（最后冲刺）2013届高考数学 知识点扫描复习5 数列.doc

五、数列一、数列定义： 数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为； 通常用代替，于是数列的一般形式常记为或简记为，其中表示数列的通项。注意：（1）与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项；（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。（3）和之间的关系：如：已知的满足，求。二、等差数列、等比数列的性质：等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫等差数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列公差（比），或；，或（）；通项公式 = 求和公式由倒序相加法推得 = 由错项相减法推得， = ， 用函数的思想理解通项公式若为等差数列，则 ， ；等差数列的图象是直线上的均匀排开的一群孤立的点若为等比数列，则 ， ；用函数的思想理解求和公式等差数列，则 ； ； ；若，说明： ；在二次函数 的图象上，是一群孤立的点。若为等比数列，则 ； ； ；（其中 的系数 与 为互为相反数，这是公式一很重要特点，注意前提条件。）若，说明： ；等比数列，则 ； 增减性为递增数列 ；为递减数列 ；为常数列 。为递增数列 ；为递减数列 ；为常数列 ；为摆动数列 ；等差（比）中项任意两个数有且只有一个等差中项，即为 ；两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。两个数的等比中项为 ；（）等差（比）数列的性质若，则_ _；特别当，则 ；若，则_ _；特别当，则 ；在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。如：；问公差为 在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列，剩下的项按原顺序构成的数列也不一定是等比数列。如：；问公比为 是 数列；公差为 ；成等差数列。是 数列；公差为 ；是 数列；公比为 ；是 数列；公比为 ；是 数列；公比为 ；若数列与均为等差数列，则仍为等差数列，公差为 ；若数列与均为等差数列，则仍为等比数列，公比为 ；仍为等比数列，公比为 ；如：（1）在等差数列中，则 ；（2）在等比数列中，则 ；另外，等差数列中还有以下性质须注意：（1）等差数列中，若，则 ；（2）等差数列中，若，则 ；（3）等差数列中，若，则 ； ；（4）若，则 时，最大。（5）若与均为等差数列，且前n项和分别为与，则；（6）项数为偶数的等差数列，有（与为中间的两项） ； ；项数为奇数的等差数列，有（为中间项） ； ； ；等比数列中还有以下性质须注意：（1）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别 ； ；（2）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别 ； ；三、判定方法：（1）等差数列的判定方法：定义法：或（为常数）是等差数列中项公式法：是等差数列通项公式法：（为常数）是等差数列前项和公式法：（为常数）是等差数列注意：是用来证明是等差数列的理论依据。（2）等比数列的判定方法：定义法：或（是不为零的常数）是等比数列中项公式法：是等差数列通项公式法：（是不为零常数）是等差数列前项和公式法：（是常数）是等差数列注意：是用来证明是等比数列的理论依据。四、数列的通项求法：（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，（2）21，203，2005，20007，（2）化归法：通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。递推式为：迭加法如：已知中，求递推式为：迭乘法如：已知中，求递推式为（为常数）：构造法：、由相减得，则为等比数列。、设，得到，则 为等比数列。如：已知，求递推式为（为常数）：两边同时除去得，令，转化为，再用法解决。如：已知中，求递推式为（为常数）：将变形为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。如：已知中，求（3）公式法：运用已知，求；已知中， ，求；已知中，求五、数列的求和法：（1）公式法：等差（比）数列前项和公式： ；（2）倒序相加（乘）法：如：求和：；已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积；（3）错位相减法：如：求和：（4）裂项相消法： ； ；如： ； ；若，则 ；（5）并项法：如：求（6）拆项组合法：如：在数列中，求，六、数列问题的解题的策略：（1）分类讨论问题：在等比数列中，用前项和公式时，要对公比进行讨论；只有 时才能用前项和公式，时已知求时，要对进行讨论；最后看满足不满足，若满足中的扩展到，不满足分段写成。（2）设项的技巧：对于连续偶数项的等差数列，可设为，公差为；对于连续奇数项的等差数列，可设为，公差为；对于连续偶数项的等比数列，可设为，公比为；对于连续奇数项的等比数列，可设为公比为；- 7 -