在下方，故正确二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。11.运行如图所示的程序，输出的结果是_。13.何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_。【答案】 【解析】：随机取出2球有，取出的2个球颜色不同有，所取出的2个球颜色不同的概率14.如图，ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，ADC=45°，则AD的长度等于_。【答案】 【解析】：过A作于E，AB=AC， E为BC中点，BC=所以CE，在中，在中，ADC=45°，所以15.设V是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量以及任意R，均有则称映射具有性质P。现先给出如下映射： 其中，具有性质P的映射的序号为_。（写出所有具有性质P的映射的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分13分）已知等比数列an的公比q=3，前3项和S3=。（I）求数列an的通项公式；（II）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数的解析式。【解析】：本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。（I）由得，解得，所以（II）由（I）可知，所以，因为函数的最大值为3，所以=3；因为当时取得最大值，所以，又故所以函数的解析式为=。17.（本小题满分13分）已知直线l：y=x+m，mR。（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想、分类与整合思想，满分13分。（II）同解法一。18.（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。（I）求a的值（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。本小题主要考查函数、导数等基础知识、考查运算求解能力、应用意识、考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分13分。【解析】：（I）因为时，所以（II）由（I）可知，该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润从而于是，当变化时，的变化情况如下表：（3，4）4（4，6）+0-单调递增极大值42单调递减由上表可得，是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当时，函数取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。19.（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，8，其中X5为标准A，X3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：5678P0.4ab0.1且的数字期望=6，求a，b的值；【解析】：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识、考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。解：（I）因为，所以，即又由的概率分布列得，即由解得（II）由已知得，样本的频率分布表如下：345678030202010101用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：345678030202010101所以=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8。（）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为=1，因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为=1.2据此，乙厂的产品更其可购买性。20.（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，AB+AD=4，CD=，.（I）求证：平面PAB平面PAD；（II）设AB=AP.（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长； （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。【解析】：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分。法一：（）因为平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面。（II）以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）在平面内，作于点，则，在，设=，则，由+=4得=4-，所以（）设平面的法向量为，由得取得平面的一个法向量，又，故由直线与平面所成的角为得即，解得或（舍去，因为），所以（）假设在线段上存在一个点C，使得点到点的距离都相等。由，从而，即，所以设，则在中，这与矛盾，所以在线段上不存在一个点，使得点到的距离都相等。法二：（）同解法一（II）（）以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）在平面内，作于点E，则，在中，设=，则，由+=4得=4-，所以（）假设在线段上存在一个点C，使得点到点的距离都相等。由，从而，即，所以设，则在中，这与矛盾，所以在线段上不存在一个点，使得点到的距离都相等。21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换设矩阵 （其中a0，b0）.（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；（II）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：，求a，b的值.【解析】：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。（）设矩阵的逆矩阵=，则=又=，所以=所以，即，故所求的逆矩阵=（）把极坐标系下的点化为直角坐标，得，因为点的直角坐标（0，4）满足直线的方程，所以点在直线上。（II）因为点在曲线上，故可设点的坐标为，从而点到直线的距离为由此得，当=-1时，取得最小值，且最小值为（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为M.（I）求集合M；（II）若a，bM，试比较ab+1与a+b的大小.12