2022年重庆市中考数学试题（A卷）含解析.pdf

2022 年重庆市中考数学试卷年重庆市中考数学试卷 A 卷卷一、选择题一、选择题1.5 的相反数是（）A.5B.15C.15D.52.下列图形是轴对称图形的是（）A.B.C.D.3.如图，直线AB，CD被直线CE所截，ABCD，50C，则1的度数为（）A.40B.50C.130D.1504.如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度mh随飞行时间 st的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（）A.5mB.7mC.10mD.13m5.如图，ABC与DEF位似，点O为位似中心，相似比为2:3若ABC的周长为 4，则DEF的周长是（）A.4B.6C.9D.166.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有 5 个正方形，第个图案中有 9 个正方形，第个图案中有 13 个正方形，第个图案中有 17 个正方形，此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为（）A.32B.34C.37D.417.估计3(2 35)的值应在（）A.10 和 11 之间B.9 和 10 之间C.8 和 9 之间D.7 和 8 之间8.小区新增了一家快递店，第一天揽件 200 件，第三天揽件 242 件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A.2200 1242xB.2200 1242xC.200 12242xD.200 12242x9.如图，在正方形ABCD中，AE平分BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BEAF，则CDF的度数为（）A.45B.60C.67.5D.775.10.如图，AB是O的切线，B 为切点，连接AO交O于点C，延长AO交O于点D，连接BD若AD，且3AC，则AB的长度是（）A.3B.4C.3 3D.4 211.若关于x的一元一次不等式组411351xxxa 的解集为2x，且关于y的分式方程1211yayy的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A.26B.24C.15D.1312.对多项式xyzmn任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：()()xyzmnxyzmn，()xyzmnxyzmn，给出下列说法：至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为 0；所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果以上说法中正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3二、填空题二、填空题13.计算：043_14.有三张完全一样正面分别写有字母 A，B，C 的卡片将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是_15.如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F若2AB，60BAD，则图中阴影部分的面积为_（结果不取近似值）16.为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_三、解答题三、解答题17.计算：（1）224xx x；（2）2212aabbb18.在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图迹）在BAE和EFB中，EFBC，90EFB又90A，_ADBC，_又_BAEEFB AAS同理可得_111222BCEEFBEFCABFEEFCDABCDSSSSSS矩形矩形矩形19.公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取 10 台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格8085x，良好8595x，优秀95x），下面给出了部分信息：10 台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，9810 台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比A9089a26.640%B90b903030%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a_，b _，m_；（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共 3000 台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）20.已知一次函数0ykxb k的图象与反比例函数4yx的图象相交于点1,Am，,2B n（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式4kxbx的解集；（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求ABC的面积21.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30 千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的 1.2 倍（1）若乙先骑行 2 千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行 20 分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度22.如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道经测量，点C在点A的正东方向，200AC 米点E在点A的正北方向点B，D在点C的正北方向，100BD 米点B在点A的北偏东30，点D在点E的北偏东45（1）求步道DE的长度（精确到个位）；（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：21.414，31.732）23.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”例如：2543M，223425，2543 是“勾股和数”；又如：4325M，225229，2943，4325 不是“勾股和数”（1）判断 2022，5055 是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记9cdG M，103acbdP M当G M，P M均是整数时，求出所有满足条件的M24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线212yxbxc与直线AB交于点0,4A，4,0B（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方拋物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PCPD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PCPD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移 5 个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程25.如图，在锐角ABC中，60A，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F（1）如图 1，若ABAC，且BDCE，BCDCBE，求CFE的度数；（2）如图 2，若ABAC，且BDAE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若ABAC，且BDAE，将ABC沿直线AB翻折至ABC所在平面内得到ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将PHK沿直线HK翻折至PHK所在平面内得到QHK，连接PQ在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QKPF时，请直接写出PQBC的值2022 年重庆市中考数学试卷年重庆市中考数学试卷 A 卷卷一、选择题一、选择题1.5 的相反数是（）A.5B.15C.15D.5【答案】A【解析】【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可【详解】解：5 的相反数是-5，故选：A【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0 的相反数是 0不要把相反数的意义与倒数的意义混淆2.下列图形是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形3.如图，直线AB，CD被直线CE所截，ABCD，50C，则1的度数为（）A.40B.50C.130D.150【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解【详解】解：ABCD，1+C=180，50C，1=130故选：C【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键4.如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度mh随飞行时间 st的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（）A.5mB.7mC.10mD.13m【答案】D【解析】【分析】根据函数图象可直接得出答案【详解】解：函数图象的纵坐标表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度mh，由函数图象可知这只蝴蝶飞行的最高高度约为 13m，故选：D【点睛】本题考查了从函数图象获取信息的能力，准确识图是解题的关键5.如图，ABC与DEF位似，点O为位似中心，相似比为2:3若ABC的周长为 4，则DEF的周长是（）A.4B.6C.9D.16【答案】B【解析】【分析】根据周长之比等于位似比计算即可【详解】设DEF的周长是 x，ABC与DEF位似，相似比为2:3，ABC的周长为 4，4：x=2：3，解得：x=6，故选：B【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键6.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有 5 个正方形，第个图案中有 9 个正方形，第个图案中有 13 个正方形，第个图案中有 17 个正方形，此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数为（）A.32B.34C.37D.41【答案】C【解析】【分析】第 1 个图中有 5 个正方形，第 2 个图中有 9 个正方形，第 3 个图中有 13 个正方形，由此可得：每增加 1 个图形，就会增加 4 个正方形，由此找到规律，列出第 n 个图形的算式，然后再解答即可【详解】解：第 1 个图中有 5 个正方形；第 2 个图中有 9 个正方形，可以写成：5+4=5+41；第 3 个图中有 13 个正方形，可以写成：5+4+4=5+42；第 4 个图中有 17 个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+43；第 n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当 n=9 时，代入 4n+1 得：49+1=37故选：C【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键7.估计3(2 35)的值应在（）A.10 和 11 之间B.9 和 10 之间C.8 和 9 之间D.7 和 8 之间【答案】B【解析】【分析】先化简3(2 35)615，利用91516，从而判定即可【详解】3(2 35)615，91516，1543，915 106+，故选：B【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键8.小区新增了一家快递店，第一天揽件 200 件，第三天揽件 242 件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A.2200 1242xB.2200 1242xC.200 12242xD.200 12242x【答案】A【解析】【分析】平均增长率为 x，关系式为：第三天揽件量第一天揽件量（1平均增长率）2，把相关数值代入即可【详解】解：由题意得：第一天揽件 200 件，第三天揽件 242 件，可列方程为：2200 1242x，故选：A【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般9.如图，在正方形ABCD中，AE平分BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BEAF，则CDF的度数为（）A.45B.60C.67.5D.775.【答案】C【解析】【分析】先利用正方形的性质得到ADAB，90DAFBADC ，45BAC，利用角平分线的定义求得BAE，再证得ABEDAF SAS，利用全等三角形的性质求得22.5ADFBAE，最后利用CDFADCADF 即可求解【详解】解：四边形ABCD是正方形，ADAB，90DAFBADC ，45BAC，AE平分BAC交BC于点E，122.52BAEBAC，在ABE和DAF中，ADABDAFBBEAF，ABEDAF SAS，22.5ADFBAE，9022.567.5CDFADCADF，故选：C【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键10.如图，AB是O的切线，B 为切点，连接AO交O于点C，延长AO交O于点D，连接BD若AD，且3AC，则AB的长度是（）A.3B.4C.3 3D.4 2【答案】C【解析】【分析】连接 OB，先求出A30，OBAC3，再利用tanOBAABtan30，即可求出 AB 的长度【详解】解：连接 OB，OBOD，OBD 是等腰三角形，OBDD，AOB 是OBD 的一个外角，AOBOBDD2D，AB是O的切线，OBAB，ABO90，AD，AABOA2D3A90，A30，AO2OBACOC，OBOC，OBAC3，tanOBAABtan30，AB33 3tan30tan30OB故选：C【点睛】此题考查了切线的性质定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，求出A30是解决此题的关键11.若关于x的一元一次不等式组411351xxxa 的解集为2x，且关于y的分式方程1211yayy的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A.26B.24C.15D.13【答案】D【解析】【分析】根据不等式组的解集，确定 a-11，根据分式方程的负整数解，确定 a1，根据分式方程的增根，确定 a-2，计算即可【详解】411351xxxa ，解得解集为2x，解得解集为15ax，不等式组411351xxxa 的解集为2x，125a，解得 a-11，1211yayy的解是 y=13a，且 y-1，1211yayy的解是负整数，a1 且 a-2，-11a1 且 a-2，故 a=-8 或 a=-5，故满足条件的整数a的值之和是-8-5=-13，故选 D【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键12.对多项式xyzmn任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：()()xyzmnxyzmn，()xyzmnxyzmn，给出下列说法：至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为 0；所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果以上说法中正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】给xy添加括号，即可判断说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号，即可判断说法是否正确；列举出所有情况即可判断说法是否正确【详解】解：xyzmnxyzmn说法正确0 xyzmnxyzmn又无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号说法正确当括号中有两个字母，共有 4 种情况，分别是xyzmn、xyzmn、xyzmn、xyzmn；当括号中有三个字母，共有 3 种情况，分别是xyzmn、xyzmn、xyzmn；当括号中有四个字母，共有 1 种情况，xyzmn共有 8 种情况说法正确正确的个数为 3故选 D【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键二、填空题二、填空题13.计算：043_【答案】5【解析】【分析】根据绝对值和零指数幂进行计算即可【详解】解：0434 15，故答案为：5【点睛】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，熟练掌握定义是解题的关键14.有三张完全一样正面分别写有字母 A，B，C 的卡片将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是_【答案】13【解析】【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和抽取的两张卡片上的字母相同的情况数，然后根据概率公式即可得出答案【详解】解：根据题意列表如下：ABCAAABACABABBBCBCACBCCC共有 9 种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有 3 种情况，所以 P（抽取的两张卡片上的字母相同）3913【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验15.如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F若2AB，60BAD，则图中阴影部分的面积为_（结果不取近似值）【答案】22 33【解析】【分析】连接 BD 交 AC 于点 G，证明ABD 是等边三角形，可得 BD2，然后根据菱形的性质及勾股定理求出 AC，再由 S阴影S菱形ABCDS扇形ADES扇形CBF得出答案【详解】解：连接 BD 交 AC 于点 G，四边形ABCD是菱形，ABAD2，ACBD，60BAD，ABD 是等边三角形，DACBCA30，BD2，BG112BD，2222213AGABBG，AC22 3AG，S阴影S菱形ABCDS扇形ADES扇形CBF22130230222 322 323603603，故答案为：22 33【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键16.为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_【答案】0.6【解析】【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可【详解】设三座山各需香樟数量分别为 4x、3x、9x甲、乙两山需红枫数量2a、3a425336xaxa，3ax，故红枫742955xaxx，设香樟和红枫价格分别为m、n 166951616.25%120%695125%mxxxx nxmxxxn，:5:4m n，实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 16(16.25%)120%06951%.256xmxxxn，故答案为：0.6【点睛】本题考查了未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键三、解答题三、解答题17.计算：（1）224xx x；（2）2212aabbb【答案】（1）224x（2）2ab【解析】【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解【小问 1 详解】解：原式22444xxxx224x【小问 2 详解】解：原式2()()abbbab ab2ab【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键18.在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图迹）在BAE和EFB中，EFBC，90EFB又90A，_ADBC，_又_BAEEFB AAS同理可得_111222BCEEFBEFCABFEEFCDABCDSSSSSS矩形矩形矩形【答案】AEFB、AEBFBE、BEEB、EDCCFE AAS【解析】【分析】过点E作BC的垂线EF，垂足为F，分别利用 AAS 证得BAEEFB，EDCCFE，利用全等三角形的面积相等即可求解【详解】证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图迹）如图所示，在BAE和EFB中，EFBC，90EFB又90A，EFBA ADBC，AEBFBE 又BEEBBAEEFB AAS同理可得EDCCFE AAS111222BCEEFBEFCABFEEFCDABCDSSSSSS矩形矩形矩形故答案为：AEFB、AEBFBE、BEEB、EDCCFE AAS【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键19.公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取 10 台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格8085x，良好8595x，优秀95x），下面给出了部分信息：10 台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，9810 台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比A9089a26.640%B90b903030%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a_，b _，m_；（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共 3000 台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）【答案】（1）95；90；20（2）900 台（3）A型号更好，在平均数均为 90 的情况下，A型号的平均除尘量众数95大于 B 型号的平均除尘量众数 90【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出 a，b，根据B型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和“良好”等级包含的数据可求出 m；（2）用总数乘以B型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可；（3）可从众数的角度进行分析判断【小问 1 详解】解：A型中除尘量为 95 的有 3 个，数量最多，所以众数 a95；B 型中“良好”等级包含的数据有 5 个，则所占百分比为 50%，所以 m%150%30%20%，即 m20；因为 B 型中“合格”等级所占百分比为 20%，所以 B 型中“合格”的有 2 个，所以 B 型中中位数 b9090920；故答案为：95；90；20；【小问 2 详解】3000 30%900（台），答：估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数有 900 台；【小问 3 详解】A型号更好，理由：在平均数均为 90 的情况下，A型号的平均除尘量众数95大于 B 型号的平均除尘量众数 90【点睛】本题考查了众数，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信息是解题的关键20.已知一次函数0ykxb k的图象与反比例函数4yx的图象相交于点1,Am，,2B n（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式4kxbx的解集；（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求ABC的面积【答案】（1）22yx，图见解析（2）20 x 或1x（3）12【解析】【分析】（1）把1,Am，,2B n 分别代入4yx得到 m，n 的值，得到点 A 和点 B 的坐标，利用待定系数法求出一次函数的表达式，并画出图象即可；（2）由函数图象可知，当20 x 或1x 时，一次函数0ykxb k的图象在反比例函数4yx的图象的上方，即可得到答案；（3）根据点C是点B关于y轴的对称点，求出点 C 的坐标，得到 BC 的长，进一步求出三角形的面积即可【小问 1 详解】解：把1,Am，,2B n 分别代入4yx得，41m，42n，解得 m4，n2，点 A（1，4），点 B（2，2），把点 A（1，4），点 B（2，2）代入一次函数0ykxb k得，422kbkb，解得22kb，一次函数的表达式是 y2x2，这个一次函数的图象如图，【小问 2 详解】解：由函数图象可知，当20 x 或1x 时，一次函数0ykxb k的图象在反比例函数4yx的图象的上方，不等式4kxbx的解集为20 x 或1x；【小问 3 详解】解：点C是点B关于y轴的对称点，点 B 的坐标是（2，2），点 C 的坐标是（2，2），BC2（2）4，14 6122ABCS【点睛】此题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键21.在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30 千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的 1.2 倍（1）若乙先骑行 2 千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行 20 分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度【答案】（1）24km/h（2）18km/h【解析】【分析】（1）设乙的速度为/xkm h，则甲的速度为1.2/xkm h，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为/xkm h，则甲的速度为1.2/xkm h，根据甲、乙恰好同时到达B地列方程求解即可【小问 1 详解】解：设乙的速度为/xkm h，则甲的速度为1.2/xkm h，由题意得：0.5 1.20.52xx，解得：20 x=，则1.224/xkm h，答：甲骑行的速度为24/km h；【小问 2 详解】设乙的速度为/xkm h，则甲的速度为1.2/xkm h，由题意得：3013031.2xx，解得15x，经检验15x 是分式方程的解，则1.218/xkm h，答：甲骑行的速度为18/km h【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键22.如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道经测量，点C在点A的正东方向，200AC 米点E在点A的正北方向点B，D在点C的正北方向，100BD 米点B在点A的北偏东30，点D在点E的北偏东45（1）求步道DE的长度（精确到个位）；（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：21.414，31.732）【答案】（1）283 米（2）经过点B到达点D较近【解析】【分析】（1）过E作BC的垂线，垂足为H，可得四边形 ACHE 是矩形，从而得到200EHAC，再证得DEH 为等腰直角三角形，即可求解；（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解【小问 1 详解】解：过E作BC的垂线，垂足为H，CAE=C=CHE=90，四边形 ACHE 是矩形，200EHAC，根据题意得：D=45，DEH 为等腰直角三角形，DH=EH=200，2200 2283DEEH米；【小问 2 详解】解：根据题意得：ABC=BAE=30，在Rt ABC中，2400ABAC，经过点B到达点D，总路程为 AB+BD=500，22200 3BCABBC，200 3 100200200 3 100AECHBCBDDH，经过点E到达点D，总路程为200 2200 3 100529500，经过点B到达点D较近【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键23.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”例如：2543M，223425，2543 是“勾股和数”；又如：4325M，225229，2943，4325 不是“勾股和数”（1）判断 2022，5055 是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记9cdG M，103acbdP M当G M，P M均是整数时，求出所有满足条件的M【答案】（1）2022 不是“勾股和数”，5055 是“勾股和数”；理由见解析（2）8109 或 8190 或 4536 或 4563【解析】【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；（2）由“勾股和数”的定义可得2210abcd，根据G M，P M均是整数可得9cd，2281 2cdcd为 3 的倍数，据此得出符合条件的 c，d 的值，然后即可确定出 M【小问 1 详解】解：2022 不是“勾股和数”，5055 是“勾股和数”；理由：22228，820，1022 不是“勾股和数”；225550，5055 是“勾股和数”；【小问 2 详解】M为“勾股和数”，2210abcd，220100cd，9cdG M为整数，9cd，2291010910333cacbdabcdPcdM为整数，2281 2cdcd为 3 的倍数，0c=，9d 或9c，0d，此时8109M 或 8190；3c，6d 或6c，3d，此时4536M 或 4563，综上，M 的值为 8109 或 8190 或 4536 或 4563【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线212yxbxc与直线AB交于点0,4A，4,0B（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方拋物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PCPD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PCPD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移 5 个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程【答案】（1）2142yxx（2）254，335,28P（3）11 45,28N；215 13,28N；31 13,2 8N【解析】【分析】（1）将点 A，B 的坐标代入抛物线212yxbxc中求出 b，c 即可；（2）设PD交BC于H，可得PCPH，求出直线 AB 的解析式，设21,42P ttt，则,4H t t，,0D t，表示出PCPD，然后根据二次函数的性质求出最值即可；（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点 E、F 坐标，设4,Mm，217,422N nnn，分情况讨论：当EF为对角线时，当EM为对角线时，当EN为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可【小问 1 详解】解：将点0,4A，4,0B代入212yxbxc得：4840cbc，解得：41cb ，该抛物线的函数表达式为：2142yxx；【小问 2 详解】如图，设PD交BC于H，0,4A，4,0B，OAOB4，45OBAOAB，PCOB，PDOA，45BCPOBA，45PHCBHDOAB，PCPH，设直线 AB 的解析式为ykxb，则440bkb，解得：41bk，直线 AB 的解析式为4yx，设21,42P ttt，则,4H t t，,0D t，222211325444342224PCPDPHPDtttttttt ，当32t 时，PCPD取得最大值254，此时335,28P；【小问 3 详解】由题意得：平移后抛物线解析式为221517424225xxyxx，735,28E，70,2F，抛物线217422yxx的对称轴为4x ，设4,Mm，217,422N nnn，分情况讨论：当EF为对角线时，则742n ，解得：12n，此时217454228nn，11 45,28N；当EM为对角线时，则742n，即152n ，此时217134228nn，215 13,28N；当EN为对角线时，则742n，即12n ，此时217134228nn，31 13,2 8N，综上所述，点N的坐标为：11 45,28N，215 13,28N，31 13,2 8N【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程25.如图，在锐角ABC中，60A，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F（1）如图 1，若ABAC，且BDCE，BCDCBE，求CFE的度数；（2）如图 2，若ABAC，且BDAE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若ABAC，且BDAE，将ABC沿直线AB翻折至ABC所在平面内得到ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将PHK沿直线HK翻折至PHK所在平面内得到QHK，连接PQ在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QKPF时，请直接写出PQBC的值【答案】（1）60EFC（2）2BFCFCN，证明见解析（3）2 144214【解析】【分析】（1）在射线CD上取一点K，使得CKBE，证明CBEBCK，求出CEBBKDBDKADF ，然后根据四边形内角和定理及邻补角的性质得出答案；（2）证明ABEBCD，求出120BFC，倍长CN至Q，连接FQ，PQ，证明CNMQNF，求出FQCMBC，在 CF 上截取 FPFB，连接 BP，易得PBF为正三角形，然后求出PFQPBC，证PFQPBC，可得 PQPC，QPFCPB60，则可得PCQ为正三角形，然后由2BFCFPFCFPCQCCN得出结论；（3）根据120BFC可知F轨迹为如图 3-1 中圆弧，O 为所在圆的圆心，此时 AO 垂直平分 BC，当P、F、O三点共线时，PF取得最小值，设2HLLK，解直角三角形求出 PL、PH，再用面积法求出 PQ计算即可【小问 1 详解】解：如图 1，在射线CD上取一点K，使得CKBE，BCDCBE，BCBC，CBEBCK（SAS），BKCEBD，CEBBKDBDKADF ，180ADFAEFAEFCEB，180ADFE，60A，120DFE，60CFE；【小问 2 详解】2BFCFCN，证明：ABAC，60A，ABC 是正三角形，ABBCAC，ADBC60，又BDAE，ABEBCD（SAS），BCFABE，60FBCBCF，120BFC，倍长CN至Q，连接FQ，PQ，CNQN，QNFCNM，NFNM，CNMQNF（SAS），FQCM，QFNCMN，