2016高考数学大一轮复习5.4平面向量应用举例试题理苏教版.doc

第4讲平面向量的综合应用一、填空题1在ABC中，a，b，c，且|a|1，|b|2，|c|，则a·bb·cc·a_.解析由|a|1，|b|2，|c|，可得|2|2|2，B90°，C60°，A30°，所以a·bb·cc·a2cos 120°2cos 150°04.答案42在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若··1，那么c_.解析由题知··2，即···()22c|.答案3已知ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·0，·0，则·的最小值为_解析由已知得·(x1，y)·(1,0)x10，且·(x，y2)·(0,2)2(y2)0，即x1，且y2，所以·(x，y)·(1,2)x2y143.答案34已知平面上有四个互异点A、B、C、D，若(2)·()0，则ABC的形状为_解析由(2)·()0，得()()·()0，所以()·()0.所以|2|20，|，故ABC是等腰三角形答案等腰三角形5. 如图，ABC的外接圆的圆心为O，AB2，AC3， BC，则·_.解析··()··，因为OAOB，所以在上的投影为|，所以·|·|2，同理·|·|，故·2.答案6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D，E分别为AB，BC的中点，且··，则a2，b2，c2成_数列解析由··，得()·()()·()，即2222，所以a2b2b2c2，所以a2，b2，c2成等差数列答案等差7已知点P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则·()_.解析如图，因为2，ABC为正三角形，所以四边形ABDC为菱形，BCAO，所以在向量上的投影为.又|，所以·()|·|6.答案68已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1)，R，若·，则_.解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由，得P(2，0)，由(1)，得Q(1，(1)，所以·(1，(1)·(21，)(1)(21)×(1)，解得.答案9设，(0,1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足0·1,0·1，则zyx的最小值是_解析由题得所以可行域如图所示，所以当直线yxz经过点A(1,0)时，zmin1.答案110对任意两个非零的平面向量和，定义.若平面向量a，b满足|a|b|>0，a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab_.解析根据题中给定的两个向量的新运算可知ab，ba，又由可得<cos <1，由|a|b|>0可得0<1，于是0<<1，即ba(0,1)，又由于ba，所以，即|a|2|b|cos .同理>，将代入后得2cos2>，又由于ab，所以ab2cos2(nZ)，于是1<<2，故n3，cos ，|a|b|，ab×.答案二、解答题11已知在锐角ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定义向量m(sin B，)，n，且mn.(1)求函数f(x)sin 2xcos Bcos 2xsin B的单调递减区间；(2)若b1，求ABC的面积的最大值解(1)因为mn，所以sin Bcos 2B2sin B cos Bcos 2Bsin 2Bcos 2B2sin0，所以B.所以f(x)sin(2xB)sin.于是由2k2x2k(kZ)，得函数f(x)的单调递减区间为，kZ.(2)当b1时，由余弦定理，得1a2c22accos a2c2acac，所以SABCacsin，当且仅当ac1时等号成立，所以(SABC)max.12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2ac)··c·0.(1)求角B的大小；(2)若b2，试求·的最小值解(1)因为(2ac)·c·0，所以(2ac)accos Babccos C0，即(2ac)cos Bbcos C0，所以(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C0，即2sin Acos Bsin(BC)0，因为sin(BC)sin A0，所以cos B，所以B.(2)因为b2a2c22accos，所以12a2c2ac3ac，即ac4，所以·accosac2，当且仅当ac2时等号成立，所以·的最小值为2.13已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若·1，求的值解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，2(cos 3)2sin2106cos ，2cos2(sin 3)2106sin ，由|，可得22，即106cos 106sin ，得sin cos .又，.(2)由·1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos .又2sin cos .由式两边分别平方，得12sin cos ，2sin cos .14已知M(0，2)，点A在x轴上，点B在y轴的正半轴上，点P在直线AB上，且满足，·0.(1)当A点在x轴上移动时，求动点P的轨迹C的方程；(2)过(2,0)的直线l与轨迹C交于E、F两点，又过E、F作轨迹C的切线l1、l2，当l1l2时，求直线l的方程解(1)设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)，则(xxA，y)，(x，yBy)由得xA2x，yB2y.又(xA,2)，(xxA，y)，即(2x,2)，(x，y)由·0得x2y(y>0)(2)易知直线l的斜率必存在，故设其直线方程为yk(x2)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，因为y2x，故两切线的斜率分别为2x1、2x2.由方程组得x2kx2k0，x1x2k，x1x22k.由l1l2时，4x1x21，k.直线l的方程是y(x2).6