湖南省岳阳市第一中学2020届高三数学上学期10月月考试题理含解析.doc

湖南省岳阳市第一中学2020届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。2.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上答题无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。4.本试题卷共4页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。5.时量120分钟，满分150分。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，若集合有4个子集，则实数（）A. 0、1或3B. 1或3C. 1或D. 0或3【答案】D【解析】【分析】集合有4个子集，则或，进而可得答案【详解】由题集合有4个子集，所以A与B的交集有两个元素，则或，当时，可得或，当时，集合，不满足集合的互异性，故或【点睛】本题主要考查集合中元素的关系，属于简单题2.已知复数，则下列说法正确的是（）A. 复数z的实部为3B. 复数z的共轭复数为：C. 复数z部虚部为：D. 复数z的模为5【答案】B【解析】【分析】将复数化为形式，则实部为，虚部为，共轭复数为，模为【详解】，则实部为，虚部为，共轭复数为：，模为选B.【点睛】本题考查复数的基本运算，属于简单题3.若向量，则与的夹角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用坐标表示出和，根据向量夹角公式直接求解即可得到结果.【详解】由题意得：，又 本题正确选项：【点睛】本题考查利用向量数量积和模长求解向量夹角的问题，关键是能够熟练掌握向量数量积和模长的坐标运算.4.下列命题中，真命题是（）A. 的充要条件是B. ，是的充分条件C. D. 【答案】B【解析】【分析】逐项分析即可【详解】A中， 的充要条件是A错B中， ，可以得到，当时，不一定可以得到故正确C中，C错D中，D错，所以选B.【点睛】本题考查充要条件以及全称命题与特称命题的真假，属于简单题5.(1tan 17°)(1tan 28°)的值是()A. 1B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】 ，选D.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.6.已知等比数列的前项和，则数列的前11项和等于（ ）A. 1023B. 55C. 45D. 35【答案】B【解析】【详解】因为等比数列的前n项和，所以当时，也适合上式,即=，所以=n1，故所求值为，故选B.7.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值为（）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知椭圆是焦点在轴上的椭圆，利用椭圆定义得到，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当垂直于x轴时最小，把的最小值代入，由的最大值等于5可求b的值【详解】由可知，焦点在x轴上，过的直线交椭圆于A，B两点，当垂直x轴时最小，值最大，此时，解得，故选C【点睛】本题主要考查椭圆的定义，解题的关键是得出，属于一般题8.已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式与辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用图象变换规律得出函数的解析式为，可得函数的值域为，结合条件，可得出、均为函数的最大值，于是得出为函数最小正周期的整数倍，由此可得出正确选项.【详解】函数，将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，易知函数的值域为.若，则且，均为函数的最大值，由，解得；其中、是三角函数最高点的横坐标，的值为函数的最小正周期的整数倍，且故选：C【点睛】本题考查三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数与周期相关的问题，解题的关键在于确定、均为函数的最大值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：；函数是偶函数；任意一个非零有理数，对任意恒成立；存在三个点，使得为等边三角形.其中真命题的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】试题分析：如为有理数，则；如为无理数，故正确；如为有理数，则为有理数，则，如无有理数，则为无理数，则，故正确；如为有理数，则为有理数，则，如无有理数，则为无理数，则，故正确；令，则，此时三角形为等边三角形，所以正确；故选A.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值.10.已知函数是定义在R上的奇函数，且满足若当时，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断的周期为，判断的范围，利用周期性和奇偶性得出答案【详解】由可得，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以函数的最小正周期为又因为，即，所以，即，则，又因为函数是奇函数，所以选A【点睛】本题主要考查函数的周期性和奇偶性，属于一般题11.已知角，且满足，则（）（用表示）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知得，整理得，结合题意与诱导公式可得，进而得出答案【详解】由已知得，所以，即结合诱导公式得因为，所以，由诱导公式可得，易知因为在上单调递减，所以，即【点睛】本题主要考查三角函数的公式的应用以及求角的范围问题，属于一般题12.函数满足， ，若存在，使得成立，则的取值（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意设，则，所以（为常数），令，则，故当时，单调递减；当时，单调递增，从而当时，在区间上单调递增设，则，故在上单调递增，在上单调递减，所以不等式等价于， ，解得，故的取值范围为选A点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数，并进一步求得函数的解析式，从而得到函数在区间上的单调性然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上）13.已知等比数列的各项都为正数，且，成等差数列，则的值是_【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，且，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出，再由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值【详解】设等比数列的公比为，且，因为，成等差数列，所以，则，化简得，解得，所以【点睛】本题主要考查等差中项的性质以及等比数列的通项公式，属于一般题14.已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线渐近线方程为：_【答案】【解析】【分析】将双曲线方程化为标准形式，由题可得，即，则，进而得出渐近线方程【详解】依题意椭圆与双曲线的焦点相同，即与的焦点相同，可得：，即，可得，双曲线的渐近线方程为：【点睛】本题考查双曲线与椭圆的标准方程以及求双曲线的渐近线方程，属于一般题15.年北京庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10米，则旗杆的高度为_米. 【答案】【解析】【详解】设旗杆的高度为米，如图，可知，所以，根据正弦定理可知，即，所以，所以米.点睛：1解三角形实际应用问题的一般步骤是：审题建模(准确地画出图形)求解检验作答2把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值3解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解16.已知函数的图像与函数的图像有三个交点A、B、C，且，记三个交点的横坐标之和为，纵坐标之和为，则_【答案】【解析】【分析】由题可知两个函数均是单调函数且都关于点对称，又由A、B、C三点的关系得：点A、C关于点B对称，而点B就是两个函数的公共对称中心，所以，进而得出积分【详解】分析可知：两个函数均是单调函数且都关于点对称，又由得，即点A、C关于点B对称，而点B就是两个函数的公共对称中心，所以，图形为圆心是，半径是的圆的上半部分与圆心为，半径是的圆的下半部分，可得，所求的积分为圆心是，半径是的圆的上半部分与直线，轴所围面积，如图所示其中，所以，所以扇形的面积，三角形的面积为，故所求的积分值为【点睛】本题考查定积分，解题的关键是得出两个函数均是单调函数且都关于点对称，属于一般题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（一）必考题：60分.17.已知向量，记函数（1）求不等式的解集；（2）在中，三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若且、成等差数列，求的面积S的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题可得，所以不等式可化为：，进而得出答案（2）由（1）知：，解得，由正、余弦定理及得：，从而得出，再求出的面积S的值【详解】（1）由，得：不等式可化为：，即：，不等式的解集为：（2）由（1）知：，又，因为、成等差数列，所以再由正、余弦定理及得：，所以是正三角形，故.【点睛】本题以向量为背景考查三角函数的基本公式以及解三角不等式，考查正、余弦定理和三角形的面积计算，属于一般题18.如图所示，已知正方形所在平面垂直于矩形所在的平面，与的交点为O，M、P分别为、的中点，（1）求证：平面平面（2）求三棱锥的高【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）先由题证得平面，再由数量关系得出，进而证得平面 ，最后根据面面垂直判定定理证明平面平面（2）利用等体积转化即可求出答案【详解】（1）在正方形中，O是的中点，又P是的中点，而正方形所在平面垂直于矩形所在平面，平面由已知，得，又所以平面 ，因为平面故平面平面（2）设三棱锥的高为h，由（1）可得，又在中，故【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用等体积转化法求锥体的高，属于一般题19.时值金秋十月，正是秋高气爽，阳光明媚的美好时刻。复兴中学一年一度的校运会正在密锣紧鼓地筹备中，同学们也在热切地期盼着，都想为校运会出一份力。小智同学则通过对学校有关部门的走访，随机地统计了过去许多年中的五个年份的校运会“参与”人数及相关数据，并进行分析，希望能为运动会组织者科学地安排提供参考。附：过去许多年来学校的学生数基本上稳定在3500人左右；“参与”人数是指运动员和志愿者，其余同学均为“啦啦队员”，不计入其中；用数字1、2、3、4、5表示小智同学统计的五个年份的年份数，今年的年份数是6；统计表（一）年份数x12345“参与”人数（y千人）1.92.32.02.52.8统计表（二）高一（3）（4）班参加羽毛球比赛的情况：男生女生小计参加（人数）26b50不参加（人数）c20小计44100（1）请你与小智同学一起根据统计表（一）所给的数据，求出“参与”人数y关于年份数x的线性回归方程，并预估今年的校运会的“参与”人数；（2）学校命名“参与”人数占总人数的百分之八十及以上的年份为“体育活跃年”如果该校每届校运会的“参与”人数是互不影响的，且假定小智同学对今年校运会的“参与”人数的预估是正确的，并以这6个年份中的“体育活跃年”所占的比例作为任意一年是“体育活跃年”的概率。现从过去许多年中随机抽取9年来研究，记这9年中“体活跃年”的个数为随机变量，试求随机变量的分布列、期望和方差；（3）根据统计表（二），请问：你能否有超过60%的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关？参考公式和数据一：，参考公式二：，其中参考数据：0.500.400.250.050.0250.0100.4550.7081.3233.8415.0246.635【答案】（1）线性回归方程为：，预计今年的“参与”人数为：（千人）（2）分布列见解析，（3）没有60%的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关【解析】【分析】（1）由题可得，进而写出线性回归方程并预计今年的“参与”人数（2）在9次独立重复试验中，事件发生的次数为次，故随机变量服从二项分布，从而得出，（3）补充表格，计算出，进而得出结论【详解】（1），所以，线性回归方程为：所以，预计今年的“参与”人数为：（千人）（2）分析可知：在9次独立重复试验中，事件发生的次数为次，故随机变量服从二项分布，所以，（3）补充表格男生女生小计参加（人数）262450不参加（人数）302050小计5644100由列联表可得：所以没有60%的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关【点睛】本题考查的知识点有线性回归方程，二项分布求期望与方差，独立性检验，比较综合，属于一般题20.已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，直线与直线的斜率分别记为，且（）求证：；（）设，的面积分别为，判断是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由【答案】（）详见解析（）为定值4，详见解析【解析】【分析】（）设，由题得，又因为，所以有，因为，所以，进而得出结论（）设直线的方程为：，联立得：得，再由韦达定理和可得，即或，进而表示出与，再判断是否为定值【详解】（）设，则，又，则，代入上式，得由已知：，则，从而，即（）设直线的方程为：，联立得：，由，由韦达定理：，由（1），则，则，即：，所以：，得：或，当时，直线，不合题意，当时，直线，过定点，又，则，为定值【点睛】圆锥曲线是近几年高考的热点与难点，本题考查由斜率关系证明直线垂直，韦达定理，设而不求法，属于偏难题目21.设函数，（）若，证明函数有唯一的极小值点；（）设且，记函数的最大值为M，求使得的a的最小值【答案】（）详见解析（）正整数a最小值为3【解析】【分析】（）设，得出的单调性，再依据零点存在性定理得出结论（）由题得，设，则，则在上为单调递减函数，从而得出在上为单调递减函数，且，则，所以，存在唯一的，使得，进而可得在处取得最大值，所以，从而得出答案【详解】（），设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，且，当时，当时，取，则，依据零点存在性定理，知存在唯一的，使得，且时，递减，且时，递增，故为函数唯一的极小值点（）因为，所以，设，则，则在上为单调递减函数，取，则，取，则，所以，存在唯一的，使得，即，且当时，单调递增，当时，单调递减，故函数在处取得最大值，此时，由得，由两边取对数，得则，由已知，故正整数a的最小值为3【点睛】本题考查的知识点有零点存在定理，以及利用导函数研究函数的单调性和最值，属于偏难题目（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系己知直线的直角坐标方程为，曲线C的极坐标方程为（1）设t为参数，若，求直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知：直线与曲线C交于A，B两点，设，且，依次成等比数列，求实数a的值【答案】（1）直线的参数方程是（t为参数）,曲线C的直角坐标方程：（2）【解析】【分析】（1）利用代入消元法得直线的参数方程 根据得曲线C的直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入抛物线方程，再由直线参数的几何意义以及韦达定理列方程解得答案【详解】（1）将代入，得，直线的参数方程是（t为参数）由得，两边同时乘以得，由得曲线C的直角坐标方程：（2）将直线的参数方程代入，得：，设A、B对应的参数分别是，由题意知：，得：，又，（经检验：符合题意）【点睛】本题考查极坐标方程，普通方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程中参数的几何意义，属于一般题23.已知函数，其中（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）先求出，再求出.解不等式即得解.【详解】（1）当时，.当时，由；当时，由不成立；综上所述，当时，不等式的解集为.（2）记 则.依题意得，.所以实数的取值范围为【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，考查绝对值不等式的恒成立的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.- 25 -