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数字信号处理复习总结绪论：本章介绍数字信号处理课程的基本概念。0.1信号、系统与信号处理.信号及其分类信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域 或其它域，但最基础的域是时域。分类：周期信号/非周期信号确定信号/随机信号能量信号/功率信号连续时间信号/离散时间信号/数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类：时间幅度时域连 续信号连续连续模拟信号连续离散量化信号时域离 散信号离散连续采样信号离散离散数字信号.系统系统定义为处理（或变换）信号的物理设备，或者说，但凡能将信号加以变换以达 到人们要求的各种设备都称为系统。y(n)用公式表示为+1 W"W3M)= (" + 1)(8-)/2 4 W 70其他方法二：当序列n()和()的长度分别为有限长，和历时，可采用“不进位乘法 求两序列线卷积。如图 1 所示：W "，M, ")= b I"0 12 3 4x 11110 12 3 40 12 3 40 12 3 40 1 2 3 40 1 3 6 10 9 7 4)，()=秋136097,4；例：两线性时不变系统级联，其单位取样响应分别为 1()和2()，输入为何"), 求系统的输出卜5)。："(")= "("), 可()= 6(") -(S(- 4), 、()= "()解：设第一个系统的输出为。()，那么0() =u(n) J(n) - Sn - 4)=()-u(n - 4)=6()+ S(n -1)+ S(n - 2)+ 6(n - 3)因而输出为M)=武") h2(n) = U() + 6(n-1) + 8n -2) + 3(n - 3)J * anu(n)=«，()+ dr %1) + "-2) +，w(z?-3)4.系统因果性和稳定性的判定（重点）1）稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：假设1式）1<8,那么 1必01<8 （记住！）00Y | h（n） < oo线性移不变系统是稳定系统的充要条件：二F（系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和）（记住!）或：其系统函数H（z）的收敛域包含单位圆|z| = l （记住!！）2）因果系统："。时刻的输出六）只由"。时刻之前的输入工（），“。决定（记 住!）线性移不变系统是因果系统的充要条件：用）=°，<° （记住!！）因果系统的单 位脉冲响应必然是因果序列。（记住!）或：其系统函数H（z）的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx （记住!！）3）稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。00y （）i< oo线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：记 住!！）或：H（z）的极点在单位圆内H（z）的收敛域满足：（记住！）例：判断线性时不变系统的因果性、稳定性，并给出依据。（重点）1 N-1 N ho ；式）=E x（）（2 ）k=f ；解：（1）只要NN1,该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果卜区加，那么伏心”，因此系统是稳定系统。+4）c做到“2 卜（%）| 引20 + 1”（2）如果人心,因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和x（n）的将来值有关。注意：如果给出的是h（n）,用上面要求记住的充要条件判断！例：设某线性时不变系统的单位取样响应为例"）= ""（"）（a为实数），分析系统 的因果性和稳定性。（重点）解：讨论因果性： 因为"。时，”（）°,所以该系统是因果系统。讨论稳定性：11OP0000"4 < £依"）1=£同=£时”=11 一时w=-<®>r=0n=0. oo a > 1 .当时<1时，系统是稳定的；否那么，系统不稳定。例：设某线性时不变系统的单位取样响应为（）二一"""一一"（a为实数），分 析系统的因果性和稳定性。（重点）解：讨论因果性：因为 <0时，力5）工°,所以该系统是非因果系统。讨论稳定性：BTBB 1； Itd > 1=M-1"一底"II 凹8<1.当时，系统是稳定的；否那么，系统不稳定。13线性常系数差分方程1差分方程定义卷积和是一种LTI系统的数学模型，一般情况下，我们可以用差分方程描述LTINMX akyn -眉=£ hkxn - k系统的输入输出关系。"=。"=。差分方程给出了系统响应yn的内部关系。为得到yn的显式解，必须求解方程。2差分方程求解经典法 递推法 变换域法(参见下章z域变换)(重点)例：设系统的差分方程为>'()=+15伞)，输入序列为m)=况)，求 输出序列M")。解：一阶差分方程需一个初始条件。设初始条件为：MT)二 °那么 XO) = O.5M-1) + 1.5X(0) = 1.5XI) = 0.5y(0) +L5x(l) = 0.75y(2) = 0.5y(l) + 1.5x(2) = 0375M)= L5x(O.5)”(")设初始条件改为：MD = 1那么 I (0) = 0.5y(-1) + I 5x(0)= 2MD = 0.5y(0)+I 5x(I) = lM2) = 0.5M1) + L5x(2) = 0.5y(n) = 2x(0.5)"()该例说明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输 出信号是不相同的。几点结论(重点)(1)对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向n>0的方向递推，是 一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向nvO的方向递推，得到的是非因 果解。因此差分方程本身不能确定该系统是因果系统还是非因果系统，还需要用初 始条件进行限制。（2） 一个线性常系数差分方程描述的系统不一定是线性非时变系统，这和系统的 初始状态有关。如果系统是因果的，一般在输入x（n）=O（nvnO：那么输出y （n）=O（nvnO）,系统是线性非时变系统。1.4模拟信号数字处理方法1模拟信号数字处理框图工*）>|预滤波| >|a/dc| >|数字信号处理|>|d/ac|平滑滤波|九> %”）：模拟信号输入预滤波：目的是限制带宽（一般使用低通滤波器） 合采样：将信号在时间上离散化A/DC：模/数转换 >量化：将信号在幅度上离散化（量化中幅度值=采样幅度值）编码：将幅度值表示成二进制位（条件/s22/,）数字信号处理：对信号进行运算处理D/AC：数/模转换（一般用采样保持电路实现：台阶状连续时间信号”在采样时 刻幅度发生跳变）平滑滤波：滤除信号中高频成分（低通滤波器），使信号变得平滑y）：输入信号经过处理后的输出信号.连续信号的采样对连续信号进行理想采样，设采样脉冲点）=&（£）=£甑-为 一、Xr ,那么米样输出K=才2分=工友«)汉"7)CD在讨论理想采样后，信号频谱发生的变化时,可遵循下面的思路:1）由 之Ez（C） ； 2 ）由分（*）芬（Q）；计算出计算出2 ）根据频域卷积定理，由计算过程:2）周期信号可以用傅里叶级数展开，因此用）=火&.产；JS.ro其中系数4=1 介-河=127m成=1广韵成=-f y7 J_r/2 27 LtcJ-r/2r所以19为=亍Z/肛 = 0.±L±2 / X-其傅里叶变换112yr 93)尺(Q) = a(Q)*5r(Q) = 1%-心-T)dz一WQ 用 口5) 3(C1 T)dz1 0=亍 >/0-心）T1因此，采样后信号频谱产生周期延拓，周期为Cs,同时幅度为原来的1/T倍。这是一个非常重要的性质，应熟练掌握。3时域抽样定理（重点）一个限带模拟信号/«），假设其频谱的最高频率为耳,对它进行等间隔抽样而得 H"）,抽样周期为T,或抽样频率为4=1/7；只有在抽样频率时，才可 由乙（,）准确恢复武空）。71例：有一连续信号冗（，）=8虱29+ 9）,式中，f = 20Hz,（ 1）求出以/）的 周期。(2 )用采样间隔T = 0.02s对勺(,)进行采样，试写出采样信号用(，)的表达式。(3)求出对应比的时域离散信号(序列)*()，并求出工()的周期。,、 T = = 0.05s解：(1)"周期为fAoo8x(/) = x(/) £ m - nT) = Z 即(29丁)伙/ - nT)(T = 0.05s)(2 )gY)=-002 _ 2tt _ 5(3 ) x(n)的数字频率m0.8ti ,故。8乃2,因而周期N=5 ,所以 x(n)=cos(0.8im+Ti/2)简答题：(重点)1 .是不是任意连续信号离散后，都可从离散化后的信号恢复出原来的信号？为 什么？2 . 一个连续时间信号经过理想采样以后，其频谱会产生怎样的变化？在什么条 件下，频谱不会产生失真？3 .说明时域采样定理的要点？4 .离散信号频谱函数的一般特点是什么？5 .画出模拟信号数字处理框图。并说明各局部的作用。名词解释：(重点).时域采样定理1 .线性系统、时不变系统、稳定系统、因果系统第二章：本章涉及信号及系统的频域分析方法，概念较多, 但很基础，学习时要注意。L定义L DTFT1性质定义-序列特性对Z变换收敛域的影响- 7变换 一-性质IZ反变换厂系统函数的定义一系统函数和差分方程一系统函数一系统函数的收敛域与系统的因果稳定性一频率响应的几何脩定2.1序列的傅里叶变换的定义及性质1 .定义DTFT是一个用来确定离散时间序列频谱的重要数学工具。物理意义：傅里叶变换是将对信号的时域分析转换为对其在频域的分析，便于研究 问题。假设序列五3）满足绝对可和条件S I 工5)I < 8CD那么其离散时间傅里叶变换（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT ：非周期序列 的傅里叶变换）定义为x（*）= £刈亦一加=«（记住！）xn =x（eia>）eJ<t）nda）反变换定义为：例：设E）=凡（），求其序列傅里叶变换。（重点）*(c)")=DTFTlN)=之*(c)")=DTFTlN)=之Q 0,(oN sin* 之时("1 _4*'I©"'22N，2-j"W2I VVVV-1-C- cM_c"'2 '"沁22，(D sin -2MljT(2-5)(2-5)xe“）的幅度和相位随。变化曲线如图2.1所示。argX(e"' ) = -(p =。或冗sin(ry-4/2)sin®/2)图2.1 R4（n）的幅度与相位曲线例:例:试求如下序列的傅里叶变换:（重点）X（）= b（一Q）X（）= b（一Q）巧()= /(" +2), o<t/<l(4 )猫()=( + 3)一(-4)解：M(*)= E 况”o)e '=门(1 ) “。产ii=1 + / sin <y80-22旭")22)w=b,0<a <心*)= £,( + 3)_(一4)卜叱=之= £©+£*西(4 )”-«>rr=-3/r=0n=l.性质1）周期性（重点）：DTFT是关于3的周期为2n的周期函数。X®°） = £必以一加血町 =X（，g2刖）为整数 n=-oo2）线性（重点）：设"）=小卬初,%（*） = F必创,那么FTaxx （） + bx2（n） = o¥"*） + bX 人*）时移特性（重点）DTF7xn-n = c"咻 X（c 加）4）频移特性DTFTIe"砂武明=阳豺3-3吗5 ）时域卷积定理（重点）DTFTn） 与=X嫡DX&媾s）6）频域卷积定理3.信号处理信号处理即是用系统对信号进行某种加工。包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、 估计、识别等等。所谓数字信号处理，就是用数值计算的方法，完成对信号的 处理。0.2数字信号处理系统的基本组成数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。不仅应用于数字化信 号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。以下讨论模拟信号数字化处理系统 框图。PrFADCDSPDAC PoF(1 )前置滤波器将输入信号X a (t)中高于某一频率(称折叠频率，等于抽样频率的一半)的分量加 以滤除。(2 ) A/D变换器在A/D变换器中每隔T秒(抽样周期)取出一次xa(t)的幅度，抽样后的信号称 为离散信号。在A/D变换器中的保持电路中进一步变换为假设干位码。(3 )数字信号处理器(DSP )(4 ) D/A变换器按照预定要求，在处理器中将信号序列x ( n )进行加工处理得到输出信号y ( n )。 由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步。(5)模拟滤波器把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟 信号y a (t)。0.3数字信号处理的特点(1 )灵活性。(2 )高精度和高稳定性。(3 )便于大规模集成。(4 )对数字 信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。DTFTxx(办=J) *莅(/)'7)帕斯瓦尔定理X卜5)=白匚卜0，")|%0时域总能量等于频域一周期内总能量。7)幅度频谱为3的偶函数，相位频谱为3的奇函数。8) X(ejo)的实部为3的偶函数，X(ejo)的虚部为3的奇函数。对称关系的总结(重点)：如果xn为复数序列，其DTFT为X(ejs),xn实部的DTFT为X(eju)的共轨对称局部xM » 4式/)=；X(*) + X * (e/)xn虚部的DTFT为X(e jo)的反共胡对称局部xM c Xg®0) = | *(/)- x * (e->)xn的共辄对称局部的DTFT为X(e j(n )的实部xM = ；耳川 + * * -w C X,e(e"')xn的反共枢对称局部的DTFT为X(ejco)的虚部xcan = ； xw-x *-« 3 jX 油©")如果实序列xn的DTFT为X(ejs),(a) xn的偶对称局部的DTFT为X(ejco)的实部,%1川=13川 + 凡-川 - X,e(e") xn的奇对称局部的DTFT为X(ejo)的虚部,士/川=| 卜网一 4-« jx V)例：设系统的单位取样响应输入序列为式）=况） + 23（-2）,完成下面各题：（1 ）求出系统输出序列歹（）；（2 ）分 别求出工5）、力5）和双）的傅里叶变换。（重点）y(n) = h(ri) * x(w) = anu(ri) * 3(ri) + 26(n-2)J解：（1）解：（1）=anu(n) + 2an2u(n - 2)X(/w)=n3ri) + 23( - 2)e-jwn = 1 + 2ejlwX(/w)=n3ri) + 23( - 2)e-jwn = 1 + 2ejlw(*)= Y anuneJwn = anejwn =/r=-oon=0y®")=2.2时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系:,式中C、=2"=5-T rrr2.3序列的Z变换Z变换定义（重点）Z变换为离散时间信号与LTI系统分析的重要数学工具。给定一离散时间序列x（n）,其z变换定义为:（n）,其z变换定义为:X(z)= £ x(n)z-nk=-co&一 < kl< &+（记住！）其中，z = es = cy + ja）o z变换存在情况下的Z变量取值范围称为收敛域（ROC） o注意：Z变换+不同收敛域=>对应不同收敛域的不同序列啡序列=> （Z变换+收敛域）（重点）例：求以下序列的Z变换及收敛域：（重点）（1 ） 2-rt«（-»）.（2 ） -2-"（-1）；2一10)ZT2-nu(n)= X 2T5)z- 二22一"一 二,12n=cnn=O1-2 'z * 'ZT-2-(f -1)= Z -2一"(-1"一" = 2-2-"- =£-2z2z1l-2z 1-2七7Z72T () 一( - 10) =2-10-10z,0< z <oo说明上题也可以改为求序列的傅立叶变换。可以利用X(eW) = X(z)z=。1 Z变换和DTFT之间的关系(重点)DTFT为单位圆上的z变换。数学表达为：X(e"') = X(z)记住并理解！2 .序列特性与X(z)的收敛域ROC的关系。(重点)收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z变换的收敛区域确定之后，才能 由Z变换唯一地确定序列。一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：&-V z |< Rx+总结：a. R0C不包含任何极点。b.有理z变换的收敛域R0C由其极点界定。c,对于有限长序列xn,其z变换的收敛域R0C为整个z-平面，可能在z=0或z = 8除外。只有序列为b()时，收敛域是整个Z平面。d.对于右边序列xn,其z变换的收敛域R0C由其离原点最远的极点确定，其形 式为目> I比-。e.对于左边序列xn,其z变换的收敛域ROC由其离原点最近的极点确定，其形f.对于双边序列xn,其z变换的收敛域ROC环状收敛域，,其形式为公共收 敛域忖 &+。右功中列3 . Z反变换(重点)常用序列的Z变换(重点-记住!)：Z(W)J = l,|z|>01 - zZanu(n) = 1 , z>a-azZbnu(-n-) = 9z<h1 Oz逆变换%（）=白由 X（Z）ZT 必C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线24产 x ,留数定理：x（） = Z1X（z）zT在C内极点留数之利留数辅助定理：=-Z1X（z）zT在C外极点留数之和利用局部分式展开：1 4Z ,然后利用定义域及常用序列的Z变换求解。（重点）基本要求：用局部分式展开法求Z反变换。（重点）例：假设X(z) =r r1 - 0.5Z-1 1 - OJz-1收敛域ROC为°3 v z v 0.5,那么X(z)的 z反变换为(一(°,5)"(一"1)+(°,3)“()。(重点) 说明：此题要求掌握序列的时域特性域z变换收敛域之间的对应关系。具体说， 有限长序列的z变换的ROC是怎样的，右边序列的z变换的ROC是怎样的，因果 序列的z变换的ROC是怎样的，左边序列的z变换的ROC是怎样的，反因果序列 的z变换的ROC是怎样的。-。"(-l)cr ROC: z <-cxz尸，()6 ROC: |z|> |/7|典型序列的z变换表达式是否记住了？1 一房这两个典型Z变换对，对求Z变换或逆Z变换非常重要。(少)= +例：- z-0.5 z-2 ,试求与X(z)对应的所有可能的序列”5)。 (重点)解：同一个Z变换函数，收敛域不同，对应的序列也不同。此题没有给定收敛域, 所以必须先确定收敛域。X(z)有两个极点：4=0.5, Z? =2,因为收敛域总是以极点为边界，所以收敛 域有以下三种情况：曰<°渣，°-5<H<2, zl>2,三种收敛域对应三种不同的 原序列，分别讨论如下：(1 )目 <°$ 对应左边序列.x(n) = -0.5"«(-« -1)-2"u(-n -1)(2 ) 0$ <H< 2 对应双边序列，*) = 0.5"()_2"(一一1)(3 ) I”对应右边序列.x()= 0.5”() + 2”()X(z) =j例：设 (”2z )(l-0,5z ) z>一,用局部分式展开法求逆Z变换。(重 点)解：先去掉Z的负幕次，以便于求解，将X(二)的分子分母同乘以一,得：X(z)=(z-2Xz-0.5)x(z)_ z _ 4 4将等式两端同时除以z,得：z (z-2)(z-0.5) z-2 Z-0.5 z4(-2)仁-0.5)”2314 =Rc$,2 = (z 2)z= (z 2)二 24 = Re A5 = (z - 0.5) zz=(z-0.5)=os(z 2)(z-0.5)X(Z) = 1.-1 因而得：3 z-2 3 z-0.541/、x(n)=2"()0.5"()由收敛域知，W)为右边序列，得： 33主要应用于单阶极点的序列。5 Z变换的性质线性性质(重点M(z)Z”加(叫=欧(z) + "(z) Rm_ < |z| < R序列的移位性质(重点)X(z) = ZTxn Rx_ <|z|< Rx+ZTlx(n-n0) = zX(z) Rx_ < z < Rx+序列乘以指数序列的性质(重点)X(z) = ZTxn Rx_ <|z|< Rx+yn = anx(n) a 为常数Y(z) = ZTanx(n) = X(az) a Rx_ < |z| < a 凡+序列乘以n的ZT *=ZTx(n) Rx_ < |z|<4+Z71r() = z 4哭 &_<目<4.ax复共轨序列的 zt XQ) = ZTx(n) Rx_ <|z|< Rx+x+ZTx(n) = Xz) R. < z < R初值定理X(z) = ZTx() x(0) = limX(z)Z->00终值定理股S）= W-i）x（z）南时域卷积定理（重点）X(z) = ZTx(n) Rx_ < z < R>K(z) = ZTy(n)凡_<z<人+“+“+那么 W(z) = ZTa)(n) = X(z)Y(z) k < z < R（9）口复卷积定理Znx(初= X(z) Rx_<z<Rx+ZTy(n) = K(z) R,_ < z < R>/z)二 0()= x(n)y(n)z、duRx-Ry- <Z < Rx+Rx+帕斯维尔定理znx（）l = X（z）&一 <|水Rx+凡及> 1凡及> 1ZTy(n) = Y(z) < z < Ry+ Rx_Ry_ < 1,那么斗（加=言心吗"如2.4离散时间系统的系统函数及频率响应1系统函数定义（重点）一个线性时不变离散时间系统在时域中可以用它的单位取样响应力（）来表征，即: ，（）= '（）*力5）对等式两边取Z变换并根据时域卷积定理，有： y（z）= x（z）n（z）（z）= 4£1那么：X（z）一般称（Z）为系统的系统函数（系统零状态响应的Z变换与输入的Z变换之比），它表征了系统的复频域特性。2系统函数与差分方程的关系0000X 为一 ）=Z 3（ 一 卜）A=。（给定差分方程，能计算其系统函数，或给定系统函数，能计算得到差分方程。）（重点）3频率响应（重点）频率响应是一个重要的概念，根据频率响应，可理解滤波。频率响应定义为系统单位冲激响应的DTFT：h（*）= £耳呼”=（重点）其中，|H（eja）|称为幅频响应，/"（。”）称为相频响应。系统的频率响应是以 2冗为周期的3的连续函数，这一点和连续系统的频率响应是不同的，学习时应加 以注意。假设h（n）为实数，那么系统的幅度响应在0工。石24区间内是偶对称的，而 相位响应是奇对称的。注意：仅当稳定系统才有频率响应。频率响应H（ej3）可根据DTFT与z变换之 间的关系简单得到：X（*） = X（z）|zi n H（eJM） = H（z）z=eJa稳态响应的求解结论：对于LTI系统，如果输入为正弦序列x（n）=cos（n 0 t+（p 0 ）,那么输出响应y（n）必为 相同形式的正弦序列，但需在3=3 0的幅频响应| H（e j（n）|进行加权，并通过相 频响应 ）在 3=3 o 的值进行移位,即：yn= |H（e jo）0 ）| cos（a）0 t+cp 0 +例：假设实序列xn的DTFT记为不©?那么其幅值是关于3的(偶函 数)。说明：还记得反复强调的一句话，实序列的DTFT的幅度、实部是关于频率3偶 函数，而相位和虚部那么是关于频率3奇函数。1=-一-例：对于一 LTI离散时间系统其频率响应1-05"/如果系统输x(n)二万TC cos(«)1.15 cos( 一 0.52)3 ,响应的稳态输出响应y(n)二(3 o说明：将系统的频率响应写成幅度相位表达式：那么输出.JT.£= H(e -) cos( n + ZH(e -)信号为：3O这里由于给出了 (山")的具体表达.万(/3) 产式，所以需要分别计算出和/(" D之值。4用系统函数极点分布分析系统的因果性和稳定性(重点)MV bz'lH(z) = - = 系统函数:的Z变换。(传输函数H(z)为系统的单位冲激响应h (n)X(z)£犷 4=01)稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：假设1双)1<8,那么I y(n) < 00Y | h(n) < oo线性移不变系统是稳定系统的充要条件：二F或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位圆|z|=l (牢记此结论！)2)因果系统："。时刻的输出(%)只由"。时刻之前的输入式)，“。决定 线性移不变系统是因果系统的充要条件：用)=°， < °或：其系统函数H(z)的收敛域在某圆外部：即：|z|>Rx (牢记此结论！) 3)稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。Y | h(n) < oo线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件： ，或：H的极点在单位圆内H的收敛域满足：上|4_,段_ <1(牢记此结论！)H(z) = -r例：一因果LTI离散时间系统的传输函数l-0.5z-二那么系统的单位冲激响应为(0.5 nu ( n )。说明：根据传递函数求系统的单位冲激响应，其实就是将传递函数进行逆z变换, 但要注意系统的因果性如何。H(Z)= -一r例：因果IIR离散时间LTI系统，其传输函数 l-0.5z 那么系统(稳定)。例：一 FIR离散时间LTI系统总是(稳定)。说明：系统的稳定性如何判断？按照教材中的说法，就是系统传递函数的收敛域 如果包括“单位圆，那么系统是稳定的。如果你熟悉了序列的z变换的R0C的性质， 那么此题不难回答。对于因果系统来说，其单位冲激响应为因果序列，故其z变换的 R0C 一定是某圆外部的整个区域。而这个圆就位于离原点最远的极点上，所以， 对于因果系统，如果系统传递函数的全部极点都位于单位圆以内的话，那么系统是稳 定的。对于FIR系统，其单位冲激响应是一个有限长序列，其z变换的R0C为除了无穷 远和原点之外的整个z平面，自然包括单位圆，所以FIR系统始终是稳定的。5系统的频率特性可由系统函数零点及极点确定MMM£ 它n a - z,zT)n(Z - z, % 例X(z)=詈F= 4弋£年 "口(1-中7)Y(Z-Zk)Z Nk=0A=1A=1(式中，zk是极点，zi是零点；在极点处，序列x(n)的Z变换是不收敛的，因 此收敛区域内不应包括极点。)系统函数H (z)的极点位置主要影响频响的峰值位置及尖锐程度，零点位置主 要影响频响的谷点位置及形状。例：设一阶系统的差分方程为fS)= N)+期(T),用几何法分析其幅频特性。(重点)解:对差分方程两边取Z变换,得：Y(z) = X(z)az Y(z)0.4数字信号处理基本学科分支数字信号处理（DSP ） 一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技 术DigitalSignalProcessing ,另一层是狭义的理解，为数字信号处理器DigitalSignalProcessor。0.5课程内容该课程在本科阶段主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，包括：（1 ） 离散傅里叶变换及其快速算法。（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于 别离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。在研究生阶段相应课程为“现代信号处理"（AdvancedSignalProcessing ）。信号 对象主要是随机信号，主要内容是自适应滤波（用于别离相加性组合的信号，但频 谱占据同一频段）和现代谱估计。简答题：1 .按自变量与函数值的取值形式是否连续信号可以分成哪四种类型？2 .相对模拟信号处理，数字信号处理主要有哪些优点？3 .数字信号处理系统的基本组成有哪些？第一章：本章概念较多，需要理解和识记的内容较多，学习 时要注意。几种常用序列|-离散时间信号序列间的运算I任意序列的单位脉冲表示分类：线性、时不变、因果、稳定离散时间系统一卜判别方法IL线性时不变系统输入输出的关系时域描述I差分方程L采样定理采样数字和模拟之间的关联1采样恢复系统函数4如以下图左所示：系统函数4如以下图左所示：IZ极点为z = ",零点为工=0,当3 = °时，由于极点矢量长度最短，幅频特性出现峰值，随着“的增加，幅度 逐渐减小，当e二尸时，由于极点矢量长度最长，幅频特性出现谷值，随着口的 增加，幅度逐渐增大，直到勿=2万时-，幅频特性出现峰值，如上图右所示。简答题：（重点）.说明有限长序列、左边序列、右边序列、双边序列的概念和收敛域各是什么？1 .说明系统频率响应的概念？系统的频率响应和系统函数是什么关系？（单位 圆上（二= e"）的系统函数就是系统的频率响应）.说明FIR系统为什么始终是稳定的？2 .怎样在z域表示离散时间LTI系统？答案：传输函数H（z）表示离散时间LTI 系统。第三章：DFT是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专 门运算，本章是数字信号处理课程的重点章节。DFS 一定义定义DFT性质L与Z变换、DTFT之间的关系厂计算线性卷积DFT的应用频谱分析L-频域采样定理前百信号处理中会遇到几种信号形式：（1）连续周期信号（2）连续非周期信号（3） 离散非周期信号（4）离散周期信号（重点）各种信号在时域和频域之间总的来说都是傅里叶变换，但具体形式及应用是不同的。1 .连续周期信号一一傅里叶级数（FS ）连续周期信号,可展开成傅里叶级数：式中，°八，几为'的周期。幅度频谱是指各次谐波的振幅随频率的变化关系，即:时域辙域连续时间、周期C非周期、离散频率2 .连续非周期信号一一傅里叶变换（FT ） 连续非周期信号X。）的傅里叶变换为：Xg） = f x（t）edt J-oCQo = 0因为非周期可视为4T 8,那么离散频谱间距 7； ，那么X（jc）变成。的 连续函数。时域航域连续时间、非周期非周期、连续频率3 .离散非周期信号一一序列的傅里叶变换（DTFT ）0X（一）=如果把序列看成连续时间信号的采样，采样间隔为丁，那么数字频率”和模拟角频 率。的关系为3 = Q7，且代入上式，得：%（/7）= £工（仃年2'域理域离散时间、非周期C周期、连续频率.离散周期信号一一离散傅里叶级数（DFS ）设75）是周期为N的周期序列，即：7（） = H（" +N） 为任意整数表3.1四种傅里叶变换形式的归时间函数对应关系频率函数1连续 非周期连续II周期连续 周期离散毋周期3离敝II周期一连续 周期4即改周期离散 周期一般规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓，一个域的连续必定对应另一 个域的非周期。（重点）3.1 离散傅里叶级数L周期序列的离散傅里叶级数（DFS）说明：离散傅里叶级数系数，用DFS（Discrete Fourier Series表示。连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示，离散周期序列也可以表示成傅里叶级数 形式。周期为N的复指数序列的基频序列为°】伽）=* = e "k次谐波序列为线8）=J "由于c" =g N ,即”冏）二念5）,因而，离散傅里叶级数的所有谐波 成分中只有N个是独立的。因此在展开成离散傅里叶级数时，我们只能取N个独 立的谐波分量，通常取k二0到（N-1）,即NA /巴就"3（ * ）式中，1/N是习惯上采用的常数，发（幻是k次谐波的系数。利用0,其它.2 a将（*）式两端同乘以并对一个周期求和NA_/ 丝»-01 N-lN-l 2/%(J) M-l 1 NA /%( J) = -ZZ> NN =XS)N x.o E-0Jt-0 N ».oMA由于»-0X(k + rlT)=工 x(ri)e7-/2i ("画 MA-/祖林 N=工胃。*=XG)»-0所以尤（上）也是一个以N为周期的周期序列。因此，时域离散周期序列的离散傅里 叶级数在频域上仍然是一个周期序列。称为离散傅里叶级数系数，用 DFS（Discrete Fourier Series）表示。令% = J",那么W-lX)= DFSx(n) =»-0x(w)= IDFSX(k) = X(JcWN其中，符号DFS口表示离散傅里叶级数正变换，IDFS表示离散傅里叶级数反变 换。例：设（）= &（），将*）以，M = 8为周期进行周期延拓，得到周期序列,（）, 求（"）的 DFS。解:mm0 1 2 3 4 5 6 77红京左)=!>(.8»-0.n 3jt4 sin-岸 2 e -.n sm 8其幅度特性为:仅（M1 J.L T L.周期序列的傅里叶变换1 N-1 2 /三就X©“)= DTFT三鲂1= DTFTl_ZX® N 思路：由N 491 一 Z 2加%0 - 2对）利用 和DTFT的频移特性，可得傅里叶变换时域、频域对应关系：