五年高考真题2016届高考数学复习第六章第二节等差数列及其前n项和理全国通用.doc

考点一等差数列中的运算问题1(2015·重庆，2)在等差数列an中，若a24，a42，则a6()A1 B0 C1 D6解析由等差数列的性质，得a62a4a22×240，选B.答案B2(2014·福建，3)等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于()A8 B10 C12 D14解析设等差数列an的公差为d，则S33a13d，所以123×23d，解得d2，所以a6a15d25×212，故选C.答案C3(2014·辽宁，8)设等差数列an的公差为d.若数列2a1an为递减数列，则()Ad<0 Bd>0 Ca1d<0 Da1d>0解析2a1an为递减数列，可知a1an也为递减数列，又a1anaa1(n1)da1dnaa1d，故a1d<0，故选C.答案C4(2013·新课标全国，7)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4 C5 D6解析amSmSm12，am1Sm1Sm3，dam1am1.Smma1×10，a1.又am1a1m×13，m3.m5.故选C.答案C5(2015·陕西，13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_解析由题意设首项为a1，则a12 0152×1 0102 020，a15.答案56(2013·重庆，12)已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8_解析由a11且a1，a2，a5成等比数列，得a1(a14d)(a1d)2，解得d2，故S88a1d64.答案647(2013·新课标全国，16)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_解析设数列an的首项为a1，公差为d，则S1010a1d10a145d0，S1515a1d15a1105d25.联立，得a13，d，所以Sn3n×n2n.令f(n)nSn，则f(n)n3n2，设f(x)x3x2，则f(x)x2x，令f(x)0，得x0或x，当x>时，f(x)>0，0<x<时，f(x)<0，则f(n)的最小值在f(6)、f(7)中取到则f(6)48，f(7)49，所以当n7时，f(n)取最小值49.答案498(2012·北京，10)已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a1，S2a3，则a2_；Sn_解析S2a3，a1a2a3.an为等差数列，a1a1da12d，da1，a2a1d1，Snna1dn(n1)答案1n(n1)9(2011·湖北，13)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_升解析设自上第一节竹子容积为a1，依次类推，数列an为等差数列又a1a2a3a44a16d3，a7a8a93a121d4.解得a1，d，a5a14d4×.答案10(2014·大纲全国，18)等差数列an的前n项和为Sn.已知a110，a2为整数，且SnS4.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由a110，a2为整数知：等差数列an的公差d为整数又SnS4，故a40，a50，于是103d0，104d0.解得d.因此d3.数列an的通项公式为an133n.(2)bn.于是Tnb1b2bn.11(2015·新课标全国，17)Sn为数列an的前n项和已知an>0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an>0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)，a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn .考点二等差数列的性质1(2015·北京，6)设an是等差数列，下列结论中正确的是()A若a1a20，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1a2，则a2D若a10，则(a2a1)(a2a3)0解析A，B选项易举反例，C中若0a1a2，a3a2a10，a1a3>2，又2a2a1a3，2a2>2，即a2>成立答案C2(2014·北京，12)若等差数列an满足a7a8a9>0，a7a10<0，则当n_时，an的前n项和最大解析数列an是等差数列，且a7a8a93a8>0，a8>0.又a7a10a8a9<0，a9<0.当n8时，其前n项和最大答案83(2015·广东，10)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_解析因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.答案104(2013·广东，12)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_解析由题可知a3a8a5a6a4a710，又3a5a7a52a5a7a5(a4a6)a72(a5a6)2×1020.答案205(2012·江西，12)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_解析an，bn均是等差数列，根据等差数列的性质a1a52a3，b1b52b3，即a52a3a1，b52b3b1，a5b52(a3b3)(a1b1)2×21735.答案35考点三等差数列的综合应用1(2015·四川，16)设数列an(n1，2，3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列 (1)求数列an的通项公式； (2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn1|成立的n的最小值解(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)，从而a22a1，a32a24a1，又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n.(2)由(1)得，所以Tn1.由|Tn1|，得，即2n1 000，因为295121 0001 024210，所以n10，于是，使|Tn1|成立的n的最小值为10.2(2014·江苏，20)设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Snam，则称an是“H数列”(1)若数列an的前n项和Sn2n(nN*)，证明an是“H数列”；(2)设an是等差数列，其首项a11，公差d<0.若an是“H数列”，求d的值；(3)证明：对任意的等差数列an，总存在两个“H数列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立(1)证明由已知，当n1时，an1Sn1Sn2n12n2n.于是对任意的正整数n，总存在正整数mn1，使得Sn2nam.所以an是“H数列”(2)解由已知，得S22a1d2d.因为an是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2am，即2d1(m1)d，于是(m2)d1.因为d<0，所以m2<0，故m1.从而d1.当d1时，an2n，Sn是小于2的整数，nN*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m2Sn2，使得Sn2mam，所以an是“H数列”因此d的值为1.(3)证明设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)dna1(n1)(da1)(nN*)令bnna1，cn(n1)(da1)，则anbncn(nN*)下证bn是“H数列”设bn的前n项和为Tn，则Tna1(nN*)于是对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Tnbm，所以bn是“H数列”同理可证cn也是“H数列”所以，对任意的等差数列an，总存在两个“H数列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立3(2013·山东，20)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn，且Tn(为常数)令cnb2n，(nN*)，求数列cn的前n项和Rn.解(1)设数列an的公差为d，令n1，则a22a11，即a1d1，又S44S2，即2a1d，由联立解得a11，d2，所以an2n1(nN*)(2)由题意知，Tn，所以当n2时，bnTnTn1.故cnb2n(nN*)Rnc1c2cn1cn0，Rn，两式相减得Rn，整理得Rn.所以数列cn的前n项和Rn.8