成都市2021-2022学年第3次诊断性理科数学试题含答案.pdf

试卷第 1页，共 5页四川省成都市四川省成都市 20222022 届高三第三次诊断考试理科数学试题届高三第三次诊断考试理科数学试题一、单选题一、单选题1命题“x R，e20 x”的否定是（）A0 xR，0e20 xBx R，e20 xC0 xR，0e20 xD0 xR，0e20 x2设集合2Ax x，230Bx xx，则AB（）A2,3B2,0C0,2D2,33二项式51 2x展开式的各项系数之和为（）A1B1C32D2434若实数 x，y 满足约束条件2301030 xyxyxy ，则2zxy的最小值为（）A1B4C5D145在ABC中，已知712A，6C，2 2AC，则向量BA 在BC 方向上的投影为（）A2 2B2C2D26 设1F，2F是双曲线22:13yC x 的左，右焦点，点 P 在双曲线 C 的右支上，当16PF 时，12PFF面积为（）A4 3B3 7C4552D6 77将最小正周期为的函数 2sin 2106f xx的图象向左平移4个单位长度，得到函数 g x的图象，则函数 g x的图象的对称中心为（）A5,1244k，k ZB,1482k，k ZC,162k，k ZD,1242k，k Z8已知，为空间中的两个平面，m，n 为两条异面直线，且m 平面，n 平面若直线 l 满足lm，ln，l，l，则（）A/，/lB与相交，且交线垂直于 lC，lD与相交，且交线平行于 l试卷第 2页，共 5页9在某大学一食品超市，随机询问了 70 名不同性别的大学生在购买食物时是否查看营养说明，得到如下的列联表：女男总计要查看营养说明152540不查看营养说明201030总计353570附：22n adbcKabcdacbd，其中nabcd 20P Kk0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879根据列联表的独立性检验，则下列说法正确的是（）A在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为该校大学生在购买食物时要查看营养说明的人数中男生人数更多B在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为该校女大学生在购买食物时要查看营养说明的人数与不查看营养说明的人数比为34C在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系D在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系10若实数 m，n 满足2122nmm，则232mn的最大值为（）A2B3C2 3D411已知三棱台111ABCABC的六个顶点都在球 O 的球面上，11110AABBCC，ABC和111A BC分别是边长为3和2 3的正三角形，则球 O 的体积为（）A323B20 53C36D40 10312若函数 32log19xxf xxx的零点为0 x，则0091xx（）A13B1C3D2二、填空题二、填空题试卷第 3页，共 5页13已知 i 为虚数单位，则复数12i1iz 的实部为_14已知数列 na满足13a，122nnna aa，则2022a的值为_15记定义在R上的可导函数 fx的导函数为 fx，且 0fxf x，11f，则不等式 1exf x的解集为_16 如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆2242200 xyxy相交于 A，C，B，D 四点，M 为弦 AB 的中点，有下列结论：弦 AC 长度的最小值为4 5；线段 BO 长度的最大值为105；点 M 的轨迹是一个圆；四边形 ABCD 面积的取值范围为20 5,45其中所有正确结论的序号为_三、解答题三、解答题17某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱成都，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了 n 名学生的分数（得分取正整数，满分为 100 分，所有学生的得分都在区间50,100中）作为样本进行统计按照50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的分组作出如下的频率分布直方图，并作出下面的样本分数茎叶图（图中仅列出了得分在50,60，60,70的数据）试卷第 4页，共 5页(1)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x，y 的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩不低于 70 分的三组学生中按分层抽样抽取了 9 名学生，再从抽取的这 9 名学生中随机抽取 2 名学生到天府广场参加环保知识宣传活动，求这 2名学生中恰好有 1 名学生的分数在70,80中的概率18 如图，在等腰梯形 ADEF 中，ADEF，3AD，2DE，1EF 在矩形 ABCD中，1AB 平面ADEF 平面 ABCD(1)证明：BFCF；(2)求直线 AF 与平面 CEF 所成角的大小19已知ABC中的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，角 B 为钝角，且3 sin2 sin3sin2bAaBB(1)求角 B 的大小；(2)若点 D 在 AC 边上，满足4ACAD，且4AB，3BD，求 BC 边的长20已知函数 3222312f xxaxa x，其中aR(1)求函数 fx的单调区间；(2)设函数 32221212sin2g xxxaxx当0a，0 x 时，证明：gxfx21已知椭圆2222:10yxCabab的离心率为12，且经过点6,2，椭圆 C 的右顶试卷第 5页，共 5页点到抛物线2:20E ypx p的准线的距离为 4(1)求椭圆 C 和抛物线 E 的方程；(2)设与两坐标轴都不垂直的直线 l 与抛物线 E 相交于 A，B 两点，与椭圆 C 相交于 M，N 两点，O 为坐标原点，若4OA OB ，则在 x 轴上是否存在点 H，使得 x 轴平分MHN？若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为1122xtttyt（t 为参数）以坐标原点 O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为sin2 24(1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线 C 的普通方程；(2)已知点 P 的直角坐标为0,4，直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 A，B，求PAPB的值23已知函数 21f xxx(1)求不等式 3f x 的解集；(2)若关于 x 的不等式 20f xxm恒成立，求实数 m 的取值范围答案第 1页，共 18页参考答案：参考答案：1A【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题，即得.【详解】由全称命题的否定可知：“x R，e20 x”的否定是“0 xR，0e20 x”.故选：A.2A【解析】【分析】解绝对值不等式、一元二次不等式分别求集合 A、B，再由集合并运算求AB.【详解】由题设|22Axx，|03Bxx，所以(2,3)AB .故选：A3D【解析】【分析】令1x 可求出结果.【详解】令1x 得55(1 2 1)3 243，所以二项式51 2x展开式的各项系数之和为243.故选：D4B【解析】【分析】由题设作出不等式组表示的区域，结合2zxy的几何意义即可求出答案.【详解】答案第 2页，共 18页作出不等式组表示的区域如下图中阴影部分，直线2zxy化为：1122yx+z 表示斜率为12的一组平行线，当1122yx+z 经过点B有最小值，由302101xyxxyy，所以2,1B，则2zxy的最小值为：224z.故选：B.5C【解析】【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得4B、2AB，再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设4B，则sinsinABACCB，可得2 212222AB，所以向量BA 在BC 方向上的投影为2|cos222BAB .答案第 3页，共 18页故选：C6B【解析】【分析】利用双曲线的定义可得24PF，又1224FFc，进而即得.【详解】双曲线22:13yC x，1,3,2abc，又点 P 在双曲线 C 的右支上，16PF，所以122PFPFa，262PF，即24PF，又1224FFc，12PFF面积为2216643 722.故选：B.7C【解析】【分析】由题可得 2sin 216f xx，利用图象变换可得 2sin 213g xx，然后利用正弦函数的性质即得.【详解】函数 2sin 2106f xx最小正周期为，2=2，即=1，2sin 216f xx，2sin 212sin 21463gxxx，由2,Z3xkk可得,Z26kxk，故函数 g x的图象的对称中心为,1,Z26kk.故选：C.答案第 4页，共 18页8D【解析】【分析】由面面平行及线面垂直：A 结合平面基本性质有/mn与题设矛盾；C：易得/m或m，再由线线垂直、线面位置关系得到l/或,l相交；对于 B、D：若k，过n上一点作/ABm交于A，nC，连接AC，利用线面垂直的判定证l 面ABC、k 面ABC，进而判断 k、l 位置关系即可.【详解】若/，由m 平面，n 平面易知：/mn与 m，n 异面矛盾，A 错误；若，m 平面有/m或m，又lm且l，则l/或,l相交，C 错误；若k，过n上一点作/ABm交于A，nC，连接AC，由lm知：lAB，又ln，ABnB，则l 面ABC，由m 则AB，n，又,kk，则ABk，nk，ABnB，所以k 面ABC，综上，/kl，故与相交，且交线平行于 l，D 正确，B 错误.故选：D9C【解析】【分析】由题可得2K，进而即得.【详解】由题可得2270(15 1020 25)=5.835.02435 35 30 40K，在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系.答案第 5页，共 18页故选：C.10D【解析】【分析】由22 2nmm代入232mn得：2232222 3 2mnmmm，再由均值不等式即可求出最值.【详解】由2122nmm可得：22 2nmm，所以220mm即02m，22232222 3 2222 63222(63)mnmmmmmmmmm2(63)(63)22222222(63)422mmmmmmmmm，当且仅当63mm即32m 时取等.故选：D.11B【解析】【分析】分别求出正三棱台111ABCABC的上下两个底面的外接圆的半径，然后由球的性质得：2211OOR，22134OOR，解出R，即可求得球 O 的体积.【详解】设点2O，1O分别是正111A BC，ABC的中心，球的半径为R，且1O，2O，O三点共线，正三棱台111ABCABC的高为12OO，在等边ABC中，由3AB，由正弦定理可得：1322sin6032ABO A，得11AO，在等边111A BC中，由112 3AB，由正弦定理可得：11122 32sin6032ABAO，得122AO，如下图，过点A作12ANAO，则在三角形1A AN中，答案第 6页，共 18页111,10ANAA，所以1210 13ANOO，所以正三棱台111ABCABC的高为 3，在1RtOO A中，22211OOO AR，即2211OOR，在2RtOO A中，222221OOO AR，即22134OOR，两式解得：5R，所以球 O 的体积为：3420 533VR.故选：B.12B【解析】【分析】由已知有1x，根据零点得到03000log19(1)xxxtx，利用指对数的关系及运算性质得到01x 关于 t 的表达式，进而由指数函数的单调性确定 t 值即可.【详解】答案第 7页，共 18页由题设1x，由0()0f x得：03000log19(1)xxxx，若009(1)xxt，可得002103xtx ，若300log1xtx，可得0201103txx ，综上，0022133xxtt，故1t.故选：B1312#0.5【解析】【分析】应用复数的除法运算化简复数，进而确定其实部.【详解】1 2i(2i 1)(1 i)3i 11 i(1 i)(1 i)2z，所以实部为12.故答案为：121443#113【解析】【分析】根据递推关系得到数列 na的周期及一个周期内各项的值，再应用周期性求2022a.【详解】由题设0na，则122nnaa，而13a，所以243a，312a，42a ，53a，故 na是周期为 4 的数列且13a，243a，312a，42a ，所以20224 505 2243aaa.故答案为：43答案第 8页，共 18页151,【解析】【分析】首先设函数 xfxg x e，利用导数判断函数的单调性，不等式 1exf x等价于 1g xg，利用函数的单调性，即可求解.【详解】设 xfxg x e，20 xxxxfxfxfxfxgxeeee，所以函数 g x单调递增，且 111eefg，不等式 11e1eexxf xf xg xg，所以1x.故答案为：1,.16【解析】【分析】根据方程写出已知圆的圆心和半径，由圆的性质判断；由 BO 长度表示圆上点到原点的距离，即可判断；若,M H G F分别是,AB BC CD AD的中点，圆心(2,1)到直线,AC BD的距离12,0,5d d 且22125dd，易证MHGF为矩形且其中心、对角线长度恒定，即可确定 M 的轨迹判断；根据1|2ABCDSACBD得到四边形 ABCD 面积关于12,d d的表达式，结合二次函数性质求范围，判断.【详解】由题设22(2)(1)25xy，则圆心(2,1)，半径=5r，由圆的性质知：当圆心与直线AC距离最大为5时 AC 长度的最小，此时|22554 5AC，正确；BO 长度最大，则圆心与,B O共线且在它们中间，此时|555BOr，错误；若,M H G F分别是,AB BC CD AD的中点，则/MFHGBD且|2BDMFHG，/MHFGAC且|2ACMHFG，答案第 9页，共 18页又ACBD，易知：MHGF为矩形，而22222|4BDACFHMFMH，若圆心(2,1)到直线,AC BD的距离12,0,5d d 且22125dd，所以222212|2 255044BDACdd，则22|454BDAC，故|3 5FH，所以M在以|3 5FH 为直径，,HF MG交点为圆心的圆上，正确；由上分析：21|2 25ACd，22|2 25BDd，而1|2ABCDSACBD，所以22221212122 62525()()2 500()ABCDSddd dd d，令222150,5tdd，则22520252 50052()24ABCDSttt，当52t，即12102dd时，max()45ABCDS；当0t或 5，即120,5dd或125,0dd时，min()20 5ABCDS；所以20 5,45ABCDS，正确；故答案为：【点睛】关键点点睛：证明,M H G F分别是,AB BC CD AD的中点所成四边形为矩形且对角线长度及中心恒定，判断轨迹形状；利用ACBD得到ABCDS关于12,d d的表达式，结合函数思想求范围.17(1)40n；0.0025x；0.0400y(2)59【解析】答案第 10页，共 18页【分析】（1）根据茎叶图中的频数和直方图中的频率求出n和x，再根据所有频率之和为1求出y即可得解；（2）根据分层抽样和古典概型的概率公式可求出结果.(1)由直方图可知，分数在60,70)中的频率为0.0075 100.075，根据茎叶图可知，分数在60,70)中的频数为3，所以样本容量3400.075n，根据茎叶图可知，分数在50,60)中的频数为1，所以分数在50,60)中的频率为10.02540，所以100.025x，所以0.0025x，由(0.00250.00750.03000.0200)101y，得0.0400y，综上所述：40n，0.0025x，0.0400y.(2)由题意，本次竞赛成绩样本中分数在70,80中的学生有40 0.04 1016名，分数在80,90中的学生有40 0.03 1012名，分数在90,100中的学生有40 0.02 108名按分层抽样抽取的 9 名学生中，分数在70,80中的学生有169416 128名，分数在80,90中的学生有129316 128名，分数在90,100中的学生有89216 128名从这 9 名学生中随机选取 2 名学生的情况种数29C36m 又所选 2 名学生中恰好有 1 名学生的分数在70,80中的情况种数1145C C20n，所选 2 名学生中恰好有 1 名学生的分数在70,80中的概率205369nPm18(1)证明见解析；(2)6.【解析】答案第 11页，共 18页【分析】（1）过点 F 作 AD 的垂线，则FM 平面 ABCD，结合条件可得222BFCFBC，即得；（2）利用坐标法，由题可得平面 CEF 的一个法向量，利用线面角的向量求法即得.(1)如图，过点 F 作 AD 的垂线，垂足为 M，连接 MB，MC四边形 ADEF 为等腰梯形，3AD，2DE，1EF，1AMMF，2MD 平面ADEF 平面 ABCD，平面ADEF 平面ABCDAD，FM 平面 ADEF，FMAD，FM 平面 ABCD，而 MB,MC 在平面 ABCD 中FMMB，FMMC四边形 ABCD 为矩形，1AB，3BC，2BM，5CM，3BF，6CF 222BFCFBC，BFCF(2)以 A 为坐标原点AB，AD的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向，以过点 A 垂直于平面 ABCD 且向上的方向为 z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则1,0,0B，1,3,0C，0,3,0D，0,2,1E，0,1,1F答案第 12页，共 18页0,1,1AF ，1,1,1CE ，0,1,0EF uuu r设平面 CEF 的一个法向量为,nx y zr由00n EFn CE ，得00yxyz 令1x，得1,0,1n 设直线 AF 与平面 CEF 所成的角为则11sincos,222AF nAF nAF n又0,2，6直线 AF 与平面 CEF 所成角的大小为619(1)23B；(2)12BC.【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关系得222 3sinsincos2sinsincos3sinsinABBABBBA，根据三角形内角的性质求得tan23B，即可确定 B 的大小；（2）由1344BDBCBA ，根据已知及向量数量积的运算律列方程求BC 的模长即可.(1)由已知：2 sin2 sin3 sin3aBBbA，则314 sincoscossin3 sin22aBBBBbA由正弦定理，222 3sinsincos2sinsincos3sinsinABBABBBA,0,A B，故sinsin0AB 22 3cos2sincos3BBB3cos2sin2BB，即tan23B,2B，则2,2B答案第 13页，共 18页423B，即23B(2)由题意，得BDBCCD 4ACAD，33134444BDBCCABCBABCBCBA 2222131694416BDBCBABCBA BCBA 23B，4AB，3BD，21296 4 cos9 16163BCBC 2120BCBC ，0BC ，则12BC ，12BC 20(1)详见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得 62fxxaxa，然后分类讨论即得；（2）由题对任意0a，0 x，不等式2232sin20axxxx成立，进而可得不等式22 sin1xxx成立，构造函数 22sin2h xxxx，利用导数求函数的最值即得.(1)由题可得 22661262fxxaxaxaxa若0a，当2axa时，0fx；当2xa 或xa时，0fx若0a，恒有 0fx若0a，当2axa 时 0fx；当xa或2xa 时，0fx综上，当0a 时，函数 fx的单调递减区间为2,a a，单调递增区间为,2a，,a；当0a 时，函数 fx的单调递增区间为,；答案第 14页，共 18页当0a 时，函数 fx的单调递减区间为,2aa，单调递增区间为,a，2,a(2)由题可得 2232sin2f xg xaxxxx由题意，则需证明对任意0a，0 x，不等式2232sin20axxxx成立由230ax 恒成立，只需证明对任意0 x，不等式22 sin1xxx成立，当1x时，20 xx，2 sin10 x，不等式22 sin1xxx成立当01x时，设 22sin2h xxxx 21 2cosh xxx 设 21 2cost xxx 22sintxx当01x时，0tx恒成立，函数 t x在0,1上单调递增，11 2cos1 1 2cos03t xt 当01x时，0h x恒成立，函数 h x在0,1上单调递减，12 1 sin10h xh即不等式22 sin1xxx成立综上，当0a，0 x 时，不等式2232sin20axxxx成立，即 gxfx成立【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式 f xg x（或 f xg x）转化为证明 0f xg x（或 0f xg x），进而构造辅助函数 h xf xg x；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.答案第 15页，共 18页21(1)221129yx；24yx(2)存在；9,02H【解析】【分析】（1）依题意得到方程组，即可求出2a，2b，从而得到椭圆方程，再求出椭圆的右顶点，即可求出p，从而求出抛物线方程；（2）设直线l的方程为ykxm，11,A x y，22,B xy，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据4OA OB 得到2mk，再假设在x轴上存在点0,0H x，使得x轴平分MHN，则直线HM的斜率与直线HN的斜率之和为0，设33,M x y，44,N xy，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由3430400yyxxxx，即可求出0 x，从而求出H的坐标；(1)解：由已知得2222212461caababc，212a，29b 椭圆C的方程为221129yx椭圆C的右顶点为3,0342p，解得2p 抛物线E的方程为24yx(2)解：由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0设直线l的方程为ykxm，11,A x y，22,B xy由24ykxmyx消去 y，得222240k xkmxm222124416160kmk mkm ，1km答案第 16页，共 18页12242kmxxk，2122mx xk2212121212y ykxmkxmk x xkm xxm224242kmkmmmkk21212244mmOA OBx xy ykk 220mk，2mk 2mk，此时221kmk 直线 l 的方程为2yk x假设在x轴上存在点0,0H x，使得x轴平分MHN，则直线HM的斜率与直线HN的斜率之和为0，设33,M x y，44,N xy，由2221129yk xyx消去y，得2222341212360kxk xk22222124 34 12360kkk，即25120k 恒成立23421234kxxk，2342123634kx xk3430400yyxxxx，340430220k xxxk xxx3403402240 x xxxxx2200222472122403434kkxxkk021672034xk解得092x 在x轴上存在点9,02H，使得x轴平分MHN【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查椭圆的方程以及韦达定理法在圆锥曲线综合中的应用，属于难题；在解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；答案第 17页，共 18页(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题22(1)40 xy；2214xy；(2)32 23.【解析】【分析】（1）由曲线C的参数方程消去t即可得曲线C的普通方程；由直线l的极坐标方程为sin2 24及cos,sinxy，即可得直线l的直角坐标方程；（2）根据题意得直线l的标准参数方程为22242xmym（m为参数），把它代入曲线C的直角坐标方程，利用直线l的参数的几何意义解题即可.(1)由曲线 C 的参数方程得22221124xytttt曲线 C 的普通方程为2214xy直线 l 的极坐标方程化简为sincos4由极坐标与直角坐标的互化关系cosx，siny，得直线 l 的直角坐标方程为40 xy(2)设直线 l 的参数方程为22242xmym（m 为参数）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，整理可得2332 21360mm232 24 3 1364160 设1m，2m是方程的两个实数根则1232 23mm，1213603m m 答案第 18页，共 18页121232 23PAPBmmmm23(1)1,2(2)2,【解析】【分析】（1）由绝对值不等式及一元二次不等式的解法即可求解；（2）分离参数，将原问题转化为221mxxx恒成立，然后利用零点分段讨论法求出 221g xxxx的最小值即可得答案.(1)解：由 3f x，有213xx，所以22xx，即222xx，即2222xxxx，解得12x，所以不等式 3f x 的解集为1,2；(2)解：由已知，有2210 xxxm 恒成立，即221mxxx恒成立，令 221g xxxx，则 222223,03,0123,121,2xxxxxg xxxxxx，当0 x 时，2()233,g xxx；当01x时，2()32,3g xx ；当12x时，2232,3()gxxx；当2x 时，23(1),xg x.所以 g x的最小值为 2，所以2m，即2m ，所以实数 m 的取值范围为2,