山东省聊城市莘县2016届九年级数学上学期期中试题含解析新人教版.doc

山东省聊城市莘县2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1下列说法正确的是( )A所有的矩形都是相似形B有一个角等于100°的两个等腰三角形相似C对应角相等的两个多边形相似D对应边成比例的两个多边形相似2雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼部高度是1.5米，那么旗杆的高度是( )A30米B40米C25米D35米3如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为( )A6.5米B9米C13米D15米4在正方形网格中，ABC的位置如图所示，则cosB的值为( )ABCD5如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B如果APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( )A4B8CD6以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为，则点P的坐标为( )A（cos，1）B（1，sin）C（sin，cos）D（cos，sin）7一条弦分圆为1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为( )A30°B150°C30°或150°D不能确定8相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面( )A2.4米B2.8米C3米D高度不能确定9点P在O内，OP=2cm，若O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为( )A1cmB2cmCcmDcm10圆内接四边形ABCD中，A：B：C：D可以是( )A1：2：3：4B1：3：2：4C4：2：3：1D4：2：1：311在ABC中，若角A，B满足|cosA|+（1tanB）2=0，则C的大小是( )A45°B60°C75°D105°12两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为( )ABCsinD1二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）13如图，在ABC中，DEBC，BC=6cm，SADE：SABC=1：4，则DE的长为_14如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为_15如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为_16如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米17已知，RtABC中，C=90°，AC=6，AB=10，则三角形内切圆的半径为_三、解答题（共8小题，满分69分）18计算（1）cos60°sin245°+tan230°+cos230°sin30°（2）cos245°19如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，ADC=ACB=90°，E为AB的中点（1）求证：AC2=ABAD；（2）求证：CEAD20如图，OA、OB是O的两条半径，且OAOB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切O于点D，连接AD交OC于点E求证：CD=CE21如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°求该古塔BD的高度（结果保留根号）22已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DEAC于点E求证：DE是O的切线23如图，ABC是一张锐角三角形的硬纸片AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上AD与HG的交点为M（1）求证：；（2）求这个矩形EFGH的周长24如图，BC为O的直径，ADBC，垂足为D，弧AB等于弧AF，BF和AD相交于E求证：AE=BE25某居民小区有一朝向为正南的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高为6米的小区超市，超市以上是居民住房在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角是30°时（1）超市以上的居民住房采光是否有影响，影响多高？（2）若要使采光不受影响，两楼相距至少多少米？（结果保留根号）2015-2016学年山东省聊城市莘县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1下列说法正确的是( )A所有的矩形都是相似形B有一个角等于100°的两个等腰三角形相似C对应角相等的两个多边形相似D对应边成比例的两个多边形相似【考点】相似图形【分析】利用相似图形的判定方法分别判断得出即可【解答】解：A、所有的矩形都是相似形，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；B、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项正确；C、对应角相等的两个多边形相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；D、对应边成比例的两个多边形相似，对应角不一定相等，故此选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键2雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2米远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40米，该生的眼部高度是1.5米，那么旗杆的高度是( )A30米B40米C25米D35米【考点】相似三角形的应用【分析】因为学生和旗杆平行，且光的入射角等于反射角，因此ABOCDO，利用对应边成比例即可解答【解答】解：CDBD，ABBD，D=B=90°，又COD=AOB，ABOCDO，=，=，AB=30m，旗杆的高度为30米故选：A【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度是解题关键3如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为( )A6.5米B9米C13米D15米【考点】垂径定理的应用【专题】压轴题【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O连接OA根据垂径定理和勾股定理求解【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O连接OA根据垂径定理，得AD=6设圆的半径是r，根据勾股定理，得r2=36+（r4）2，解得r=6.5故选：A【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算4在正方形网格中，ABC的位置如图所示，则cosB的值为( )ABCD【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义【专题】压轴题；网格型【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与B有关的RTABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，cosB=故选B【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出与角B有关的直角三角形5如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B如果APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是( )A4B8CD【考点】切线长定理；等边三角形的判定与性质【专题】压轴题【分析】根据切线长定理知PA=PB，而P=60°，所以PAB是等边三角形，由此求得弦AB的长【解答】解：PA、PB都是O的切线，PA=PB，又P=60°，PAB是等边三角形，即AB=PA=8，故选B【点评】此题主要考查的是切线长定理以及等边三角形的判定6以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为，则点P的坐标为( )A（cos，1）B（1，sin）C（sin，cos）D（cos，sin）【考点】坐标与图形性质；圆的认识；锐角三角函数的定义【专题】压轴题【分析】作PAx轴于点A那么OA是的邻边，是点P的横坐标，为cos；PA是的对边，是点P的纵坐标，为sin【解答】解：作PAx轴于点A，则POA=，sin=，PA=OPsin，cos=，OA=OPcosOP=1，PA=sin，OA=cosP点的坐标为（cos，sin）故选D【点评】解决本题的关键是得到点P的横纵坐标与相应的函数和半径之间的关系7一条弦分圆为1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为( )A30°B150°C30°或150°D不能确定【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理【分析】一条弦把圆分成1：5两部分，可得两条弧的度数，弧的度数与它所对圆心角的度数相等，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【解答】解：一条弦分圆为1：5两部分，两条弧分别是60°和300°，由弧的度数等于它所对圆心角的度数，而一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半，可知60°的弧所对的圆周角是30°，300°的弧所对的圆周角是150°这条弦所对的圆周角的度数是30°或150°故选C【点评】考查弧的度数与圆心角的度数，同弧所对圆周角与圆心角的关系8相邻两根电杆都用钢索在地面上固定，如图，一根电杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，则中间两根钢索相交处点P离地面( )A2.4米B2.8米C3米D高度不能确定【考点】相似三角形的应用【专题】数形结合【分析】易得APBCDP，可得对应高CE与BE之比，易得CDPE可得BPEBDC，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可【解答】解：CDAB，APBCDP，=，CDPE，BPEBDC，=，=，解得PE=2.4故选A【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到CE与BE的比9点P在O内，OP=2cm，若O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为( )A1cmB2cmCcmDcm【考点】垂径定理；勾股定理【专题】计算题【分析】过P作ABOP交圆与A、B两点，连接OA，故AB为最短弦长，再解RtOPA，即可求得AB的长度，即过点P的最短弦的长度【解答】解：过P作ABOP交圆与A、B两点，连接OA，如下图所示：故AB为最短弦长，由垂径定理可得：AP=PB已知OA=3，OP=2在RtOPA中，由勾股定理可得：AP2=OA2OP2AP=cmAB=2AP=2cm故此题选D【点评】本题考查了最短弦长的判定以及垂径定理的运用10圆内接四边形ABCD中，A：B：C：D可以是( )A1：2：3：4B1：3：2：4C4：2：3：1D4：2：1：3【考点】圆内接四边形的性质；多边形内角与外角【分析】根据圆内接四边形的对角互补的性质即可求解【解答】解：根据圆内接四边形的对角互补的性质知，A与C，B与D互补，故选D【点评】本题考查了圆内接四边形的性质11在ABC中，若角A，B满足|cosA|+（1tanB）2=0，则C的大小是( )A45°B60°C75°D105°【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方【分析】根据非负数的性质得出cosA=，tanB=1，求出A和B的度数，继而可求得C的度数【解答】解：由题意得，cosA=，tanB=1，则A=30°，B=45°，则C=180°30°45°=105°故选D【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值12两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为( )ABCsinD1【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形【分析】首先过A作AEBC，AFCD于F，垂足为E，F，证明ABEADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可【解答】解：如右图所示：过A作AEBC，AFCD于F，垂足为E，F，AEB=AFD=90°，ADCB，ABCD，四边形ABCD是平行四边形，纸条宽度都为1，AE=AF=1，在ABE和ADF中，ABEADF（AAS），AB=AD，四边形ABCD是菱形BC=AB，=sin，BC=AB=，重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=1×=，故选：A【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）13如图，在ABC中，DEBC，BC=6cm，SADE：SABC=1：4，则DE的长为3cm【考点】相似三角形的判定与性质【分析】根据DEBC，求证ADEABC，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案【解答】解：DEBC，ADEABC，=（）2=，BC=6cm，DE=3cm，故答案为：3cm【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质关键是利用平行线判断相似三角形，利用相似三角形的性质解题14如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为5m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】根据坡度为0.75求得竖直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离即可【解答】解：竖直高度=4×0.75=3，由勾股定理得：=5m故答案为：5m【点评】本题是基础题，考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，以及勾股定理的运用15如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为【考点】扇形面积的计算【分析】过点O作ODAB，先根据等腰三角形的性质得出OAD的度数，由直角三角形的性质得出OD的长，再根据S阴影=S扇形OABSAOB进行计算即可【解答】解：过点O作ODAB，AOB=120°，OA=2，OAD=30°，OD=OA=×2=1，AD=AB=2AD=2，S阴影=S扇形OABSAOB=×2×1=故答案为：【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S阴影=S扇形OABSAOB是解答此题的关键16如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需2+2米【考点】勾股定理的应用【专题】压轴题【分析】地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，因此根据勾股定理求出直角三角形两直角边即可【解答】解：已知直角三角形的高是2米，根据三角函数得到：水平的直角边是2cos30°=2，则地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖直边，则地毯的长是（2+2）米【点评】正确计算地毯的长度是解决本题的关键17已知，RtABC中，C=90°，AC=6，AB=10，则三角形内切圆的半径为2【考点】三角形的内切圆与内心【分析】先根据勾股定理计算出BC，然后利用直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为进行计算【解答】解：C=90°，AC=6，AB=10，BC=8，ABC的内切圆半径r=2故答案是：2【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为三、解答题（共8小题，满分69分）18计算（1）cos60°sin245°+tan230°+cos230°sin30°（2）cos245°【考点】特殊角的三角函数值【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；（2）将特殊角的三角函数值代入求解【解答】解：（1）原式=+=；（2）原式=2+=【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值19如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，ADC=ACB=90°，E为AB的中点（1）求证：AC2=ABAD；（2）求证：CEAD【考点】相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线【专题】证明题【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质，可得=，根据比例的性质，可得答案；（2）根据直角三角形的性质，可得CE与AE的关系，根据等腰三角形的性质，可得EAC=ECA，根据角平分线的定义，可得CAD=CAB，根据平行线的判定，可得答案【解答】证明：（1）AC平分BAD，DAC=CABADC=ACB=90°，ADCACB，=，AC2=ABAD；（2）E是AB的中点，CE=AB=AE，EAC=ECAAC平分DAB，CAD=CAB，CAD=ECA，CEAD【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，（1）利用了相似三角形的判定与性质，比例的性质；（2）利用了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定20如图，OA、OB是O的两条半径，且OAOB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切O于点D，连接AD交OC于点E求证：CD=CE【考点】切线的性质【专题】证明题【分析】连接OD，根据切线性质求出ODC=90°，求出A+AEO=ODA+EDC=90°，求出CED=EDC，根据等腰三角形的判定推出即可【解答】证明：连接OD，OAOB，CD切O于D，AOE=ODC=90°，A+AEO=90°，ODA+CDE=90°，OA=OD，OAD=ODA，AEO=EDC，AEO=CED，CED=EDC，CD=CE【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并推出EDC=CED，题目比较好，难度适中21如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°求该古塔BD的高度（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【分析】在RtABD和RtBCD中，分别解直角三角形，用BD表示AB和BC，然后根据BCAB=20m，可求得塔BD的高度【解答】解：根据题意可知：BAD=45°，BCD=30°，AC=20m在RtABD中，BAD=BDA=45°，AB=BD在RtBDC中，tanBCD=，=，则BC=BD，又BCAB=AC，BDBD=20，解得：BD=10+10（m）答：古塔BD的高度为（）m【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角建立直角三角形，利用解直角三角形的知识分别用BD表示出AB、BC的长度22已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DEAC于点E求证：DE是O的切线【考点】切线的判定【专题】证明题；压轴题【分析】连接OD，只要证明ODDE即可【解答】证明：连接OD；OD=OB，B=ODB，AB=AC，B=C，C=ODB，ODAC，ODE=DEC；DEAC，DEC=90°，ODE=90°，即DEOD，DE是O的切线【点评】本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可23如图，ABC是一张锐角三角形的硬纸片AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上AD与HG的交点为M（1）求证：；（2）求这个矩形EFGH的周长【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质【专题】几何综合题【分析】（1）根据矩形性质得出AHG=ABC，再证明AHGABC，即可证出；（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度，以及矩形的周长【解答】（1）证明：四边形EFGH为矩形，EFGH，AHG=ABC，又HAG=BAC，AHGABC，；（2）解：由（1）得：设HE=xcm，MD=HE=xcm，AD=30cm，AM=（30x）cm，HG=2HE，HG=（2x）cm，可得 ，解得，x=12，故HG=2x=24所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）答：矩形EFGH的周长为72cm【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出AHGABC是解决问题的关键24如图，BC为O的直径，ADBC，垂足为D，弧AB等于弧AF，BF和AD相交于E求证：AE=BE【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系【专题】证明题【分析】首先连接AC，由BC为O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得BAC=90°，又由ADBC，根据等角的余角相等，可得BAD=C，又由弧AB等于弧AF，证得BAD=ABF，继而证得结论【解答】证明：连接AC，BC为O的直径，BAC=90°，ABC+C=90°，ADBC，BAD+ABD=90°，BAD=C，弧AB=弧AF，C=ABF，ABF=BAD，AE=BE【点评】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的判定注意准确作出辅助线是解此题的关键25某居民小区有一朝向为正南的居民楼（如图），该居民楼的一楼是高为6米的小区超市，超市以上是居民住房在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角是30°时（1）超市以上的居民住房采光是否有影响，影响多高？（2）若要使采光不受影响，两楼相距至少多少米？（结果保留根号）【考点】相似三角形的应用；平行投影【专题】压轴题；探究型【分析】（1）利用三角函数算出阳光可能照到居民楼的什么高度，和6米进行比较（2）超市不受影响，说明30°的阳光应照射到楼的底部，根据新楼的高度和30°的正切值即可计算【解答】解：（1）如图1所示：过F点作FEAB于点E，EF=15米，AFE=30°，AE=5米，EB=FC=米2056，超市以上的居民住房采光要受影响；（2）如图2所示：若要使超市采光不受影响，则太阳光从A直射到C处AB=20米，ACB=30°BC=20米答：若要使超市采光不受影响，两楼最少应相距20米【点评】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键21