专题13 动点最值之隐圆模型（讲+练）（含答案）-2022年中考数学几何模型专项复习与训练.pdf

2022 年中考数学几何模型专项复习与训练年中考数学几何模型专项复习与训练专题专题 13动点最值之隐圆模型动点最值之隐圆模型模型一、动点定长模型模型一、动点定长模型若若 P 为动点，但为动点，但 AB=AC=AP，则则 B、C、P 三点共圆，三点共圆，A 圆心，圆心，AB 半径半径例.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A=60，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将AMN沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是_【变式训练 1】如图，在 RtABC 中，C=90，AC=6，BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边BC 上的动点，将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是_【变式训练 2】如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，P、Q 分别是直线 BC、AB 上的两个动点，AE=2，AEQ沿 EQ 翻折形成FEQ，连接 PF、PD，则 PF+PD 的最小值是_模型二、直角圆周角模型模型二、直角圆周角模型固定线段固定线段 AB 所对动角所对动角C 恒为恒为 90，则则 A、B、C 三点三点共共圆圆，AB 为直径为直径例.如图，RtABC 中，ABBC，AB=8，BC=4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段 CP 长的最小值是_【变式训练 1】如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 和 N 分别从 B、C 同时出发，以相同的速度沿 BC、CD 向终点 C、D 运动，连接 AM、BN，交于点 P，连接 PC，则 PC 长的最小值为（）A252B2C351D25【变式训练 2】如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE=DF，连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是_【变式训练 3】如图，点 M 是矩形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，过点 B 作 BNAM 于点 P，交矩形 ABCD 的边于点 N，连接 DP，若 AB=6，AD=4，则 DP 的长的最小值为（）A2B12 1313C4D5模型三、四点共圆模型模型三、四点共圆模型固定线段固定线段 AB 所对所对同侧同侧动角动角P=C，则则 A、B、C、P 四点共圆四点共圆例.如图，ABCADE，90BACDAE，4AB，3AC，F是DE的中点，若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是（）A52B2C65D4【变式训练 1】如图，在四边形 ABCD 中，BCD90，AC 为对角线，过点 D 作 DFAB，垂足为 E，交CB 延长线于点 F，若 ACCF，CADCFD，DFAD2，AB6，则 ED 的长为【变式训练 2】如图，P为菱形ABCD内一动点，连接PA，PB，PD，60APDBAD，2AB，则PBPD的最大值为（）A332B433C132D312【变式训练 3】如图，在ABC 中，BC9，AC12，AB15，D 为直线 AB 上方一点，连接 AD，BD，且ADB90，过 D 作直线 BC 的垂线，垂足为 E，则线段 BE 的长度的最大值为_课后训练课后训练1.如图，在 RtABC 中，ACB=90，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_2如图，AB 是半O 的直径，点 C 在半O 上，AB5cm，AC4cmD 是BC上的一个动点，连接 AD，过点 C 作 CEAD 于 E，连接 BE在点 D 移动的过程中，BE 的最小值为（）A1B132C221D33如图，在平行四边形 ABCD 中，AB8，AD6，以 AB 为边向右作等边ABE，F 为边 CD 上一点，DF2，连接 EF，则 EF 的最小值为_4如图，正方形ABCD的边长为 5，点 O 是中心，点 M 在边AB上，连接OB，OM，过 O 作ONOM，交边BC于点 N若2BM，则BN的长是_5.在 RtABC 中，C90，AC10，BC12，点 D 为线段 BC 上一动点以 CD 为O 直径，作 AD 交O 于点 E，连 BE，则 BE 的最小值为86 如图，在ABC中，90C，点D是BC边上一动点，过点B作BEAD交AD的延长线于E 若2AC，4BC，则ADDE的最小值为（）A512B1C52D5127.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，以相同的速度分别沿 AB、CD 向终点 B、D 移动，当点 E 到达点 B 时，运动停止，过点 B 作直线 EF 的垂线 BG，垂足为点 G，连接 AG，则 AG 长的最小值为8.如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE2，点 F 是边 BC 上的任意一点，把BEF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 G，连接 AG，CG，则四边形 AGCD 的面积的最小值为专题专题 13 动点最值之隐圆模型动点最值之隐圆模型模型一、动点定长模型模型一、动点定长模型若若 P 为动点，但为动点，但 AB=AC=AP，则则 B、C、P 三点共圆，三点共圆，A 圆心，圆心，AB 半径半径例.如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A=60，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上的一动点，将AMN沿 MN 所在直线翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是_【答案】7-1【解析】考虑AMN 沿 MN 所在直线翻折得到AMN，可得 MA=MA=1，所以 A轨迹是以 M 点为圆心，MA 为半径的圆弧连接 CM，与圆的交点即为所求的 A，此时 AC 的值最小构造直角MHC，勾股定理求 CM，再减去 AM 即可，答案为7-1【变式训练 1】如图，在 RtABC 中，C=90，AC=6，BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边BC 上的动点，将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是_【解析】考虑到将FCE 沿 EF 翻折得到FPE，可得 P 点轨迹是以 F 点为圆心，FC 为半径的圆弧过 F点作 FHAB，与圆的交点即为所求 P 点，此时点 P 到 AB 的距离最小由相似先求 FH，再减去 FP，即可得到 PH答案为 1.2.【变式训练 2】如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=8，P、Q 分别是直线 BC、AB 上的两个动点，AE=2，AEQ沿 EQ 翻折形成FEQ，连接 PF、PD，则 PF+PD 的最小值是_【答案】8【解析】F 点轨迹是以 E 点为圆心，EA 为半径的圆，作点 D 关于 BC 对称点 D，连接 PD，PF+PD 化为PF+PD连接 ED，与圆的交点为所求 F 点，与 BC 交点为所求 P 点，勾股定理先求 ED,再减去 EF 即可模型二、直角圆周角模型模型二、直角圆周角模型固定线段固定线段 AB 所对动角所对动角C 恒为恒为 90，则则 A、B、C 三点三点共共圆圆，AB 为直径为直径例.如图，RtABC 中，ABBC，AB=8，BC=4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段 CP 长的最小值是_【答案】4 24【解析】PBC+PBA=90，PBC=PAB，PAB+PBA=90，APB=90，P 点轨迹是以 AB 为直径的圆弧当 O、P、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求 OC，再减去 OP 即可【变式训练 1】如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 和 N 分别从 B、C 同时出发，以相同的速度沿 BC、CD 向终点 C、D 运动，连接 AM、BN，交于点 P，连接 PC，则 PC 长的最小值为（）A252B2C351D25【答案】A【详解】由题意得：BMCN，四边形 ABCD 是正方形，ABMBCN90，ABBC4，在ABM 和BCN 中，ABBC，ABMBCN，MBCN，ABMBCN（SAS），BAMCBN，ABPCBN90，ABPBAM90，APB90，点 P 在以 AB 为直径的圆上运动，设圆心为 O，运动路径一条弧 BG，是这个圆的14，连接 OC 交圆 O 于 P，此时 PC 最小，AB4，OPOB2，由勾股定理得：OC222+425，PCOCOP252；故选：A【变式训练 2】如图，E、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE=DF，连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是_【解析】根据条件可知：DAG=DCG=ABE，易证 AGBE，即AHB=90，所以 H 点轨迹是以 AB 为直径的圆弧当 D、H、O 共线时，DH 取到最小值，勾股定理可求答案为51【变式训练 3】如图，点 M 是矩形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，过点 B 作 BNAM 于点 P，交矩形 ABCD 的边于点 N，连接 DP，若 AB=6，AD=4，则 DP 的长的最小值为（）A2B12 1313C4D5【答案】A【详解】解：BNAM，APB90，AB6 为定长，则 P 点的运动轨迹是以 AB 为直径，在 AB 上方的半圆，取 AB 的中点为 O，连接 OD，OD 与半圆的交点 P就是 DP 长的最小值时的位置，如图所示：AB6，AD4，OPOA12AB3，OD22AD+OA224+35，DPODOP532，DP 的长的最小值为 2，故选：A模型三、四点共圆模型模型三、四点共圆模型固定线段固定线段 AB 所对所对同侧同侧动角动角P=C，则则 A、B、C、P 四点共圆四点共圆例.如图，ABCADE，90BACDAE，4AB，3AC，F是DE的中点，若点E是直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是（）A52B2C65D4【答案】B【详解】解：ABCADE，ADEABE，点 A，D，B，E 四点共圆，DAE90，DBE90，F 是 DE 的中点，BF12DE，当 DE 最小时，BF 的值最小，若点 E 是直线 BC 上的动点，当 AEBC 时，AE 最小，此时，DE 最小，BAC90，AB4，AC3，BC5，AE125ABACBC，ABCADE，ACBCAEDE，35125DE，DE4，BF2，故选 B【变式训练 1】如图，在四边形 ABCD 中，BCD90，AC 为对角线，过点 D 作 DFAB，垂足为 E，交CB 延长线于点 F，若 ACCF，CADCFD，DFAD2，AB6，则 ED 的长为【解答】解：CADCFD，点 A，F，C，D 四点共圆，FAD+DCF180，FACFDC，DCF90，FAD90，ACFC，FACAFC，DFAB，ABF+BFECDF+BFE90，ABFCDF，AFBABF，AFAB6，DFAD2，DFAD+2，DF2AF2+AD2，（2+AD）262+AD2，解得：AD8，DF10，FAD90，AEDF，ADEDAF，DE，故答案为：【变式训练 2】如图，P为菱形ABCD内一动点，连接PA，PB，PD，60APDBAD，2AB，则PBPD的最大值为（）A332B433C132D312【答案】B【详解】如图，连接BD在菱形ABCD中，ABAD又60BADABD是等边三角形，DADB，60ABD又60APDBAD 动点P一定在ABD的外接圆O的劣弧BD上，120BPDAPDAPBAPDADB 在AP上取AEBP，连接DEAEBP，DAEDBP，DADB，AEDBPD，DEDP，120AEDBPD，60DEP，PDE为等边三角形，PEPD，APAEEPBPPD当AP为O的直径时，BPPD的值最大，此时90ABP，30PAB又2AB，PBPD的最大值为243cos303故选：B【变式训练 3】如图，在ABC 中，BC9，AC12，AB15，D 为直线 AB 上方一点，连接 AD，BD，且ADB90，过 D 作直线 BC 的垂线，垂足为 E，则线段 BE 的长度的最大值为_【答案】12【详解】解：在ABC 中，BC9，AC12，AB15，22281,144,225BCACAB，222BCACAB，90C，ADB90，ACDB、共圆取AB的中点O连接DO，过点O作OFEB于点F如图，当/OD BC时，BE最大，此时ODAC，ODDE，119/,9222OF AC OFOD BFBC，四边形ODEF是矩形，111515222EFODAB，9151222BEBFEF，故答案为：12课后训练课后训练1.如图，在 RtABC 中，ACB=90，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_【解析】连接 CE，由于 CD 为直径，故CED=90，考虑到 CD 是动线段，故可以将此题看成定线段 CB对直角CEB取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧连接 AM，与圆弧交点即为所求 E 点，此时 AE 值最小，2210222 262AEAMEM2如图，AB 是半O 的直径，点 C 在半O 上，AB5cm，AC4cmD 是BC上的一个动点，连接 AD，过点 C 作 CEAD 于 E，连接 BE在点 D 移动的过程中，BE 的最小值为（）A1B132C221D3【答案】B【详解】解：如图，连接 BO、BCCEAD，AEC90，在点 D 移动的过程中，点 E 在以 AC 为直径的圆上运动，AB 是直径，ACB90，在 RtABC 中，AC4，AB5，2222543BCABAC，OE2，在 RtBCO中，22222313BOBCCQ，OE+BEOB，当 O、E、B 共线时，BE 的值最小，最小值为 OBOE132，故选：B3如图，在平行四边形 ABCD 中，AB8，AD6，以 AB 为边向右作等边ABE，F 为边 CD 上一点，DF2，连接 EF，则 EF 的最小值为_【答案】2 13-6【详解】解：如图，在 AB 上取点 O，使得 AO=2，则 AO=DF，AODF，四边形 AOFD 是平行四边形，OF=AD=6，即：点 F 在以 O 为圆心，6 为半径的圆上，连接 OE，当点 F 恰好在 OE 上时，EF 最小，过点 E 作 EHAB，在等边ABE 中，AB=AE=8，AH=4，HE=22844 3，在 RtOHE 中，OH=4-2=2，OE=2224 32 13，EF=2 13-6，即 EF 的最小值为2 13-64如图，正方形ABCD的边长为 5，点 O 是中心，点 M 在边AB上，连接OB，OM，过 O 作ONOM，交边BC于点 N若2BM，则BN的长是_【答案】3【详解】连接 MN、OC，MON90，MBN90，M、O、N、B 四点共圆，BOM+BNO180，BNO+ONC180，BMOONC，点 O 是正方形 ABCD 的中心，OBOC，BOC90，MONMOB+BON90，BOCBON+NOC90，MOBNOC，MOBNOC，NCMB2，正方形 ABCD 的边长为 5，BC5，BNBCNC523故答案为：35.在 RtABC 中，C90，AC10，BC12，点 D 为线段 BC 上一动点以 CD 为O 直径，作 AD 交O 于点 E，连 BE，则 BE 的最小值为8【解答】解：如图，连接 CE，CEDCEA90，点 E 在以 AC 为直径的Q 上，AC10，QCQE5，当点 Q、E、B 共线时 BE 最小，BC12，QB13，BEQBQE8，BE 的最小值为 8，故答案为 86 如图，在ABC中，90C，点D是BC边上一动点，过点B作BEAD交AD的延长线于E 若2AC，4BC，则ADDE的最小值为（）A512B1C52D512【答案】D【详解】如图 1，过点 E 作EFBC于 F，90C，/ACEF，ACDEDF，ADACDEEF，AC 是定值，当 EF 取最大值时ADACDEEF有最小值，又AEBE，A，B，E，C 四点共圆，设 AB 的中点为 O，连接 OE，当OEBC时，EF 有最大值，如图 2，当点 E 是BC中点时，EF 的值最大，此时，E，F，O 共线2AC，4BC，2222242 5ABACBC，5OEOB，OEBC，122BFBC，22541OFOBBF，51EFOEOF，22(51)51=251(51)(51)ADACDEEF，ADDE的最小值为5+12故选7.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，以相同的速度分别沿 AB、CD 向终点 B、D 移动，当点 E 到达点 B 时，运动停止，过点 B 作直线 EF 的垂线 BG，垂足为点 G，连接 AG，则 AG 长的最小值为【解析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有 AE=CF，BGEF，但BGE 所对的 BE 边是不确定的重点放在 AE=CF，可得 EF 必过正方形中心 O 点，连接 BD，与 EF 交点即为 O 点BGO 为直角且 BO 边为定直线，故 G 点轨迹是以 BO 为直径的圆记 BO 中点为 M 点，当 A、G、M 共线时，AG 取到最小值，利用 RtAOM 勾股定理先求 AM，再减去 GM 即可答案为1028.如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE2，点 F 是边 BC 上的任意一点，把BEF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 G，连接 AG，CG，则四边形 AGCD 的面积的最小值为【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，CDAB3，ADBC4，ABCD90，根据勾股定理得，AC5，AB3，AE2，点 F 在 BC 上的任何位置时，点 G 始终在 AC 的下方，设点 G 到 AC 的距离为 h，S四边形AGCDSACD+SACGADCD+ACh43+5hh+6，要四边形 AGCD 的面积最小，即：h 最小，点 G 是以点 E 为圆心，BE1 为半径的圆上在矩形 ABCD 内部的一部分点，EGAC 时，h 最小，即点 E，点 G，点 H 共线由折叠知EGFABC90，延长 EG 交 AC 于 H，则 EHAC，在 RtABC 中，sinBAC，在 RtAEH 中，AE2，sinBAC，EHAE，hEHEG1，S四边形AGCD最小h+6+6故答案为：挑战挑战 2022 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题专题 13 二次函数与交点公共点综合问题二次函数与交点公共点综合问题【例 1】（2021宜昌）在平面直角坐标系中，抛物线 y1（x+4）（xn）与 x 轴交于点 A 和点 B（n，0）（n4），顶点坐标记为（h1，k1）抛物线 y2（x+2n）2n2+2n+9 的顶点坐标记为（h2，k2）（1）写出 A 点坐标；（2）求 k1，k2的值（用含 n 的代数式表示）（3）当4n4 时，探究 k1与 k2的大小关系；（4）经过点 M（2n+9，5n2）和点 N（2n，95n2）的直线与抛物线 y1（x+4）（xn），y2（x+2n）2n2+2n+9 的公共点恰好为 3 个不同点时，求 n 的值【分析】（1）令 y10，得到 x 值即为 A、B 的横坐标，（2）由顶点坐标公式可得顶点的纵坐标（3）讨论 k1k2n25 与 0 比较大小得 n 的取值范围，即在不同的取值范围内得 k1、k2大小（4）两点确定一条直线的解析式，直线 MN 的解析式为：yx5n2+2n+9当直线 MN 经过抛物线y1，y2的交点时，联立抛物线 y1与 y2得解析式（5n4）x5n22n+9，联立直线 yx5n2+2n+9与抛物线 y2得解析式 x2+（4n1）x0，解得 n，此时直线 MN 与抛物线 y1，y2的公共点恰好为三个不同点，即（5n4）（14n）5n22n+9，该方程判别式0，当直线 MN 与抛物线 y1或者与抛物线 y2只有一个公共点时，当直线 MN 与抛物线 y1只有一个公共点时，联立直线 yx5n2+2n+9 与抛物线 yx2+（n4）x+4n 可得，x2+（n3）x+5n2+2n90，解得n，由而知直线 MN 与抛物线 y2公共点的横坐标为 x10，x214n，x1x2，所以此时直线 MN 与抛物线 y1，y2的公共点恰好为三个不同点，联立直线 yx5n2+2n+9 与抛物线 y1得：x2+（n3）x+5n2+2n90，21n2+2n27，当 n时，0，此时直线 MN 与抛物线 y1，y2的公共点只有一个，n【解答】解：（1）y1（x+4）（xn），令 y10，（x+4）（xn）0，x14，x2n，A（4，0）；（2）y1（x+4）（xn）x2+（n4）x+4n，k1n2+2n+4，y2（x+2n）2n2+2n+9，k2n2+2n+9，（3）k1k2n25，当n250 时，可得 n2 或 n2，即当4n2 或 2n4 时，k1k2；当n250 时，可得2n2，即当2n2 时，k1k2；当n250，可得 n2 或 n2，即当 n2 或 n2 时，k1k2；（4）设直线 MN 的解析式为：ykx+b，则，由得，k1，b5n2+2n+9，直线 MN 的解析式为：yx5n2+2n+9如图：当直线 MN 经过抛物线 y1，y2的交点时，联立抛物线 y1x2+（n4）x+4n 与 y2x24nx5n2+2n+9 的解析式可得：（5n4）x5n22n+9，联立直线 yx5n2+2n+9 与抛物线 y2x24nx5n2+2n+9 的解析式可得：x2+（4n1）x0，则 x10，x214n，当 x10 时，把 x10 代入 y1得：y4n，把 x10，y4n 代入直线的解析式得：4n5n2+2n+9，5n2+2n90，n，此时直线 MN 与抛物线 y1，y2的公共点恰好为三个不同点，当 x214n 时，把 x214n 代入得：（5n4）（14n）5n22n+9，该方程判别式0，所以该方程没有实数根；如图：当直线 MN 与抛物线 y1或者与抛物线 y2只有一个公共点时，当直线 MN 与抛物线 y1x2+（n4）x+4n 只有一个公共点时，联立直线 yx5n2+2n+9 与抛物线 yx2+（n4）x+4n 可得，x2+（n3）x+5n2+2n90，此时0，即（n3）2+4（5n2+2n9）0，21n2+2n270，n，由而知直线 MN 与抛物线 y2x24nx5n2+2n+9 公共点的横坐标为 x10，x214n，当 n时，14n0，x1x2，所以此时直线 MN 与抛物线 y1，y2的公共点恰好为三个不同点，如图：当直线 MN 与抛物线 y2x24nx5n2+2n+9 只有一个公共点，x10，x214n，n，联立直线 yx5n2+2n+9 与抛物线 y1x2+（n4）x+4n，x2+（n3）x+5n2+2n90，（n3）2+4（5n2+2n9）21n2+2n27，当 n时，0，此时直线 MN 与抛物线 y1，y2的公共点只有一个，n，综上所述：n1，n2，n3，n4【例 2】（2021德州）小刚在用描点法画抛物线 C1：yax2+bx+c 时，列出了下面的表格：x01234y36763（1）请根据表格中的信息，写出抛物线 C1的一条性质：抛物线的顶点坐标为（2，7）；（2）求抛物线 C1的解析式；（3）将抛物线 C1先向下平移 3 个单位长度，再向左平移 4 个单位长度，得到新的抛物线 C2；若直线 yx+b 与两抛物线 C1，C2共有两个公共点，求 b 的取值范围；抛物线 C2的顶点为 A，与 x 轴交点为点 B，C（点 B 在点 C 左侧），点 P（不与点 A 重合）在第二象限内，且为 C2上任意一点，过点 P 作 PDx 轴，垂足为 D，直线 AP 交 y 轴于点 Q，连接 AB，DQ求证：ABDQ【分析】（1）根据表格中数据的特征可得顶点坐标；（2）利用待定系数法可以确定抛物线的解析式；（3）利用已知得出 C2的顶点坐标与解析式，结合两条抛物线的位置，两抛物线联立，利用判别式求解，即可得到 b 的取值范围；利用点 P（不与点 A 重合）在第二象限内，且为 C2上任意一点，设点 P（m，m24m），利用待定系数法求得直线 AP 的解析式，从而得到点 Q 的坐标；利用直角三角形的边角关系求得ABO 和QDO的正切值，再利用同位角相等，两直线平行得出结论【解答】解：（1）表中的数据关于（2，7）对称，该抛物线的顶点为（2，7）故答案为：抛物线的顶点坐标为（2，7）（答案不唯一）；（2）由题意抛物线的解析式为 yax2+bx+c，将表中的三对对应值代入得：，解得：抛物线 C1的解析式为 yx2+4x+3（3）由（1）知：抛物线 C1的解析式为 yx2+4x+3，将抛物线 C1先向下平移 3 个单位长度，再向左平移 4 个单位长度，得到新的抛物线 C2的顶点为（2，4）抛物线 C2的解析式为 y（x+2）2+4x24x由题意得：或，x2+4x+3x+b 或x24xx+b即 2x27x+2b60 或 x2+x+b0当0 时，方程有两个相等的实数根，7242（2b6）0 或（）241b0解得：b或 b直线 yx+b 与两抛物线 C1，C2共有两个公共点，b由题意画出图形如下：过点 A 作 AEx 轴于点 E，抛物线 C2的解析式为 yx24x，令 y0，则x24x0，解得：x0 或 x4抛物线 C2与 x 轴交点为点 B，C（点 B 在点 C 左侧），B（4，0），C（0，0）OB4由知：抛物线 C2的顶点为 A（2，4）AE4，OE2，BEOBOE2在 RtABE 中，tanABE2点 P（不与点 A 重合）在第二象限内，且为 C2上任意一点，设点 P（m，m24m），则 m0，m24m0PDx 轴，ODm设直线 AP 的解析式为 ykx+n，则：，解得：直线 AP 的解析式为 y（m+2）x2m令 x0，则 y2mQ（0，2m）OQ2m在 RtODQ 中，tanQDO2tanABEtanQDOABEQDOABDQ【例 3】（2021黔西南州）如图，直线 l：y2x+1 与抛物线 C：y2x2+bx+c 相交于点 A（0，m），B（n，7）（1）填空：m1，n3，抛物线的解析式为y2x24x+1（2）将直线 l 向下移 a（a0）个单位长度后，直线 l 与抛物线 C 仍有公共点，求 a 的取值范围（3）Q 是抛物线上的一个动点，是否存在以 AQ 为直径的圆与 x 轴相切于点 P？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）将 A（0，m），B（n，7）代入 y2x+1，可求 m、n 的值，再将 A（0，1），B（3，7）代入y2x2+bx+c，可求函数解析式；（2）由题意可得 y2x+1a，联立，得到 2x26x+a0，再由判别式0 即可求 a 是取值范围；（3）设 Q（t，s），则 M（，），P（，0），半径 r，再由 AQ2t2+（s1）2（s+1）2，即可求 t 的值【解答】解：（1）将 A（0，m），B（n，7）代入 y2x+1，可得 m1，n3，A（0，1），B（3，7），再将 A（0，1），B（3，7）代入 y2x2+bx+c 得，可得，y2x24x+1，故答案为：1，3，y2x24x+1；（2）由题意可得 y2x+1a，联立，2x26x+a0，直线 l 与抛物线 C 仍有公共点368a0，a，0a；（3）存在以 AQ 为直径的圆与 x 轴相切，理由如下：设 Q（t，s），M（，），P（，0），半径 r，AQ2t2+（s1）2（s+1）2，t24s，s2t24t+1，t24（2t24t+1），t2 或 t，P（1，0）或 P（，0），以 AQ 为直径的圆与 x 轴相切时，P 点坐标为 P（1，0）或 P（，0）【例 4】（2021绵阳）如图，二次函数 yx22x+4a2的图象与一次函数 y2x 的图象交于点 A、B（点 B 在右侧），与 y 轴交于点 C，点 A 的横坐标恰好为 a动点 P、Q 同时从原点 O 出发，沿射线 OB分别以每秒和 2个单位长度运动，经过 t 秒后，以 PQ 为对角线作矩形 PMQN，且矩形四边与坐标轴平行（1）求 a 的值及 t1 秒时点 P 的坐标；（2）当矩形 PMQN 与抛物线有公共点时，求时间 t 的取值范围；（3）在位于 x 轴上方的抛物线图象上任取一点 R，作关于原点（0，0）的对称点为 R，当点 M 恰在抛物线上时，求 RM 长度的最小值，并求此时点 R 的坐标【分析】（1）将 A（a，2a）代人 yx22x+4a2，解方程求出 a，即可求得抛物线解析式，当 t1秒时，OP，设 P 的坐标为（x，y），建立方程求解即可；（2）经过 t 秒后，OPt，OQ2t，得出 P 的坐标为（1，2t），Q 的坐标为（2t，4t），进而得出 M 的坐标为（2t，2t），N 的坐标为（t，4t），将 M（2t，2t）代入 yx22x+2，得 2t2+t10，解方程即可，将 N（1，4t）代入 yx22x+2，得（t1）23，解方程即可得出答案；（3）设 R（m，n），则 R 关于原点的对称点为 R（m，n），当点 M 恰好在抛物线上时，M 坐标为（1，1），过 R和 M 作坐标轴平行线相交于点 S，如图 3，利用勾股定理可得 RM，当 n时，RM 长度的最小值为，进而可得出答案【解答】解：（1）由题意知，交点 A 坐标为（a，2a），代人 yx22x+4a2，解得：a，抛物线解析式为：yx22x+2，当 t1 秒时，OP，设 P 的坐标为（x，y），则，解得或（舍去），P 的坐标为（1，2）；（2）经过 t 秒后，OPt，OQ2t，由（1）方法知，P 的坐标为（t，2t），Q 的坐标为（2t，4t），由矩形 PMQN 的邻边与坐标轴平行可知，M 的坐标为（2t，2t），N 的坐标为（t，4t），矩形 PMQN 在沿着射线 OB 移动的过程中，点 M 与抛物线最先相交，如图 1，然后公共点变为 2 个，点 N 与抛物线最后相离，然后渐行渐远，如图 2，将 M（2t，2t）代入 yx22x+2，得 2t2+t10，解得：t，或 t1（舍），将 N（1，4t）代入 yx22x+2，得（t1）23，解得：t1+或 t1（舍）所以，当矩形 PMQN 与抛物线有公共点时，时间 t 的取值范围是：t1+；（3）设 R（m，n），则 R 关于原点的对称点为 R（m，n），当点 M 恰好在抛物线上时，M 坐标为（1，1），过 R和 M 作坐标轴平行线相交于点 S，如图 3，则 RM，又nm22m+2 得（m+1）23n，消去 m 得：RM，当 n时，RM 长度的最小值为，此时，nm22m+2，解得：m1，点 R 的坐标是（1，）【例 5】（2020襄阳）如图，直线 y?x+2 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 C，抛物线 y?x2+bx+c 经过点 A，点 C，且交 x 轴于另一点 B（1）直接写出点 A，点 B，点 C 的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线 AC 上方的抛物线上有一点 M，求四边形 ABCM 面积的最大值及此时点 M 的坐标；（3）将线段 OA 绕 x 轴上的动点 P（m，0）顺时针旋转 90得到线段 OA，若线段 OA与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求 m 的取值范围【分析】（1）令 x0，由 y?x+2，得 A 点坐标，令 y0，由 y?x+2，得 C 点坐标，将 A、C 的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令 y0，便可求得 B 点坐标；（2）过 M 点作 MNx 轴，与 AC 交于点 N，设 M（a，?），则 N（a，?），由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于 a 的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得 a的值，便可得 M 点的坐标；（3）根据旋转性质，求得 O点和 A点的坐标，令 O点和 A点在抛物线上时，求出 m 的最大和最小值便可【解析】（1）令 x0，得 y?x+22，A（0，2），令 y0，得 y?x+20，解得，x4，C（4，0），把 A、C 两点代入 y?x2+bx+c 得，?，解得?，抛物线的解析式为?，令 y0，得?0，解得，x4，或 x2，B（2，0）；（2）过 M 点作 MNx 轴，与 AC 交于点 N，如图 1，设 M（a，?），则 N（a，?），?烈?烈?，?烈烈?烈烈?，S四边形ABCMSACM+SABC?，当 a2 时，四边形 ABCM 面积最大，其最大值为 8，此时 M 的坐标为（2，2）；（3）将线段 OA 绕 x 轴上的动点 P（m，0）顺时针旋转 90得到线段 OA，如图 2，POPOm，OAOA2，O（m，m），A（m+2，m），当 A（m+2，m）在抛物线上时，有?，解得，m3?，当点 O（m，m）在抛物线上时，有?，解得，m4 或 2，当3?m4 或3?m2 时，线段 OA与抛物线只有一个公共点【题组一】【题组一】1（2021苏州模拟）问题一：已知二次函数：y（xm）22m（m 为常数），当 m 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”我们发现：是当 m 取不同数值时，此二次函数的图象的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是y2x问题二：已知直线 l：yx2 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 L：y（xm）22m（m为常数）图象的顶点为 C（1）如图 1，若点 C 在 RtAOB 的内部（不包括边界），求 m 的取值范围；（2）如图 2，当抛物线 L 的图象经过点 A，B 时，在抛物线上（AB 的下方）是否存在点 P，使ABOABP？若存在，求出点P的横坐标；若不存在请说明理由【分析】问题一：由抛物线的表达式知，顶点的坐标为（m，2m），故设 xm，则 y2m2x，即可求解；问题二：（1）当顶点在 y2x上和直线 AB 的交点左侧时，点 C 在 RtAOB 的内部（不包括边界），即可求解；（2）证明BQPABOABP，则 PBPQ，即可求解【解答】解：问题一：由抛物线的表达式知，顶点的坐标为（m，2m），故设 xm，则 y2m2x，故答案为：y2x；问题二：yx2 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，则点 A、B 的坐标分别为（3，0）、（0，2）（1）由问题一知，顶点在 y2x上，则当顶点在 y2x上和直线 AB 的交点左侧时，点 C 在 RtAOB 的内部（不包括边界），联立和直线 l 的表达式并解得 x，故 m 的取值范围为 0m；（2）设平移后抛物线的表达式为 yx2+bx+c，则，解得，故抛物线的表达式为 yx2x2；故点 P 作 PHx 轴于点 H，交 AB 于点 Q，PHy 轴，则BQPABOABP，PBPQ，设点 P 的坐标为（m，m2m2），则点 Q（m，m2），则 m2+（m2m2+2）2（m2m2m+2）2，解得 m0（舍去）或，故点 P 的横坐标为2（2021东城区二模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax23ax+1 与 y 轴交于点 A（1）求抛物线的对称轴；（2）点 B 是点 A 关于对称轴的对称点，求点 B 的坐标；（3）已知点 P（0，2），Q（a+1，1）若线段 PQ 与抛物线与恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围【分析】（1）利用配方法将抛物线 yax23ax+1 化成顶点式，抛物线对称轴可得；（2）先求出点 A 坐标，利用抛物线的对称性即可求点 B 的坐标；（3）分 a0 和 a0 两种情形讨论解答，首先依据题意画出图形，观察图象，利用点 Q 的位置确定 Q的横坐标 a+1 的大小，a 的取值范围可以求得【解答】解：（1）yax23ax+1a（x23x）+1a+，抛物线 yax23ax+1 的对称轴为直线 x（2）令 x0，则 y1A（0，1）点 B 是点 A 关于对称轴的对称点，A 与 B 的纵坐标相同对称轴为直线 x，点 A 与 B 到直线 x的距离均为，点 B 的横坐标为B（3，1）（3）由题意：