江苏省海安市南莫中学2021-2022学年高二上学期第一次月考备考金卷B卷数学试题含答案.pdf
江苏省海安市南莫中学 2021-2022 学年高二上学期第一次月考备考金卷数学（B）注意事项：注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第第卷卷一、一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题，每小题 5 5 分，分，共共 4040 分在分在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的1已知向量,m n分别是平面和平面的法向量，若1cos,2 m n，则与所成的锐角为（）A30B60C120D150【答案】B2已知空间向量a，b，且2AB ab，56BC ab，72CD ab，则一定共线的三点是（）AABDBABCCBCDDACD【答案】A3已知空间中非零向量a，b，且2a，3b，,60a b，则23ab的值为（）A97B97C61D61【答案】C4已知直线 l 过点1,1,2A和 l 垂直的一个向量为3,0,4 n，则 P(3,5,0)到 l 的距离为（）A5B14C145D45【答案】C5已知(2,1,3)a，(1,4,2)b，(3,2,)c，若,a b c三向量共面，则实数等于（）A2B3C4D5【答案】C6如图，已知空间四边形OABC，其对角线为,OB AC，,M N分别是,OA CB的中点，点G在线段MN上，且使2MGGN，用向量,OA OB OC 表示向量OG为（）A111633OGOAOBOC B122233OGOAOBOC C2233OGOAOBOC D112233OGOAOBOC 【答案】A7 长方体1111ABCDABC D，1ABBC，12BB，点P在长方体的侧面11BCC B上运动，1APBD，则二面角PADB的平面角正切值的取值范围是（）A10,4B10,2C1 1,4 2D1,12【答案】B8如图，在三棱锥PABC中，5ABACPBPC，4PA，6BC，点M在平面PBC内，且15AM，设异面直线AM与BC所成的角为，则cos的最大值为（）A25B35C25D55【答案】D二、多项二、多项选择题：选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共，共 2020 分在分在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项符合题目要求多项符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分9下列说法不正确的是（）A若直线 l 的方向向量与平面的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面所成的角等于 30B两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角C二面角的大小范围是0,180D二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小【答案】ABD10设,a b c是空间的一个基底，若xab，ybc，zca给出下列向量组可以作为空间的基底的是（）A,a b xB,x y zC,b c zD,x y abc【答案】BCD11在长方体1111ABCDABC D中，EFG分别为棱1AA11C D1DD的中点，12ABAA，1AD，则正确的选项是（）A异面直线EF与BG所成角的大小为 60B异面直线EF与BG所成角的大小为 90C点E到平面BGD的距离为2 55D点E到平面BGD的距离为55【答案】BC12已知E，F分别是正方体1111ABCDABC D的棱BC和CD的中点，则（）A1AD与11B D是异面直线B1AD与EF所成角的大小为45C1AF与平面1BEB所成角的余弦值为13D二面角11CDBB的余弦值为63【答案】AD第第卷卷三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分13已知点(1,1,0)A，(1,2,0)B，(2,1,0)C，(3,4,0)D，则AB 在CD 上的投影向量的长度为_【答案】3 2214已知(1,2,3)OA ，(2,1,2)OB ，(1,1,2)OP ，点 Q 在直线 OP 上运动，则当QA QB 取得最小值时，点 Q 的坐标为（O 为坐标原点）_【答案】4 4 8,3 3 315如图，在直三棱柱111ABCABC中，90BAC，12ABACAA，点GEF分别是11AB1CCAB的中点，点D是AC上的动点若GDEF，则线段DF长度为_【答案】5216在棱长为3的正方体1111ABCDABC D中，2BEEC ，点P在正方体的表面上移动，且满足11BPDE，当P在1CC上时，AP _；满足条件的所有点P构成的平面图形的周长为_【答案】22，5 22 10四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤过程或演算步骤17（10 分）如图，在空间四边形 SABC 中，AC，BS 为其对角线，O 为ABC的重心（1）求证：OAOBOC 0 ；（2）化简：1322SAABCOSC 【答案】（1）证明见解析；（2）0【解析】（1）1()3OAABAC ，1()3OBBABC ，1()3OCCACB ，+得OAOBOC 0 （2）因为211()()323COCACBCACB ，所以13131()()()22223SAABCOSCSASCCBCACACB 11()()22CACBCACACB 0 18（12 分）如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，,E F分别是1,DD BD的中点，点G在棱CD上，且14CGCD，H是1CG的中点利用空间向量解决下列问题：（1）求EF与1BC所成的角；（2）求EF与1CG所成角的余弦值；（3）求,F H两点间的距离【答案】（1）90；（2）5117；（3）418【解析】如图，以D为原点，1,DA DC DD分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则0,0,0D，10,0,2E，1 1,02 2F，()0,1,0C，10,1,1C，11,()1,1B，30,04G，（1）因为1 11,2 22EF，1(1),0,1BC，所以11 11111,1,0,1(1)0(1)0)2 222(22EF BC ，所以1EFBC，故1EFBC，即EF与1BC所成的角为90（2）因为110,14C G，所以14|17|C G ，因为3|2EF ，且138EF C G ，所以11151cos,17|EF CGEF CGEFCG ，即EF与1CG所成角的余弦值为5117（3）因为H是1CG的中点，所以7 10,8 2H，又因为1 1,02 2F，所以222171141|0028228FH，即,F H两点之间的距离为41819（12 分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 2 的正方形，平面PAD 平面ABCD，PAD是斜边PA的长为2 2的等腰直角三角形，E，F分别是棱PA，PC的中点，M是棱BC上一点（1）求证：平面DEM 平面PAB；（2）若直线MF与平面ABCD所成角的正切值为22，求锐二面角EDMF的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）66【解析】（1）依题意可得PDDA，2DPDADC平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDDA，ABDA，AB 平面ABCD，AB 平面PAD，DE 平面PAD，ABDE在PADRt中，DPDA，E是棱PA的中点，所以PADE，又PAABA，PA，AB 平面PAB，DE 平面PAB又DE 平面DEM，平面DEM 平面PAB（2）如图，取CD的中点N，连接MN，NF，则/NF PD，112NFPD，由（1）知PD 平面ABCD，NF 平面ABCD，FMN是直线MF与平面ABCD所成角，12tan2FMNMN，2MN，221MCMNNC，M是棱BC的中点，以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有0,0,0D，1,0,1E，0,1,1F，1,2,0M，1,0,1DE，0,1,1DF，1,2,0DM ，设平面EDM的法向量为,a b cm，平面DMF的法向量为,x y zn，则002DEacDMab mm，令2a ，则2,1,2 m；有002DFyzDMxy nn，令2x ，则2,1,1 n，6os3636cm nm nmn，锐二面角EDMF的余弦值为6620（12 分）在长方体1111ABCDABC D中，底面ABCD是边长为 1 的正方形，E为棱1CC上的中点（1）若1AEED，求1CC的长度；（2）若二面角1BADE的余弦值为2 23，求1CC的长度【答案】（1）2；（2）2【解析】（1）设1CCt，1AEED，2222222222111111222AEEDtAtttD，12CC（2）如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，设1CC，0,0,0D，1,0,0A，1,1,B，0,1,2E，则1,0,0DA ，11,1,DB，0,1,2DE，设面1DAB的法向量为1111,x y zn，则11111110000DAxxyzDB nn，令11z，得10,1n；设面DAE的法向量为2222,xy zn，则2222200002xDAyzDE nn，令22z，得20,2n，所以12121222222 2cos,314 n nn nnn，22224229281444022，12CC 21（12 分）已知ABC为等腰直角三角形，4ACBC，E，F分别为AC和AB上的点，且1AE，EFBC，如图 1 沿 EF 将AEF折起使平面AEF 平面BCEF，连接AC，AB，如图 2（1）求异面直线AC与BF所成角的余弦值；（2）已知M为棱AC上一点，试确定M的位置，使EM平面ABF【答案】（1）3 510；（2）当14AMAC时，EM平面ABF【解析】（1）因为平面AEF 平面BCEF，AEEF，所以AEEC又CEEF，所以建立如图 1 所示的空间直角坐标系Exyz，因为ABC为等腰直角三角形，4ACBC，E，F分别为AC和AB上的点，且1AE，/EF BC，则0,0,1A，3,4,0B，3,0,0C，0,1,0F，所以(3,0,1)AC，(3,3,0)FB ，所以93 5cos,101018AC FBAC FBAC FB ，所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为3 510（2）方法一：设AMAC，因为3,0,1AC，所以3,0,1EMEAAMEAAC 设,x y zn为平面ABF的一个法向量，则00FBFA nn，即3300 xyyz，因此可取1,1,1 n，所以 13,0,14111,EM n因为/EM平面ABF，所以0EM n，即14，所以当14AMAC时，EM平面ABF方法二：当14AMAC时，EM平面ABF证明如下：如图 2，在平面BCEF内过E作ENBF交BC于N，连接MN因为EFBC，ENBF，所以四边形BNEF为平行四边形，所以1NBEF因为4BC，所以14BNBC，又14AMAC，所以MNAB因为MN 平面ABF，所以MN平面ABF又因为ENBF，EN 平面ABF，所以EN平面ABF因为ENMNN，所以MNE平面ABF，因为EM 平面MNE，所以EM平面ABF22（12 分）在/OH平面PAB，平面PAB平面OHC，OHPC这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题问题：如图，在三棱锥PABC中，平面PAC 平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，16AC，10PAPC，O为AC中点，H为PBC内的动点（含边界）（1）求点O到平面PBC的距离；（2）若_，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）12 3417；（2）3 3 17517，【解析】（1）在三棱锥PABC中，连接OB，OP，因为ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，PAPC，O为AC中点，所以OPOC，OBOC，又平面PAC 平面ABC，平面PAC 平面ABCOC，OP 平面PAC，OP 平面ABC，又OB 平面ABC，OPOB，OB，OC，OP两两垂直222111161083322O PBCP OBCOBCVVPOS，又2222118 2104 28 34222PBCBCSBCPB，6412 3411178 3433O PBCPBCVdS，点O到平面PBC的距离为12 3417（2）PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为3 3 17,517以选条件为例（亦可使用综合法、综合与向量混用法）在三棱锥PABC中，以O为坐标原点，,OB OC OP 为正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，则0,0,0O，0,0,6P，0,8,0A，0,8,0C，8,0,0B，设,H x y z，则,OHx y z，,6PHx y z，0,8,6PA ，8,0,6PB ，0,8,6PC ，设平面PAB的法向量为1111,x y zn，则1100PAPB nn，即1111860860yzxz，即111143xyyz，不妨令13y ，则13,3,4n；同理可求得平面PBC的法向量23,3,4n，（选条件）因为OH平面PAB，PH 平面PBC，1200OHPHnn，即3340334240 xyzxyz，即3344zxy，3,4,34Hxx，又0830364xx，04x，3,4,34PHxx，又OP 平面ABC，30,0,1n是平面ABC的一个法向量，设直线PH与平面ABC所成角为，则322233|3|14332511424sincos,3216350445xxHxxPxn，令14xt，1,2t，11,12t，22133sin323252523232525525ttttt，令2132 132 112525fttt ，则0112t，1ft 在1,12上单调递增，117,125ft ，1251,117ft ，3 3 17sin,517，直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为3 3 17,517选条件，条件结果相同
